(共15张PPT)
人教版高中数学必修1
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.2-基本不等式
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2005010302RB1020201ZD（A）
学习目标
了解基本不等式的证明过程；
1
1
2
2
能利用基本不等式证明简单的不等式.
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？
下面就来研究这个问题．
导入
导入
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
当且仅当
时，等号成立
特别地，如果
我们用
分别代替上式中的
可得
当且仅当
时，等号成立
（1）
通常称不等式（1）为基本不等式．其中，
叫做正数
的算术平均数，
叫做正数
的几何平均数．
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了．
显然，⑤成立，当且仅当
时，等号成立
前面通过考察
的特殊情形获得了基本不等式．
能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式
呢？
下面我们来分析一下．
要证
①
要证②，只要证
③
只要证
②
要证③，只要证
④
要证④，只要证
⑤
探究：
在下图中，
是圆的直径，点
是
上一点，
过点
作垂直于
的弦
，连接
，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
可证△
相似于△
则有
，
则
．
由于
小于或等于圆的半径，用不等式表示为
显然，当且仅当点
与圆心重合，即当
时，上述不等式的
等号成立.
例1
已知
求
的最小值
分析：求
的最小值，就是要求一个
，使
都有
.观察
，发现
.联系基本不等式，可以利用正数
和
的算术平均数与几何平均数的关系得到
解：因为
所以
因此所求的最小值为2.
当且仅当
即
时，等号成立，
拓展：这里2只是
的一个取值，试想一下当
时，
成立吗？这时候能说明
是
的最小值吗？
证明：因为
都是正数，所以
所以，当且仅当
时，和
有最小值
.
（2）当和
等于定值
时，
则有
当且仅当
时，上式等号成立，
所以,当且仅当
时，积
有最大值
例2
已知
都是正数，求证：
（1）如果积
等于定值
，那么当
时，和
有最小值
；
（2）如果和
等于定值
，那么当
时，积
有最大值
.
（1）当积
等于定值
时，
（1）当积
等于定值
时，
所以，x+y≥2
当且仅当x=y时，上式等号成立，
（2）“一正二定三相等”
“一正”是指应用不等式时，两者必须皆为正；
“二定”是指“和定积最大，积定和最小”；
关于基本不等式
需要注意：
（1）可变形为
等；
“三相等”是指当且仅当
时，等号成立；
这里的“
”为泛指.
巩
固
练
习
（1）
（2）
证明：（1）因为
则
当且仅当
时，上式等号成立.
因为
则等号不成立，所以
得证.
（2）因为
则
要证
只需要证
只要证
即证
因为
上式成立，原题得证.
（分析法）
特点：由果执因
(综合法)
特点：由因得果
练习1
已知x＞0，y＞0，x≠y，求证：
练习2
当
取什么值时，
取得最小值？最小值是多少？
.
解：由题目知
，则
则有
，即
当且仅当
，即
时，等号成立，
综上可知，
时，
取得最小值2.
练习3
已知
，求
的最大值.
.
解：已知
因为
所以
则有
，即
当且仅当
时，即
时，等号成立，
综上可知，当且仅当
时，
取最大值1.
练习4
当且仅当
时，等号成立，
综上可知，原不等式得证.
已知
，且
，求证：
解：已知
所以
课堂小结
掌握证明不等式的方法，了解需要注意的问题，理解“一正二定三相等”的含义.
2
理解基本不等式的证明；
1
1
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一2.2基本不等式
1．已知a，b∈R，下列不等式不成立的是( )
A．
a＋b≥2
B．
a2＋b2≥2ab
C．
ab≤
D．
|a|＋|b|≥2
2．若x>0，y>0，且x+y＝1，则xy有( )
A．最大值
B．最大值
C．最小值
D．最小值
3．若x>0，y>0，则有( )
A．最大值2
B．最大值1
C．最小值2
D．最小值1
4．已知-1）
A．最大值2
B．最大值1
C．最小值2
D．最小值1
5.若x>0，则有( )
A．最大值2
B．最大值4
C．最小值2
D．最小值4
6．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16
B．36
C．9
D．25
7．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝( )
A．16
B．9
C．36
D．25
8．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C．＋>
D．＋≥2
9．给出下列命题：①若x∈R，则x＋≥2；②若a>0，b>0，则a＋b≥2；③若a<0，b<0，则ab＋≥2；④不等式＋≥2成立的条件是x>0且y>0，其中正确命题的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②③④
10.设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②（a＋）（b＋）≥4；
③(a＋b)（＋）≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是(
)．
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②③④
答案解析
1.A
解析：a>0，b>0时，a＋b≥2才成立．
故选：A.
2．B
解析：若x>0，y>0,
x+y≥2，∴≤，xy≤，x+y＝1则xy≤即xy有最大值为.取等号时x＝y＝.
故选：B.
3.C
解析：若x>0，y>0，则≥2=2，当且仅当时取等号，所以有最小值为2.
故选：C.
4.B
解析：-10，(1-x)>0，则有(1+x)+(1-x)≥2，即2≤2，则≤1，(1+x)(1-x)≤1，当且仅当(1+x)=(1-x)时即x=0时取等号.
故选：B.
5.D
解析：若x>0，则≥2=4，当且仅当，即x=4时取等号.
故选：D.
6.D
解析：已知x>0，y>0，(1＋x)(1＋y)≤[]2＝[]2
＝（）2＝25.
因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.
故选：D.
7.C
解析：由基本不等式可得4x＋≥2
＝4，当且仅当4x＝即x＝时等号成立，∴＝3，a＝36.
故选：C.
8.D
解析：当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误，若a<0，b<0，B、C错误，在D中，∵ab>0，∴>0，∴＋≥2＝2，仅当＝，即a＝b时取等号．
故选：D.
9.B
解析：只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋≥2＝2，故①错；当a>0，b>0时，一定有a＋b≥2成立．，故②正确；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋≥2
＝2，故③正确；由基本不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2
＝2成立，这时只需x与y同号即可，故④错误．
故选：B.
10.C
解析：由于a2＋1－a＝（a－）2＋>0，故①恒成立；
由a＋≥2，b＋≥2.∴（a＋）（b＋）≥4，故②恒成立；
由于a＋b≥2，＋≥2，故（a＋）（b＋）≥4，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．
故选：C.
