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人教版高中数学必修1
第五章
三角函数
5.6-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2008010302RB1050601ZD（A）
学习目标
理解参数A，
，
对函数y＝Asin(
x＋
)的图象的影响
1
1
能够将y＝sin
x的图象进行变换得到y＝Asin(
x＋
)，x∈R的图象
2
导入
我们利用三角函数的知识能够建立形如
（其中
）的函数．显然，这个函数由参数
所确定．因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质．
思考：
从解析式看，函数
就是函数
在
时的特殊情形.
(1)能否借助我们熟悉的函数
的图象与性质来研究参数
对函数
的影响？
(2)函数
含有三个参数，你认为应该按怎样的思路进行研究？
如果动点
以
为起点(此时
)，经过
后运动到点
，那么点
的纵坐标
就等于
，以
为坐标描点，可得正弦函数
的图象．
1.探索
对
图象的影响
为了更加直观地观察参数
对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验．
如图，取
动点
在单位圆
上以单位角速度按逆时针方向运动．
探究：
在单位圆上拖动起点
，使点
绕点
旋转
到
，你发现图象有什么变化？
如果使点
绕点
旋转
或者旋转一个任意角
呢？
当起点位于
时，
，可得函数
的图象．
进一步，在单位圆上，设两个动点分别以
，
为起点同时开始运动．如果以
为起点的动点到达圆周上点
的时间为
，那么以
为起点的动点相继到达点
的时间是
s
.
这个规律反映在图象上就是：如果
是函数
图象上的一点，那么
就是函数
图象上的点，如图所示．
这说明，把正弦曲线
上的所有点向左平移
个单位长度，就得到
的图象．
一般地，当动点
的起点位置
所对应的角为
时，对应的函数是
，把正弦曲线上的所有点向左（当
时）或向右
（当
时）平移
个单位长度，就得到函数
的图象．
2.探索
对
图象的影响
下面，仍然通过数学实验来探索．如图，取圆的半径
．为了研究方便，不妨令
．当
时得到
的图象．
探究：
取
，图象有什么变化？取
呢？取
图象又有什么变化？
当
取任意正数呢？
进一步，在单位圆上，设以
为起点的动点，当
时到达点
的时间为
，
当
时到达点
的时间为
.因为
时动点的转速是
时的2倍，所以
．这样，设
是函数
图象上的一点，那么
就是函数
图象上的相应点，如图所示.
一般地，函数
的周期是
，把
图象上所有点的横坐标缩短（当
时）或伸长（当
时）到原来的
倍（纵坐标不变），就得到
的图象．
这说明，把
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍
（纵坐标不变），就得到
的图象．函数
的周期为
，是
的周期的
倍．
同理，当
时，动点的转速是
时的
倍，以
为起点，到达点
的时间是
时的2倍．这样，把
图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍
（纵坐标不变），就得到
的图象．
的周期为
，是
的周期的2倍．
3.探索
对
图象的影响
下面通过数学实验探索A对函数图象的影响．为了研究方便，不妨令
当
时，如图，可得
的图象．
探究：
改变
的取值，使
取
等，你发现图象有什么变化？当
取任意正数呢？
当
时，得到函数
的图象．
这样，设
是函数
图象上的一点，那么点
就是函数
图象上的相应点，如图上图所示．
进一步，设射线
与以
为圆心、2为半径的圆交于
．如果单位圆上以
为起点的动点，以
的转速经过
到达圆周上点
，那么点
的纵坐标是
；相应地，点
在以
为圆心、2为半径的圆上运动到点
，点
的纵坐标是
．
同理，把
图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1/2倍
（横坐标不变），就得到
的图象．
一般地，函数
的图象，可以看作是把
图象上所有点的纵坐标伸长（当
时）或缩短（
）到原来的
倍（横坐标不变）而得到．从而，函数
的值域是
，最大值是
，最小值是
．
思考：
你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到
图象的过程与方法吗？
一般地，函数
的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数
的图象；再把正弦曲线向左
（或右）平移|
|个单位长度，得到函数
的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数
的图象．
从上述步骤可以清楚地看到，参数
是如何对函数图象产生影响的．
例1
画出函数
的简图．
解：先画出函数
的图象；再把正弦曲线向右平移
个单位长度，得到函数
的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的
倍，得到函数
的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数
的图象，如图所示．
下面用
“五点法”画函数
在一个周期
内的图象．
令
则
．列表描点画图.
巩固练习
练习1
三角函数式中确定
的方法：
巩固练习
练习2
巩固练习
练习2
课堂小结
课堂小结
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sinx－
B．y＝sinx＋
C．y＝sin
D．y＝sin
2.把函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)，所得图象的解析式为( )
A．y＝4sinx
B．y＝sinx
C．y＝sin4x
D．y＝sinx
3.将函数y＝sinx的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得( )的图象．
A．y＝4sinx
B．y＝sinx
C．y＝sin4x
D．y＝sinx
4．把函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标缩短到原来的，则所得图象的解析式是( )
A．y＝sin(4x＋)
B．y＝sin(4x＋)
C．y＝sin4x
D．y＝sinx
5．为了得到y＝cos的图象，只需把y＝cosx的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
6．要得到函数y＝cos2x的图象，只需将y＝cos(2x＋)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
7．下列命题正确的是( )
A．y＝sinx的图象向右平移个单位得y＝cosx的图象
B．y＝cosx的图象向右平移个单位得y＝sinx的图象
C．当φ>0时，y＝sinx的图象向右平移φ个单位可得y＝sin(x＋φ)的图象
D．当φ<0时，y＝sinx的图象向左平移φ个单位可得y＝sin(x－φ)的图象
8．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象( )
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
9．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin(2x－)
B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－)
D．y＝sin(x－)
10．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－，]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
答案解析：
1.D
解析：结合左加右减，可知D正确。
2.B
解析：由于各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，所以应当对sinx的系数进化变化，即y＝sinx.
3.C
解析：由于各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，所以应当对x的系数进化变化，即y＝sin4x.
4.C
解析：分清对横坐标还是纵坐标所作的变换，左、右平移是对x变化，并且是对单个的x进行变化，把y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，用(x－)代换原解析式中的x，即得函数式y＝sin[2(x－)＋]，即y＝sin2x，再把y＝sin2x的图象上的各点的横坐标缩短到原来的，就得到解析式y＝sin2(2x)，即y＝sin4x的图象．
5．A
解析：由图象的周期变换可知，A正确．
6．B
解析：平移问题遵循“左加右减，只针对x而言”的原则．则y＝cos2x只需向左平移个单位即可．而y＝cos(2x＋)需右移个单位，得到y＝cos2x.
7．B
解析：结合左加右减以及诱导公式五六，可知B正确。
8．C
解析：y＝cos2x→y＝cos(2x＋1)＝cos2(x＋)，向左平移.
9．C
解析：函数y＝sinx的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y＝sin(x－)的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin(x－)的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin(x－)．
10．A
解析：由图象知T＝π，∴ω＝2.
又A＝1，∴y＝sin(2x＋φ)．
又图象过点(，1)，∴sin(＋φ)＝1.
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
∴y＝sin(2x＋)，故A满足条件．
