专题19
力学计算题
【2020年】
1.（2020·新课标Ⅰ）我国自主研制了运-20重型运输机。飞机获得的升力大小F可用描写，k为系数；v是飞机在平直跑道上的滑行速度，F与飞机所受重力相等时的v称为飞机的起飞离地速度，已知飞机质量为时，起飞离地速度为66
m/s；装载货物后质量为，装载货物前后起飞离地时的k值可视为不变。
（1）求飞机装载货物后的起飞离地速度；
（2）若该飞机装载货物后，从静止开始匀加速滑行1
521
m起飞离地，求飞机在滑行过程中加速度的大小和所用的时间。
【答案】(1)；（2）2m/s2，
【解析】（1）空载起飞时，升力正好等于重力：
满载起飞时，升力正好等于重力：
由上两式解得：
（2）满载货物的飞机做初速度为零的匀加速直线运动，所以
解得：
由加速的定义式变形得：
解得：
2.（2020·新课标Ⅱ）如图，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为m的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知M
=4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg,
g为重力加速度的大小，不计空气阻力。
（1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；
（2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；
（3）管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。
【答案】（1）a1=2g，a2=3g；（2）；（3）
【解析】（1）管第一次落地弹起的瞬间，小球仍然向下运动。设此时管的加速度大小为a1，方向向下；球的加速度大小为a2，方向向上；球与管之间的摩擦力大小为f，由牛顿运动定律有
Ma1=Mg+f
①
ma2=
f–
mg
②
联立①②式并代入题给数据，得
a1=2g，a2=3g③
（2）管第一次碰地前与球的速度大小相同。由运动学公式，碰地前瞬间它们的速度大小均为
④
方向均向下。管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方向依然向下。
设自弹起时经过时间t1，管与小球的速度刚好相同。取向上为正方向，由运动学公式
v0–a1t1=
–v0+a2t1
⑤
联立③④⑤式得⑥
设此时管下端的高度为h1，速度为v。由运动学公式可得
⑦
⑧
由③④⑥⑧式可判断此时v>0。此后，管与小球将以加速度g减速上升h2，到达最高点。由运动学公式有
⑨
设管第一次落地弹起后上升的最大高度为H1，则H1=
h1+
h2⑩
联立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得?
（3）设第一次弹起过程中球相对管的位移为x1。在管开始下落到上升H1这一过程中，由动能定理有
Mg（H–H1）+mg（H–H1+x1）–4mgx1=0?
联立??式并代入题给数据得?
同理可推得，管与球从再次下落到第二次弹起至最高点的过程中，球与管的相对位移x2为
?
设圆管长度为L。管第二次落地弹起后的上升过程中，球不会滑出管外的条件是x1+
x2≤L?
联立????式，L应满足条件为?
3.（2020·新课标Ⅲ）如图，相距L=11.5m的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小v可以由驱动系统根据需要设定。质量m=10
kg的载物箱（可视为质点），以初速度v0=5.0
m/s自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数μ=
0.10，重力加速度取g
=10m/s2。
(1)若v=4.0
m/s，求载物箱通过传送带所需的时间；
(2)求载物箱到达右侧平台时所能达到的最大速度和最小速度；
(3)若v=6.0m/s，载物箱滑上传送带后，传送带速度突然变为零。求载物箱从左侧平台向右侧平台运动的过程中，传送带对它的冲量。
【答案】(1)2.75s；(2)
，；(3)0
【解析】(1)传送带的速度为时，载物箱在传送带上先做匀减速运动，设其加速度为a，由牛顿第二定律有：
①
设载物箱滑上传送带后匀减速运动的距离为x1，由运动学公式有②
联立①②式，代入题给数据得x1=4.5m；③
因此，载物箱在到达右侧平台前，速度先减小至v，然后开始做匀速运动，设载物箱从滑上传送带到离开传送带所用的时间为t1，做匀减速运动所用的时间为t2，由运动学公式有
④
⑤
联立①③④⑤式并代入题给数据有t1=2.75s；⑥
(2)当载物箱滑上传送带后一直做匀减速运动时，到达右侧平台时的速度最小，设为v1，当载物箱滑上传送带后一直做匀加速运动时，到达右侧平台时的速度最大，设为v2.由动能定理有
⑦
⑧
由⑦⑧式并代入题给条件得
，⑨
(3)传送带的速度为时，由于，载物箱先做匀加速运动，加速度大小仍a。设载物箱做匀加速运动通过的距离为x2，所用时间为t3，由运动学公式有
⑩
?
