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人教版高中数学必修1
第五章
三角函数
5.5.1-两角差的余弦公式
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2007010302RB1050501ZD（A）
学习目标
了解两角差的余弦公式的推导过程
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熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行初步的恒等变形
2
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.
导入
观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角
的和
（或差)的三角函数与这个任意角
的三角函数的恒等关系．
如果把特殊角换为任意角
，那么任意角
与
的和（或差）的三角函数与
的三角函数会有什么关系呢？
下面来研究这个问题.
探究：
如果已知任意角
的正弦、余弦，能由此推出
的正弦、余弦吗？
下面，我们来探究
与角
的正弦、余弦之间的关系．
不妨令
如图设单位圆与
轴的正半轴相交于点
以
轴非负半轴为始边作角
它们的终边分别与单位圆相交于点
连接
若把扇形
绕着点
旋转
角，则点
分别与点
重合．根据圆的旋转对称性可知，弧
与弧
重合，
从而弧
弧
，所以
根据
我们知道平面上任意两点
之间的距离公式
由于
左边
右边
化简得
当
时，容易证明上式仍然成立.
所以，对于任意角
有
此公式给出了任意角
的正弦、余弦与其差角
的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作
例1
利用公式
证明：
(1)
(2)
证明：
(1)
(2)
例2
已知
是第三象限角，求
的值.
解：
由
得
又由
是第三象限角，得
所以
巩固练习
练习1
求
解：
巩固练习
解：
练习2
课堂小结
利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．
2
对两角差的余弦公式的理解：
公式中的
都是任意角；
公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用．
1
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慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一5.5.1两角差的余弦公式
1.cos(30°－45°)等于( )
A.
B.
C.
D.
2.cos105°＝( ).
A.
B.
C.
D.
3.cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝( )
A.
B.
C.
D.
4.cos等于( )
A.－cosα
B.cosα
C.cosα＋sinα
D.cosα－sinα
5.cos165°等于( )
A.
B.
C.－
D.－
6．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝π，β＝
B．α＝，β＝
C．α＝，β＝
D．α＝，β＝
7．cos39°cos9°＋sin39°sin9°等于( )
A．
B．
C．－
D．－
8．cos555°的值为( )
A．
B．－
C．
D．
9.sin(α－β)sinα＋cos(α－β)cosα＝( ).
A.cosβ
B.cosα
C.sinα
D.sin(α－β)
10.已知sinθ＝，θ∈(，π)，则cos(θ－)的值为( )．
A..
B.
C..
D.
答案解析
1. D
解析： cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.
2.
A
解析：将105°表示成150°－45°，再用公式C(α－β)计算，cos105°＝cos(150°－45°)＝cos150°cos45°＋sin150°sin45°＝－×＋×＝.
3． B
解析：cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.
4． C
解析：cos＝coscosα＋sinsinα＝cosα＋sinα.
5． C
解析：cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－.
6． B
解析： 由条件cosαcosβ＝－sinαsinβ得
cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α－β)＝，α＝，β＝满足条件．
7． B
解析：cos39°cos9°＋sin39°sin9°＝cos(39°－9°)＝cos30°＝.
8． B
解析：cos555°＝cos(360°＋195°)＝cos(180°＋15°)
＝－cos15°＝－cos(45°－30°)
＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－.
9． A
解析： 原式＝cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝cosβ
10． C
解析：∵sinθ＝，θ∈(，π)，
∴cosθ＝－＝－＝－，
∴cos(θ－)＝cosθcos＋sinθsin
＝－×＋×＝.
