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人教版高中数学必修1
第四章
指数函数与对数函数
4.4.2-不同函数增长的差异
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2007010302RB1040402ZD（A）
学习目标
在综合对比中，理解一次函数、指数函数、对数函数的不同性质，从而认识它们增长的差异
1
1
在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．
事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．
下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
导入
探究：
选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间［0，＋∞）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？
不妨以
和
为例.
列出上述两个函数的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
...
...
...
下面在更大的范围内，观察
和
的增长情况.
列出上述更大范围的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象
0
2
4
6
8
10
12
...
...
...
综上所述，虽然函数
与
在区间
［0，＋∞）都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．
注意：
指数函数不像一次函数那样按同一速度增长,而是越来越快，
呈爆炸性增长．
随着x的增大，
的增长速度越来越快,会超过并远远大于
的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，
会小于
，但由于
的增长最终会快于
的增长，因此，总会存在一个
，当
时，恒有
．
结论：
一般地，指数函数
与一次函数
的增长差异都与上述情况类似．
即使
的值远远大于
的值，
的增长速度最终都会大大超过
的增长速度．
探究：
选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间［0，＋∞）上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？
不妨以函数
和
为例.
列出上述两个函数的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象
0
不存在
10
20
30
40
50
60
...
...
...
一般地，虽然对数函数
与一次函数
在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．
随着x的增大，一次函数
保持固定增长速度，
而对数函数
的增长速度越来越慢．
不论
的值比
的值大多少，在一定范围内，
能会大于
，
但由于
的增长慢于
的增长，因此总会存在一个
，
当
时，恒有
．
结论：
知识梳理
巩固练习
练习1
B
课堂小结
不同的函数能刻画现实世界不同的变化规律：
(1)线性函数增长适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长适合于描述增长速度平缓的变化规律.
1
1
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一4.4.2-不同函数增长的差异
1．下列函数中，增长速度最慢的是( )
A．y＝6x
B．y＝log6x
C．y＝x6
D．y＝6x
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50x(x∈Z)
B．y＝1
000x
C．y＝0.4·2x－1
D．y＝·ex
3．如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是( )
A．x＞0
B．x＞2
C．x＜2
D．0＜x＜2
4．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6655
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3
B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1
D．y1，y3，y2
5．四个人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2
B．f4(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x
D．f2(x)＝4x
6.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，现给出下列说法：
①前5
min温度增加越来越快；②前5
min温度增加越来越慢；③5
min后温度保持匀速增加；④5
min后温度保持不变．
其中说法正确的是( )
①④
B．②④
C．②③
D．①③
7．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80
km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3
h，晚到1
h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5
h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5
h后与骑自行车者速度一样．
其中正确信息的序号是________．
①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
8．某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
9.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，到第7年它们发展到________只(不考虑意外死亡)．
A．300
B．400
C．500
D．600
10．对于任意x∈(m，＋∞)，不等式log2xA．2
B．3
C．4
D．5
答案解析
1．B
解析：由这几种函数的性质可知，增长速度最慢的是对数函数.
故选：B.
D
解析：指数爆炸式增长，y＝0.4·2x－1和y＝·ex虽然都是指数型函数，但y＝ex的底数e较大些，增长速度更快．
故选：D.
D
解析：由图像可知，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是0＜x＜2.
故选：D.
4．C
解析：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律.
故选：C.
5．B
解析：显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x.
故选：B.
6. C
解析：前5
min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以②③正确.故选：C.
7．A
解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．
故选：A.
8．D
解析：由题意得，y＝(1＋10.4%)x.
故选：D.
A
解析：由题意知100＝alog2(1＋1)，即a＝100.
所以第7年发展到y＝100log2(7＋1)＝300(只)．
故选：A.
10．C
解析：分析三个函数图象，当x＝4时，有log2x4时，有log2x故选：C.