联立①⑩?式并代入题给数据得
t3=1.0s
?
x2=5.5m
?
因此载物箱加速运动1.0s、向右运动5.5m时，达到与传送带相同的速度。此后载物箱与传送带共同匀速运动的时间后，传送带突然停止，设载物箱匀速运动通过的距离为x3有
?
由①???式可知
即载物箱运动到右侧平台时速度大于零，设为v3，由运动学公式有，
?
设载物箱通过传远带的过程中，传送带对它的冲量为I，由动量定理有
代题给数据得
4.（2020·浙江卷）如图1所示，有一质量的物件在电机的牵引下从地面竖直向上经加速、匀速、匀减速至指定位置。当加速运动到总位移的时开始计时，测得电机的牵引力随时间变化的图线如图2所示，末速度减为0时恰好到达指定位置。若不计绳索的质量和空气阻力，求物件：
(1)做匀减速运动的加速度大小和方向；
(2)匀速运动的速度大小；
(3)总位移的大小。
【答案】(1)，竖直向下；(2)1m/s；(3)40m
【解析】(1)由图2可知0~26s内物体匀速运动，26s~34s物体减速运动，在减速运动过程根据牛顿第二定律有
根据图2得此时FT=1975N，则有，方向竖直向下。
(2)结合图2根据运动学公式有
(3)根据图像可知匀速上升的位移
匀减速上升的位移
匀加速上升的位移为总位移的，则匀速上升和减速上升的位移为总位移的，则有
所以总位移为h=40m
5.（2020·浙江卷）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道AB和倾角的斜轨道BC平滑连接而成。质量的小滑块从弧形轨道离地高处静止释放。已知，，滑块与轨道AB和BC间的动摩擦因数均为，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。
(1)求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力；
(2)通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C点；
(3)若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A点x处的质量为2m的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为0.25，求它们在轨道BC上到达的高度h与x之间的关系。（碰撞时间不计，，）
【答案】(1)8N，方向水平向左；(2)不会冲出；(3)
（）；（）
【解析】(1)机械能守恒定律
牛顿第二定律
牛顿第三定律
方向水平向左
(2)能在斜轨道上到达最高点为点，功能关系
得，故不会冲出。
(3)滑块运动到距A点x处的速度为v，动能定理
碰撞后的速度为，动量守恒定律
设碰撞后滑块滑到斜轨道的高度为h，动能定理
得
（）
6.（2020·江苏卷）如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)由题意可知当重物落地后鼓形轮转动的角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系可知小球的线速度为
(2)小球匀速转动，当在水平位置时设杆对球的作用力为F，合力提供向心力，则有
结合(1)可解得杆对球的作用力大小为
(3)设重物下落高度为H，重物下落过程中对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据系统机械能守恒可知
而重物的速度等于鼓形轮的线速度，有
联立各式解得
7.（2020·山东卷）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：
U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM=10
m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10
m/s2，
sin72.8°=0.96，cos72.8°=0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
【答案】(1)4.8
m；(2)12
m
【解析】(1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得mgcos17.2°=ma1
②
由运动学公式得
③
联立①②③式，代入数据得d=4.8
m
④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规得
v2=vMcos728°
⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mgsin17.2°=ma2
⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得
⑦
⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得
L=12
m
⑨
8.（2020·山东卷）如图所示，一倾角为的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。
(1)求P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小vP1、vQ1；
(2)求第n次碰撞使物块Q上升的高度hn；
(3)求物块Q从A点上升的总高度H；
(4)为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，求A点与挡板之间的最小距离s。
【答案】(1)
P的速度大小为，Q的速度大小为；(2)（n=1，2，3……）；(3)；(4)
【解析】(1)P与Q的第一次碰撞，取P的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
①
由机械能守恒定律得
②
联立①②式得
③
④
故第一次碰撞后P的速度大小为，Q的速度大小为
(2)设第一次碰撞后Q上升的高度为h1，对Q由运动学公式得
⑤
联立①②⑤式得
⑥
设P运动至与Q刚要发生第二次碰撞前的位置时速度为，第一次碰后至第二次碰前，对P由动能定理得
⑦
联立①②⑤⑦式得
⑧
P与Q的第二次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为、，由动量守恒定律得
⑨
由机械能守恒定律得
⑩
联立①②⑤⑦⑨⑩式得
?
