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人教版高中数学必修1
第五章
三角函数
5.4.4-正切函数的性质与图象
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2007010302RB1050404ZD（A）
学习目标
了解正切函数的图象，理解其画法
1
1
明确正切函数的性质
2
思考：
（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切
函数的图象与性质？
（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？
根据研究正弦函数、余弦函数的经验，我们从正弦函数、余弦函数的定义出发，根据角的终边与单位圆交点的坐标在圆中的对称性来研究正弦函数、余弦函数的图象与性质.
有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．
知识梳理
1.周期性
由诱导公式
且
可知，正切函数是周期函数，周期是
2.奇偶性
由诱导公式
且
可知，正切函数是奇函数.
思考：
你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
可以先考察函数
的图象与性质，
然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．
探究：
如何画出函数
的图象？
如图,设
在直角坐标系中画出角
的终边与单位圆的交点
过点
作
轴的垂线，垂足为
；过点
作
轴
的垂线与角
的终边交于点
，则
由此可见，当
时，线段
的长度
就是相应角
的正切值．我们可以利用线段
画出函数
的图象，如图
观察图可知，当
时，随着
的增大，线段
的长度也在增大，而且当
趋向于
时，
的长度趋向于无穷大．相应地，函数
的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线
．
(渐近线)
探究：
你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？
根据正切函数是奇函数，只要画
的图象关于原点的对称图形，就可得到
的图象；
根据正切函数的周期性，只要把函数
的图象向左、右平移，每次平移
个单位，就可得到正切函数
的图象，我们把它叫做正切曲线.如图
从图可以看出，
正切曲线是被与y轴平行的一系列直线
隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．
3.单调性
观察正切曲线可知，正切函数在区间
上单调递增.
由正切函数的周期性可得，
正切函数在每一个区间
上都单调递增．
4.值域
当
时，
在
内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．
因此，正切函数的值域是实数集
．
自变量
的取值应满足
狓
－π
２
?
０
?
π
２
?
π
?
３π
２
ｓｉｎ狓
－１
?
０
?
１
?
０
?
－１
狓
－π
２
?
０
?
π
２
?
π
?
３π
２
ｓｉｎ狓
－１
?
０
?
１
?
０
?
－１
?
?
?
?
?
?
?
?
解：
即
所以，函数的定义域是
设
又因为
所以
即
例6
求函数
的定义域、周期及单调区间．
因为
都有
由
解得
因此，函数在区间
上单调递增.
所以，函数的周期为2.
巩固练习
练习
解不等式
解：
课堂小结
要能够结合三角函数图象以及特殊角的三角函数值解决简单的三角函数不等式问题
2
掌握正切曲线的特点，理解正切函数的性质（周期性、单调性、奇偶性、对称性以及定义域值域）
1
1
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一5.4.4正切函数的性质与图象
y＝tanx( )
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间(k∈Z)上为增函数
D．在每一个闭区间(k∈Z)上为增函数
2．
f(x)＝tan2x是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
3．函数y＝3tanx－1的定义域是( )．
A．{x|x≠kπ，k∈Z}
B．
C．(k∈Z)
D．.
4．函数y＝tanx＋是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
5．函数y＝tan(x＋π)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
6．函数y＝tan(x＋)的定义域是( )
A．{x|x≠－}
B．{x|x≠}
C．{x|x≠kπ－，k∈Z}
D．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
7．函数y＝2tan的最小正周期是( )
A.
B.
C.
D.
8．下列叙述正确的是( )
A．函数y＝cosx在(0，π)上是增函数
B．函数y＝tanx在(0，π)上是减函数
C．函数y＝cosx在(0，π)上是减函数
D．函数y＝sinx在(0，π)上是增函数
9．下列不等式中，正确的是( )
A．tan>tan
B．tanC．tanD．tan>tan
10．当－A．关于原点对称
B．关于x轴对称
C．关于y轴对称
D．不是对称图形
答案解析
1.C
解析：正切函数y=tanx，在每一个开区间(k∈Z)上为增函数，故选：C.
2.B
解析：f(－x)＝tan2（-x）＝tan2x＝f(x)，即函数f(x)＝tan2x是偶函数，
故选：B．
3.B
解析：由题意可知函数y＝3tanx－1的定义域是：
，故选：B.
4.A
解析：定义域是∩{x|x≠kπ，k∈Z}＝.
又f(－x)＝tan(－x)＋＝－＝－f(x)，即函数y＝tanx＋是奇函数．
5．A
解析：函数y＝tan(x＋π)即y=tanx，故是奇函数，故选A.
6．D
解析：令t=x+，则函数y＝tant的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，因此有：t≠kπ＋，即x+≠kπ＋，得x≠kπ＋，所以函数y＝tan(x＋)的定义域是：{x|x≠kπ＋，k∈Z}.故选：D.
7．B
解析：由题意可知，函数y＝2tan的最小正周期是T==，
故选：B.
8．C
解析：由题意可知：函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，故选：C.
9．D
解析： tan＝tantan＝tantan＝tan，tan＝tan，
∵tan>tan，∴tan>tan，
tan＝tan＝tan＝－tan，
tan＝tan
＝tan＝－tan.
又tan>tan，所以tan10．C
解析：f(－x)＝tan|－x|＝tan|x|＝f(x)，即函数y＝tan|x|是偶函数．图象关于y轴对称.故选：C.
