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人教版高中数学必修1
第五章
三角函数
5.1.2-弧度制
授课：张丹老师
[慕联教育同步课程导学篇]
课程编号：TS2007010302RB1050102ZD（A）
学习目标
2
1
1
“弧度的角”的定义，初步掌握弧度与角度的换算
2
明确弧长公式和扇形面积公式，理解“角度制”与“弧度制”的区别与联系
3
熟悉特殊角的弧度数
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的史书来度量角的大小呢？
知识梳理
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制。
如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角。在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条弧线，这条弧线对应于圆心角。
于是
探究
于是
可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关．
也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．
这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．
如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=在旋转过程中，点Q所形成的圆弧
的长度与的比值是多少？你能得出什么结论？
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
如图，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在单位圆O中，长度等于1，AOB就是1弧度的角。
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
知识梳理
据上述规定，在半径为
的圆中，弧长为
的弧所对的圆心角为?rad，那么
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或小于-2π的角。这样就可以得到弧度为任意大小的角。
角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算，
如何换算呢？
探究
360°＝2
rad，180°＝
rad，
1°＝rad≈0.01745
rad。
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；
用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．
因为周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以
反过来有
一般地，只需根据
就可以进行弧度与角度的换算了.
解：
例4
例5
解：
知识梳理
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或
“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数．例如，角＝2就表示是2rad的角；
就表示
rad的角的正弦，即
知识梳理
注意：同一表达式中角度与弧度不能混用
半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
下面证明（2）（3）
证明：
由公式
可得
将n°转换为弧度，得
于是
将
代入上式，即得
例6
利用弧度制证明下列关于扇形的公式
（1）
（2）
（3）
其中
是圆的半径，（0＜
＜2π）为圆心角，
是扇形的弧长，
S是扇形的面积．
α
巩固练习
练习1
解：
课堂小结
理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算，
熟悉特殊角的弧度数
1
1
2
慕联提示
亲爱的同学，课后请做一下习题测试，假如达到90分以上，就说明你已经很好的掌握了这节课的内容，有关情况将记录在你的学习记录上，亲爱的同学再见!杭州慕联教育科技有限公司（www.moocun.com）
人教版数学高中必修一5.1.2弧度制
1.在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的( )
A．弦长相等
B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径
D．弧长等于所在圆的半径
2.下列表述中正确的是( )
A．一弧度是一度的圆心角所对的弧
B．一弧度是长度为半径的弧
C．一弧度是一度的弧与一度的角之和
D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
3.下列命题中，正确的命题是( )
①1°的角是周角的，1
rad的角是周角的；
②1
rad的角等于1度的角；
③180°的角一定等于π
rad的角；
④“度”和“弧度”是度量角的两种单位．
A.①③④
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
4．下列各式正确的是( )
A．＝90
B．＝10°
C．3°＝
D．38°＝
5．把角－570°化为2kπ＋α(0≤α<2π)的形式为( )
A．－3π－π
B．－4π＋150°
C．－3kπ－30°
D．－4π＋π
对应的角度是( )
A．75°
B．125°
C．135°
D．155°
7.半径为2
cm，圆心角为的扇形面积为( )
A.cm2
B.
cm2
C.
cm2
D.
cm2
8．已知扇形AOB的面积为4，圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长为( )
A．4
B．2
C．1
D．8
9.把化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A.＝＋5π
B.＝＋4π
C.＝－＋6π
D.＝＋3π
10．圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
答案解析
1. D
解析：由弧度的定义可知：1弧度的圆心角所对的弧长等于所在圆的半径.
故选：D.
2. D
解析：由弧度的定义：一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位.可知本题选：D.
故选：D.
3. A
解析：对于④，“弧”与“弧度”是度量角的两种不同单位，故④正确；对于①，因为1°＝，1＝，所以①正确；
对于③，由弧度制规定知π
rad＝180°，故③正确．
故选：A.
4. B
解析：对A选项，应该是
＝90°，故不符题意；
对B选项，＝10°，正确，符合题意；
对C选项，3°＝，错误，不符题意；
对D选项，明显存在错误，不符题意.
故选：B.
5. D
解析：(1)－3π不是2kπ的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为2kπ＋α的形式，其中α的范围也有限制．故A、C错．
同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故B错．
故选：D.
6. C
解析：由题意可知：=135°.
故选：C.
7. C
解析：由l＝r·α＝2×π＝(cm)，
所以扇形的面积S＝lr＝··2＝(cm2)．
故选：C.
8. A
解析：S＝l·r＝·α·r2＝4，
∵α＝2，∴r＝2，∴l＝α·r＝4.
故选：A.
9. B
解析：＝π＝π＋4π.
故选：B.
10.
B
解析：α＝＝＝α，故圆心角不变．
故选：B.