?
设第二次碰撞后Q上升的高度为h2，对Q由运动学公式得
?
联立①②⑤⑦⑨⑩?式得
?
设P运动至与Q刚要发生第三次碰撞前的位置时速度为，第二次碰后至第三次碰前，对P由动能定理得
?
联立①②⑤⑦⑨⑩??式得
?
P与Q的第三次碰撞，设碰后P与Q的速度分别为、，由动量守恒定律得
?
由机械能守恒定律得
?
联立①②⑤⑦⑨⑩????式得
?
?
设第三次碰撞后Q上升的高度为h3，对Q由运动学公式⑩得
?
联立①②⑤⑦⑨⑩?????式得
?
总结可知，第n次碰撞后，物块Q上升的高度为
（n=1，2，3……）
?
(3)当P、Q达到H时，两物块到此处的速度可视为零，对两物块运动全过程由动能定理得
?
解得
?
(4)设Q第一次碰撞至速度减为零需要的时间为t1，由运动学公式得
?
设P运动到斜面底端时的速度为，需要的时间为t2，由运动学公式得
?
?
设P从A点到Q第一次碰后速度减为零处匀减速运动的时间为t3
?
当A点与挡板之间的距离最小时
?
联立?????式，代入数据得
?
9.（2020·天津卷）长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为的小球A，处于静止状态。A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求
（1）A受到的水平瞬时冲量I的大小；
（2）碰撞前瞬间B的动能至少多大？
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）A恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设A在最高点时的速度大小为v，由牛顿第二定律，有
①
A从最低点到最高点的过程中机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设A在最低点的速度大小为，有
②
由动量定理，有
③
联立①②③式，得
④
（2）设两球粘在一起时速度大小为，A、B粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足
⑤
要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前B的速度方向相同，以此方向为正方向，设B碰前瞬间的速度大小为，由动量守恒定律，有
⑥
又
⑦
联立①②⑤⑥⑦式，得碰撞前瞬间B的动能至少为
⑧
【2019年】
1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v–t图像如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）求物块B的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。
【答案】（1）3m
（2）
（3）
【解析】（1）根据图（b），v1为物块A在碰撞前瞬间速度的大小，为其碰撞后瞬间速度的大小。设物块B的质量为，碰撞后瞬间的速度大小为，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
①
②
联立①②式得
③
（2）在图（b）所描述的运动中，设物块A与轨道间的滑动摩擦力大小为f，下滑过程中所走过的路程为s1，返回过程中所走过的路程为s2，P点的高度为h，整个过程中克服摩擦力所做的功为W，由动能定理有
④
⑤
从图（b）所给的v–t图线可知
⑥
⑦
由几何关系
⑧
物块A在整个过程中克服摩擦力所做的功为
⑨
联立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得
⑩
（3）设倾斜轨道倾角为θ，物块与轨道间的动摩擦因数在改变前为μ，有
设物块B在水平轨道上能够滑行的距离为，由动能定理有
设改变后的动摩擦因数为，由动能定理有
联立①③④⑤⑥⑦⑧⑩式可得
2．（2019·新课标全国Ⅱ卷）一质量为m=2000
kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机突然发现前方100
m处有一警示牌。立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简化为图（a）中的图线。图（a）中，0~t1时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶），t1=0.8
s；t1~t2时间段为刹车系统的启动时间，t2=1.3
s；从t2时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从t2时刻开始，汽车第1
s内的位移为24
m，第4
s内的位移为1
m。
（1）在图（b）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v-t图线；
