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人教版高中数学必修1
第四章
指数函数与对数函数
4.5.3-函数模型的应用
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2007010302RB1040503ZD（A）
学习目标
了解常用的函数模型
1
1
知道建立函数模型解决问题的基本过程
1
2
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．
面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
导入
例4
2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数
建立数学模型．
解：设样本中碳14的初始量为
，衰减率为
，经过
年后，残余量为
，根据问题的实际意义，可选择如下模型：
由碳14的半衰期为5730年，得
，于是
所以，
由题意得
因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的．
由计算工具得
例5
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报
如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．画出三个函数的图象
解：设第
天所得回报是
元，
则方案一可以用函数
进行描述；
方案二可以用函数
进行描述；
方案三可以用函数
进行描述．
从每天所得回报看，
在第1～3天，方案一最多；
在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；
在第5～8天，方案二最多；
第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多.
因此，投资1～6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8～10天，应选择方案二；
投资11天
（含11天）以上，则应选择方案三．
方案
天数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下
知识梳理
知识梳理
巩固练习
练习1
在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少个月？
解：设野兔的增长率为
，若野兔初始数量为
，则有
设1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要
个月，则有
所以，1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要
个月.
课堂小结
在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.
1
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一4.5.3函数模型的应用
1．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是( )
(1)这几年生活水平逐年得到提高；
(2)生活费收入指数增长最快的一年是2008年；
(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；
(4)虽然2
010年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为( )
A．100
km
B．125
km
C．150
km
D．225
km
3．下图是变量所对应的散点图，采用哪一个拟合函数较好
( )
A．一次函数模型
B．指数函数模型
C．对数函数模型
D．幂函数模型
4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
5．长为3，宽为2的矩形，当长增加x，宽减少时，面积达到最大，此时x的值为( )
A.1
B.
C.
D.
6．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是( )
7．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元
B．42元
C．54元
D．越高越好
8.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )
A.
B.
C.－1
D.－1
9.工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y＝a·2x＋b.现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为( )万件．
A．
B．3
C．4
D．2
10.用长度为24
m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙．要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3
m
B．4
m
C．5
m
D．6
m
答案解析
1．C
解析：由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2
008～2
009年最陡；故(2)正确；“生活价格指数”在2
009～2
010年最平缓，故(3)不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故(4)正确．
故选：C.
2．C
解析：t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150
km.
故选：C.
3．B
解析：从散点图可以看出，随着x的增大，y的值呈指数函数函数值的“爆炸式”增大，选指数函数模型来拟合较好．
故选：B.
4．D
解析：由已知实际问题的增长速度，可知应选用对数型函数．
故选：D.
5．B
解析：S＝(3＋x)（2－）＝－＋＋6，当x＝时，S取最大值．
故选：B.
6．C
解析：从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.
故选：C.
7．B
解析：设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．
由题意得，y＝m(x－30)＝(x－30)(162－3x)．
上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.
∴当x＝42时，利润最大.
故选：B.
D
解析：设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.
故选：D.
A
解析：由题意得得∴y＝·2x＋，当x＝3时，y＝×8＋＝.
故选：A.
A
解析：设隔墙的长为x
m，矩形场地的面积为S，则
S＝x·＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，
所以当x＝3时，S有最大值18.
故选：A.
