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人教版高中数学必修1
第五章
三角函数
5.5.4-二倍角的正弦、余弦、正切公式
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2007010302RB1050504ZD（A）
学习目标
能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
1
1
能利用二倍角公式进行化简、求值.
2
以公式
为基础，我们已经得到六个和（差）角公式，下面将以和（差）角公式为基础来推导倍角公式．
探究：
你能利用
推导出
的公式吗？
知识梳理
通过推导，可以得到：
以上这些公式都叫做倍角公式．
倍角公式给出了
的三角函数与
的三角函数之间的关系．
如果要求二倍角的余弦公式
中仅含
的正弦（余弦），那么由
可得到：
归纳：
狓
－π
２
?
０
?
π
２
?
π
?
３π
２
ｓｉｎ狓
－１
?
０
?
１
?
０
?
－１
狓
－π
２
?
０
?
π
２
?
π
?
３π
２
ｓｉｎ狓
－１
?
０
?
１
?
０
?
－１
?
?
?
?
?
?
?
?
解：
例5
已知
求
的值．
由
得
又因为
所以
于是
由
得
狓
－π
２
?
０
?
π
２
?
π
?
３π
２
ｓｉｎ狓
－１
?
０
?
１
?
０
?
－１
狓
－π
２
?
０
?
π
２
?
π
?
３π
２
ｓｉｎ狓
－１
?
０
?
１
?
０
?
－１
?
?
?
?
?
?
?
?
例6
在△
中，
求
的值．
解法1：在△
中，
所以
又因为
所以
于是
狓
－π
２
?
０
?
π
２
?
π
?
３π
２
ｓｉｎ狓
－１
?
０
?
１
?
０
?
－１
狓
－π
２
?
０
?
π
２
?
π
?
３π
２
ｓｉｎ狓
－１
?
０
?
１
?
０
?
－１
?
?
?
?
?
?
?
?
例6
在△
中，
求
的值．
所以
又因为
所以
所以
解法2：在△
中，
由
得
巩固练习
解：
练习1
求下列各式的值
巩固练习
练习2
课堂小结
利用二倍角公式进行化简求值过程中，灵活掌握公式的逆用以及变形，特别是升降幂公式的应用
2
掌握二倍角公式，能利用二倍角公式进行化简求值
1
1
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一5.5.4二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.已知sinα＝，cosα＝，则sin2α等于( )
A.
B.
C.
D.
2.已知cosα＝，则cos2α等于( )
A.
B.
C.－
D.
3.已知cosα＝，则cos2α＝( )
A.
B.
C.－
D.－
4．已知sinθ＝，sinθcosθ<0，则sin2θ的值为( )
A．－
B．－
C．－
D．
5．若x＝，则cos2x－sin2x的值等于( )
A.
B.
C.
D.
6．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在(，)上是递增的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
－sin215°的值是( )
A.
B.
C.
D.
8．下列各式中，值为的是( )
A．sin15°cos15°
B．2cos2－1
C.
D.
9．已知sin2α＝，α∈，则cosα－sinα的值是( )
A．－
B．
C．
D．－
10．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝( )
A．－
B．－
C．
D．
答案解析：
1. D
解析： sin2α＝2sinαcosα＝.
2. C
解析： cos2α＝2cos2α－1＝－1＝－.
3． B
解析： ∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1
＝2×()2－1＝.
4． A
解析： ∵sinθ＝>0，sinθcosθ<0，
∴cosθ<0.
∴cosθ＝－＝－.
∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－.
5． D
解析： 当x＝时，cos2x－sin2x＝cos2x
＝cos(2×)＝cos＝.
6． B
解析：因为f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，所以f(x)是奇函数，因而f(x)的图象关于原点对称，故选B.
7. D
解析： 原式＝－＝＝.
8． D
解析： sin15°cos15°＝sin30°＝；
2cos2－1＝cos＝，
＝cos15°≠，
＝tan45°＝，∴选D.
9． A
解析： ∵α∈，∴sinα>cosα.
又∵(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－＝，
∴cosα－sinα＝－.
10． A
解析： sinα＋cosα＝，两边平方可得1＋sin2α＝?sin2α＝－
α是第二象限角，因此sinα>0，cosα<0，
所以cosα－sinα＝－＝－＝－
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝－