（2）求t2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；
（3）求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t1~t2时间内汽车克服阻力做的功；从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少（以t1~t2时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度）？
【答案】（1）见解析
（2），v2=28
m/s⑦
（3）87.5
m
【解析】（1）v-t图像如图所示。
（2）设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小为v1，则t1时刻的速度也为v1，t2时刻的速度为v2，在t2时刻后汽车做匀减速运动，设其加速度大小为a，取Δt=1
s，设汽车在t2+(n-1)Δt~t2+nΔt内的位移为sn，n=1,2,3,…。
若汽车在t2+3Δt~t2+4Δt时间内未停止，设它在t2+3Δt时刻的速度为v3，在t2+4Δt时刻的速度为v4，由运动学公式有
①
②
③
联立①②③式，代入已知数据解得
④
这说明在t2+4Δt时刻前，汽车已经停止。因此，①式不成立。
由于在t2+3Δt~t2+4Δt内汽车停止，由运动学公式
⑤
⑥
联立②⑤⑥，代入已知数据解得
，v2=28
m/s⑦
或者，v2=29.76
m/s⑧
但⑧式情形下，v3<0，不合题意，舍去
（3）设汽车的刹车系统稳定工作时，汽车所受阻力的大小为f1，由牛顿定律有
f1=ma⑨
在t1~t2时间内，阻力对汽车冲量的大小为
⑩
由动量定理有
?
由动量定理，在t1~t2时间内，汽车克服阻力做的功为
?
联立⑦⑨⑩??式，代入已知数据解得
v1=30
m/s?
?
从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离s约为
?
联立⑦??，代入已知数据解得
s=87.5
m?
3．（2019·新课标全国Ⅲ卷）静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA=l.0
kg，mB=4.0
kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l=1.0
m，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek=10.0
J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为u=0.20。重力加速度取g=10
m/s?。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
（1）求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
（2）物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
（3）A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
【答案】（1）vA=4.0
m/s，vB=1.0
m/s
（2）B
0.50
m
（3）0.91
m
【解析】（1）设弹簧释放瞬间A和B的速度大小分别为vA、vB，以向右为正，由动量守恒定律和题给条件有
0=mAvA–mBvB①
②
联立①②式并代入题给数据得
vA=4.0
m/s，vB=1.0
m/s③
（2）A、B两物块与地面间的动摩擦因数相等，因而两者滑动时加速度大小相等，设为a。假设A和B发生碰撞前，已经有一个物块停止，此物块应为弹簧释放后速度较小的B。设从弹簧释放到B停止所需时间为t，B向左运动的路程为sB。，则有
④
⑤
⑥
在时间t内，A可能与墙发生弹性碰撞，碰撞后A将向左运动，碰撞并不改变A的速度大小，所以无论此碰撞是否发生，A在时间t内的路程sA都可表示为
sA=vAt–⑦
联立③④⑤⑥⑦式并代入题给数据得
sA=1.75
m，sB=0.25
m⑧
这表明在时间t内A已与墙壁发生碰撞，但没有与B发生碰撞，此时A位于出发点右边0.25
m处。B位于出发点左边0.25
m处，两物块之间的距离s为
s=0.25
m+0.25
m=0.50
m⑨
（3）t时刻后A将继续向左运动，假设它能与静止的B碰撞，碰撞时速度的大小为vA′，由动能定理有
⑩
联立③⑧⑩式并代入题给数据得
?
故A与B将发生碰撞。设碰撞后A、B的速度分别为vA′′和vB′′，由动量守恒定律与机械能守恒定律有
?
?
联立???式并代入题给数据得
?
这表明碰撞后A将向右运动，B继续向左运动。设碰撞后A向右运动距离为sA′时停止，B向左运动距离为sB′时停止，由运动学公式
?
由④??式及题给数据得
?
sA′小于碰撞处到墙壁的距离。由上式可得两物块停止后的距离
?
