2020年秋季苏科版九年级上册知识强化练习：1.3 一元二次方程的根与系数的关系（word解析版）

2020年秋季苏科版九年级上册知识强化练习
1.3
一元二次方程的根与系数的关系
一．选择题
1．设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．3
B．﹣
C．
D．﹣2
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4．则k的值为（　　）
A．﹣1
B．4
C．﹣4
D．﹣5
3．若x1、x2是方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则代数式（x1+1）（x2+1）的值为（　　）
A．8
B．10
C．12
D．14
4．设m是整数，关于x的方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0有有理根，则方程的根为（　　）
A．
B．x＝﹣1
C．
D．有无数个根
5．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2
B．k＞2
C．﹣2＜k≤0
D．0≤k＜2
6．已知关于x的方程（m2﹣3m+2）x2+（1﹣2m）x﹣m（m+1）＝0的根是整数，其中m是实数，则m可取的值有（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
7．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣4
C．﹣4或1
D．﹣1或4
8．m、n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，（m2﹣2020m+2020）?（n2﹣2020n+2020）的值是（　　）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
二．填空题
9．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子3m2+6m﹣mn的值为　
　．
10．若方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根分别为x1和x2，则＝　
　．
11．已知a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则a2b+ab2的值是　
　．
12．若关于x的方程x2﹣34x+34k﹣1＝0至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k的值　
　．
13．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有　
　个．
14．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是　
　．
三．解答题
15．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x1，x2满足不等式4+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1?x2＝4，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
18．试求出所有的正整数a，使得关于x的二次方程ax2+（4a﹣1）x+2（2a﹣3）＝0至少有一个整数根．
参考答案
一．选择题
1．解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，
由根与系数的关系：x1+x2＝，
故选：A．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4，
∴k+1＝﹣4，
∴k＝﹣5．
故选：D．
3．解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6，
所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝6+5+1＝12．
故选：C．
4．解：（1）当m＝0，原方程变为：x+1＝0，
解得x＝﹣1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，
∵方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0有有理根，
∴△＝b2﹣4ac为完全平方数，即△＝（m﹣1）2﹣4m＝（m﹣3）2﹣8为完全平方数，
而m是整数，
∴设（m﹣3）2﹣8＝n2，即（m﹣3）2＝8+n2，
∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．
∴n2的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，
∴n＝1，
∴m﹣3＝3，即m＝6，
所以方程为：6x2﹣5x+1＝0，（2x﹣1）（3x﹣1）＝0，
∴x1＝，x2＝，
故选：C．
5．解：由题意可知：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，
∵x1+x2﹣x1x2＜﹣1，
∴﹣2﹣k﹣1＜﹣1，
∴k＞﹣2，
∵△＝4﹣4（k+1）≥0，
∴k≤0，
∴﹣2＜k≤0，
故选：C．
6．解：①当m2﹣3m+2≠0时，即m≠1和m≠2时，
由原方程，得
[（m﹣1）x+m][（m﹣2）x﹣（m+1）]＝0
解得，x＝﹣1﹣
或
x＝1+，
∵关于x的方程（m2﹣3m+2）x2+（1﹣2m）x﹣m（m+1）＝0的根是整数，
∴m＝0.5，m＝1.5，m＝1.25；
②当m2﹣3m+2＝0时，
m＝1，m＝2，
分别可得x＝0，x＝2，
因此m＝1，m＝2也可以；
综上所述，满足条件的m值共有5个．
故选：C．
7．解：∵关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α?β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α?β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
8．解：∵m，n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，
∴m2﹣2019m+2020＝0，n2﹣2019n+2020＝0，mn＝2020，
∴（m2﹣2020m+2020）?（n2﹣2020n+2020）
＝（﹣m）（﹣n）
＝mn
＝2020．
故选：D．
二．填空题
9．解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∴3m2+6m﹣mn＝2（m2+2m）﹣mn＝2×1﹣mn＝2﹣mn，
∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣1，
∴3m2+6m﹣mn＝2﹣2×（﹣1）＝4．
故答案为4．
10．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，
所以+＝＝＝﹣．
故答案为﹣．
11．解：∵a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，
∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3，ab＝﹣1，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3，
故答案为：3．
12．解：∵方程x2﹣34x+34k﹣1＝0至少有1个正整数根，
∴△＝342﹣4（34k﹣1）＝1160﹣136k≥0，
正整数k可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，
∵只有当k＝1时，x1＝1，x2＝33，
∴正整数k的值是1．
故答案为：1．
13．解：①当a＝1时，x＝1；
②当a≠1时，原式可以整理为：[（a﹣1）x+a+1]（x﹣1）＝0，
易知x＝1是方程的一个整数根，
再由1+x＝且x是整数，知1﹣a＝±1或±2，
∴a＝﹣1，0，2，3；由①、②得符合条件的整数a有5个．
故答案为：5．
14．解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143＝0?25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39＝0，
即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）＝39，
∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，
而只存在39＝1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，
①当5x﹣26＝1、5x﹣5a+26＝39联立解得a＝2.8不符合，
②当5x﹣26＝39、5x﹣5a+26＝1联立解得a＝18，
③当5x﹣26＝3、5x﹣5a+26＝13联立解得a＝8.4不符合，
④当5x﹣26＝13、5x﹣5a+26＝3联立解得a＝12.4不符合，
∴当a＝18时，方程为5x2﹣90x+325＝0两根为13、﹣5．
故答案为：18．
三．解答题
15．解：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4×2（m+1）≥0，
解得m≤﹣．
故实数m的取值范围是m≤﹣；
（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝，
∵4+4x1x2＞x12+x22，
∴4+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，
即4+6x1x2＞（x1+x2）2，
∴4+6×＞1，
解得m＞﹣2，
∴﹣2＜m≤﹣，
∴整数m的值为﹣1．
16．解：（1）根据题意得△＝4m2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，
∵x1+x2+x1?x2＝4，
∴2m+m2+m＝4，
整理得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，
∵m≤0，
∴m的值为﹣4．
17．解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
18．解：ax2+（4a﹣1）x+2（2a﹣3）＝0，
ax2+4ax+4a＝x+6，
a（x+2）2＝x+6，
当x＝﹣2时，a不存在，
所以x≠﹣2，
∵a是正整数，
∴a＝≥1，
由（x+2）2＞0得（x+2）2≤x+6，
整理得x2+3x﹣2≤0．
解得：≤x≤，
所以x可取﹣3、﹣2（舍去）、﹣1、0，
依次代入a＝得到：
x＝﹣3，a＝3；x＝﹣1，a＝5；x＝0，a＝1.5（舍去）．
∴满足条件的正整数a的值是3和5．