(共14张PPT)
人教版高中数学必修1
第三章
函数的概念与性质
3.1.1-函数的概念（2）
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2008010302RB103010102ZD（A）
学习目标
知道区间的意义
1
1
2
2
了解函数的构成要素，掌握函数相等的条件
知识梳理
研究函数时常会用到区间的概念．
设
是两个实数，而且
．我们规定：
（１）满足不等式
的实数
的集合叫做闭区间，表示为
；
（２）满足不等式
的实数
的集合叫做开区间，表示为
；
（３）满足不等式
或
的实数
的集合叫做半开半闭区
间，分别表示为
，
．
这里的实数
都叫做相应区间的端点．
知识梳理
这些区间的几何表示如表所示．在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
知识梳理
定义
区间
数轴表示
实数集
可以用区间表示为（－∞，＋∞），“∞”读作
“无穷大”，“－∞”读作
“负无穷大”，“＋∞”读作
“正无穷大”．
如表，我们可以把满足
，
，
，
的实数
的集合，用区间分别表示为
，
，
，
．
例如，
的定义域是
，即
值域是
即
.
例2
已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求
的值；
（3）当
时，求
的值.
所以，这个函数的定义域是
(2)将-3代入解析式，得
解：(1)使根式
有意义的实数
的集合是
使分式
有意义的实数
的集合是
且
同理
（3）因为
，则
，所以
有意义.
既
知识梳理
由函数的定义可知，
一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．（函数三要素）
因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
此外，函数
和
以及函数
，虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数．
两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数．
例如，
和
，尽管两个函数的对应关系相同，但它们的定义域不同，因此它们不是同一个函数.
例3
下列函数中，哪个与函数
是同一个函数？
（1）
（2）
（3）
（4）
解：函数
的定义域为
（1）函数
的定义域为
它们对应关系相同，但是定义域不同，所以不是同一个函数.
（2）函数
的定义域为
它们对应关系相同，而且定义域相同，所以是同一个函数.
（3）函数
的定义域为
它们定义域相同，但是对应关系不同，所以不是同一个函数.
（4）函数
的定义域为
它们对应关系相同，但是定义域不同，所以不是同一个函数.
要点归纳
(1)函数值域是由函数的定义域和对应关系决定的，因此判断
两个函数相等，关键是看定义域和对应关系．
(2)定义域和值域相同的两个函数，它们也不一定是相等函数，
因为它们的对应关系不一定相同．
(3)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用不同的字母
表示自变量是无关紧要的．
对函数相等的三点说明
巩固练习
练习1
练习2
已知函数y＝f(x)的定义域是[1,2]，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
.
解：∵y＝f(x)的定义域是[1,2]，
∴在y＝f(x＋1)中，x＋1∈[1,2]．
即1≤x＋1≤2，解得0≤x≤1.
∴函数y＝f(x＋1)的定义域是[0,1]．
原则：
1.定义域指的是前面函数中x的取值范围；
2.f
的作用范围即括号内整体范围一致.
思考：
若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域．
解：∵y＝f(x+1)的定义域是[1,2]，即1≤x≤2，
括号内整体是x+1,而2≤x+1≤3.
∴函数y＝f(x)的定义域是[2,3]．
课堂小结
知道如何判断函数是否相同以及会求简单函数定义域、值域
2
会用区间表示数集，理解函数的三要素
1
1
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一3.1.1函数的概念（2）
1.函数y＝的值域是( )
A．R
B．{0}
C．{y|y∈R，且y≠0}
D．{y|y≠1}
2．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝x2＋2x＋2
3．已知f(x)＝，则f(2)－f＝( )
A．1
B．
C．
D．－
4．函数f(x)，g(x)由下列表格给出，则f[g(3)]等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
2
4
3
1
g(x)
3
1
2
4
A．4
B．3
C．2
D．1
5．已知函数f(x)＝x2＋2x，－2≤x≤1且x∈Z，则f(x)的值域是( )
A．[0,3]
B．[－1,3]
C．{0,1,3}
D．{－1,0,3}
6．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B＝( )
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(0，＋∞)
7．若函数f(x)满足f(2x－1)＝x＋1，则f(3)的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
8．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f[f(－1)]＝－1，那么a的值为( )
A．－2
B．－1
C．0
D．1
9．已知函数y＝f(2x＋1)定义域是[－2,3]，则y＝f(x)的定义域是( )
A．
B．[－1,4]
C．[－5,5]
D．[－3,7]
10.若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A.[0,1]
B.[0,1)
C.[0,1]∪(1,4]
D.(0,1)
答案解析:
1.C
解析:由y＝的图象得，函数y＝的值域为{y|y≠0}.
故选：C.
2．B
解析:y＝的值域是[0，＋∞)；函数y＝的值域是{y|y≠0}；y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，故函数y＝x2＋2x＋2的值域是[1，＋∞).故选：B.
3．C
解析:由已知得f(2)＝，f＝＝，∴f(2)－f＝.
故选：C.
4．A
解析:由g(3)＝2，所以f[g(3)]＝f(2)＝4.
故选：A.
5．D
解析:注意到函数的定义域，x＝－2，－1,0,1时分别对应f(x)＝0，－1,0,3.
∴故选：D.
6．C
解析:集合A表示函数的定义域，集合B表示函数的值域，A＝{x|x≥1}，B＝{y|y≥2}．∴A∩B＝[2，＋∞)．
故选：C.
7．C
解析:令2x－1＝3，得x＝2，故f(3)＝2＋1＝3.
故选：C.
D
解析: 令f(－1)＝t，则f(t)＝－1，于是at2－1＝－1，所以t＝0，因此f(－1)＝0，则a－1＝0，a＝1.
故选：D.
9．D
解析: 设t＝2x＋1，由x∈[－2,3]，则－3≤t≤7，所以y＝f(x)的定义域是x∈[－3,7]．
故选：D.
10．B
解析:由题意，得即0≤x<1.
故选：B.
