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人教版高中数学必修1
第四章
指数函数与对数函数
4.5.1-函数的零点与方程的解
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2007010302RB1040501ZD（A）
学习目标
了解函数零点的概念
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理解函数零点存在定理，初步会判断函数零点的个数
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点．
像
这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
知识梳理
由此，对于不能用公式求解的方程f(x)＝0，可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解．
探究：
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且
“穿过”x轴．
对于二次函数
，观察它的图象，发现它在区间
［2，4］上有零点.这时，函数图象与
轴有什么关系？在区间
［-2，0］上是否也有这种关系？
你认为应如何利用函数
的取值规律来刻画这种关系？
函数在端点x＝2和x＝4的取值异号，即
，函数
在区间（2，4）内有零点3，它是方程的一个根．
同样地，
，函数
在（-2，0）内有零点x＝-1，它是方程的另一个根．
知识梳理
由零点存在定理可知，
例1
求方程
的实数解的个数.
解：设函数
，则有
函数
在区间（2,3）内至少有一个零点.
函数
在区间（0,+∞）单调递增.
所以函数
只有一个零点
即方程
只有一个实数解.
知识梳理
巩固练习
练习1
B
课堂小结
判断函数零点个数的主要是方法：
(1)方程法：利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点；
(2)图象法：画出函数y＝f(x)的图象，判断其与x轴的交点个数(或转化为两个函数交点个数)，即函数y＝f(x)的零点个数；
(3)定理法：利用零点存在性定理并结合函数单调性来判断．
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慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一4.5.1函数的零点与方程的解
1．下列函数存在零点的是( )
A．y＝
B．y＝log7x
C．y＝－x2＋x－1
D．y＝3x
2．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
3．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(精确到0.01)如下：
x
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
y
1.00
0.68
0.24
－0.24
－0.70
－1.00
则函数f(x)的一个零点所在的区间是( )
(0.6,1.0)
B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2)
D．(2.6,3.0)
4．二次函数y＝x2＋2x－3的零点和顶点坐标为( )
A．3,1；(－1，－4)
B．－3，－1；(－1,4)
－3,1；(－1，－4)
D．－3,1；(1，－4)
5.方程ln
x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝( ).
A．1
B．0
C．2
D．3
6．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1
007个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1
007
B．1
008
C．2
014
D．2
015
7．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
8．函数y＝x3与y＝x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在区间为( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为( )．
(－1,0)
B．(－2,－1)
C．(0,1)
D．(1,2)
10．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，2
B．0，－
C．0，
D．2，
答案解析
B
解析：令y＝log7x＝0，得x＝1.
故选：B.
2．A
解析：由零点的定义知选项A没有零点．
故选：A.
3．C
解析：由零点存在定理，∵f(1.8)·f(2.2)<0，∴零点存在的区间是(1.8,2.2)．
故选：C.
4．C
解析：由y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得抛物线的顶点为(－1，－4)．解方程x2＋2x－3＝0，得x1＝－3，x2＝1.
故选：C.
D
解析：构造函数f(x)＝ln
x＋2x－8
∵f(1)＝－6<0，f(2)＝ln
2－4<0，f(3)＝ln
3－6<0，
f(4)＝ln
4>0.
∴方程ln
x＝8－2x的实数根x∈(3,4)，∴k＝3.
故选：D.
6．D
解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且又f(x)在(0，＋∞)上有1
007个零点，∴f(x)在(－∞，0)上有1
007个零点，又f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，故f(x)有1
007×2＋1＝2
015个零点．
故选：D.
7．C
解析：∵f(x)＝ex＋x－2在(－∞，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)的零点所在的区间为(0,1)．
故选：C.
8．C
解析：设f(x)＝x3－x，显然f(x)为单调递增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝，∴f(x)的零点在(0,1)内，即y＝x3与y＝x的交点(x0，y0)，x0∈(0,1)．
故选：C.
9.
A
解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，
∴∴∴－1故选：A.
10．B
解析：由题意得2a＋b＝0，∴bx2－ax＝0，得－2ax2－ax＝0，得x＝0，或x＝－.
故选：B.
