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人教版高中数学必修1
第三章
函数的概念与性质
3.3-幂函数
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2006010302RB10303ZD（A）
学习目标
了解幂函数的概念
1
1
2
2
结合常见幂函数的图象，理解它们的性质
前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质．本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
先看几个实例．
导入
（1）如果张红以１元/kg,的价格购买了某种蔬菜
kg，那么她需
要支付
元，这里
是
的函数；
（2）如果正方形的边长为
，那么正方形的面积
，这里
是
的函数；
（3）如果立方体的棱长为
，那么立方体的体积
，这里
是
的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为
，那么这个正方形边长
这里
是
的函数；
（5）如果某人
s内骑车行进了1km，那么他骑车的平速度
km/s,
即
，这里
是
的函数．
思考：观察（1）～（5）中函数解析式
，它们有什么共同特征？
实际上，这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，
，-1；
它们都是形如
的函数．
知识梳理
通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；
再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．
一般地，函数
叫做幂函数
，其中
是自变量，
是常数．
对于幂函数，我们只研究
＝1,2,3，
，-1时的图象与性质．
思考：结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？
通过图象，我们得到：
（1）函数
和
的图象都通过点（1，1）.
在同一坐标系中画出函数
和
的图象.
（2）函数
是奇函数，
函数
是偶函数.
（3）在区间（0，+∞）上，函数
单调递增，
函数
单调递减.
（4）在第一象限内，函数
的图象
向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近
通过图象，我们得到不同幂函数的一些性质：
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x?
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞)增，在(－∞，0]上减
增
增
在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减
知识梳理
思考：你能总结幂函数的一般性质吗？
幂函数的一般性质：
例1
证明幂函数
是增函数.
证明：函数的定义域是[0,+∞）.
且
有
因为
则
所以
即幂函数
是增函数.
巩固练习
解：
练习1
B
解：
设幂函数的解析式为
所以
所以函数的解析式为
练习2
已知幂函数
的图象过点
，求这个函数的解析式.
已知幂函数
的图象过点
，即
解：
练习3
A
练习4
用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）
（2）
解：（1）由
的定义域为R,且在R上单调递增.
由
所以
（2）因为
由
的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞),
且在(-∞，0)上单调递减.
由
所以
，即
课堂小结
掌握幂函数的性质，并会用幂函数的性质比较大小.
2
1
1
幂函数
，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一3.3-幂函数
1.下列函数是幂函数的是( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝(x＋1)2
D．y＝x
2．下列命题：
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③n＝0，函数y＝xn的图象是一条直线；
④幂函数y＝xn当n>0时，是增函数；
⑤幂函数y＝xn当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
正确的命题为( )
A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤
3．下列幂函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x－2
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝x
eq
\s\up15(
)
4.幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图，则( )
A．n>0,0
B．n<0,0C．n>0，m>1
D．n<0，m>1
5.函数y＝3xα－2的图象过定点( )
A．(1,1)
B．(－1,1)
C．(1，－1)
D．(－1，－1)
6.已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f＝( )
A．1
B．
C．
D．
7.当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的下方，则α的取值范围是( )
A．0<α<1
B．α<0
C．α<1
D．α>1
8.已知a＝1.2
eq
\s\up15(
)
，b＝0.9
eq
\s\up15(－
)
，c＝，则( )
A．cB．cC．bD．a9.函数f(x)＝(m2－m＋1)xm2＋2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m＝( ).
A．m＝0
B．m＝1
C．m＝2
D．m＝1或m＝2
10.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图象不过原点，则m的取值范围是( )
A．1≤m≤2
B．m＝1或m＝2
C．m＝2
D．m＝1
答案解析
1.D
解析： y＝x是幂函数，故选D.
2．D
解析： 由幂函数的图象和性质知②⑤正确，故选D.
3．C
解析： 当f(x)＝x3时，f(－x)＝(－x)3－x3＝－f(x)，则f(x)是奇函数，由幂函数的图象和性质，知函数在(0，＋∞)递增，故选C.
4.B
解析： 由幂函数的图象和性质，知05.A
解析： 令x＝1，得y＝1，则函数图象过定点(1,1)，故选A.
6.C
解析： 设f(x)＝xα，∵图象过点(4,2)，
∴4α＝2＝22α，∴2α＝1，∴α＝，∴f(x)＝x
eq
\s\up15(
)
，∴f＝.
故选 C
7.C
解析： 由幂函数的图象知α<1，故选C.
8.A
解析： b＝0.9－＝
eq
\s\up15(－
)
＝
eq
\s\up15(
)
，c＝＝1.1
eq
\s\up15(
)
，
∵>0，且1.2>>1.1，∴1.2
eq
\s\up15(
)
>
eq
\s\up15(
)
>1.1，即a>b>c.故选： A
9.A
解析： 由题意得，∴m＝0.故选：
A
10.B
解析： 由题意得，得m＝1或m＝2.
故选： B