4．（2019·北京卷）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。
（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
（2）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。
a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；
b．示意图中画出了半径为r1、r2（r1>r2）的雨滴在空气中无初速下落的v–t图线，其中_________对应半径为r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v–t图线。
（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f
∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。
【答案】（1）
（2）a．
b．见解析
（3）见解析
【解析】（1）根据动能定理
可得
（2）a．根据牛顿第二定律
得
当加速度为零时，雨滴趋近于最大速度vm
雨滴质量
由a=0，可得，雨滴最大速度
b．①
如答图2
（3）根据题设条件：大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。以下只考虑雨滴下落的定向运动。
简化的圆盘模型如答图3。设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变。在?t时间内，与圆盘碰撞的空气分子质量为
以F表示圆盘对气体分子的作用力，根据动量定理，
有
得
由牛顿第三定律，可知圆盘所受空气阻力
采用不同的碰撞模型，也可得到相同结论。
5．（2019·天津卷）完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1所示。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板是与水平甲板相切的一段圆弧，示意如图2，长，水平投影，图中点切线方向与水平方向的夹角（）。若舰载机从点由静止开始做匀加速直线运动，经到达点进入。已知飞行员的质量，，求
（1）舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功；
（2）舰载机刚进入时，飞行员受到竖直向上的压力多大。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）舰载机由静止开始做匀加速直线运动，设其刚进入上翘甲板时的速度为v，则有
①
根据动能定理，有
②
联立①②式，代入数据，得
③
（2）设上翘甲板所对应的圆弧半径为，根据几何关系，有
④
由牛顿第二定律，有
⑤
联立①④⑤式，代入数据，得
⑥
6．（2019·江苏卷）如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐．A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．求：
（1）A被敲击后获得的初速度大小vA；
（2）在左边缘再次对齐的前、后，B运动加速度的大小aB、aB'；
（3）B被敲击后获得的初速度大小vB．
【答案】（1）
（2）aB=3μg
aB′=μg
（3）
【解析】（1）由牛顿运动定律知，A加速度的大小aA=μg
匀变速直线运动
2aAL=vA2
解得
（2）设A、B的质量均为m
对齐前，B所受合外力大小F=3μmg
由牛顿运动定律F=maB，得
aB=3μg
对齐后，A、B所受合外力大小F′=2μmg
由牛顿运动定律F′=2maB′，得aB′=μg
（3）经过时间t，A、B达到共同速度v，位移分别为xA、xB，A加速度的大小等于aA
则v=aAt，v=vB–aBt
且xB–xA=L
解得
7．（2019·浙江选考）在竖直平面内，某一游戏轨道由直轨道AB和弯曲的细管道BCD平滑连接组成，如图所示。小滑块以某一初速度从A点滑上倾角为θ=37°的直轨道AB，到达B点的速度大小为2m/s，然后进入细管道BCD，从细管道出口D点水平飞出，落到水平面上的G点。已知B点的高度h1=1.2m，D点的高度h2=0.8m，D点与G点间的水平距离L=0.4m，滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ=0.25，sin37°=
0.6，cos37°=
0.8。
（1）求小滑块在轨道AB上的加速度和在A点的初速度；
（2）求小滑块从D点飞出的速度；
（3）判断细管道BCD的内壁是否光滑。
【答案】（1）
（2）1
m/s
（3）小滑块动能减小，重力势能也减小，所以细管道BCD内壁不光滑。
【解析】（1）上滑过程中，由牛顿第二定律：，
解得；
由运动学公式，
解得
（2）滑块在D处水平飞出，由平抛运动规律，
解得
（3）小滑块动能减小，重力势能也减小，所以细管道BCD内壁不光滑
8．（2019·浙江选考）如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A点等高。质量m=0.5
kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A点高度h1=1.10
m。篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x1=0.15
m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h2=0.873
m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x2=0.01
m，弹性势能为Ep=0.025
J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内。求：
（1）弹簧的劲度系数；
（2）篮球在运动过程中受到的空气阻力；
（3）篮球在整个运动过程中通过的路程；
（4）篮球在整个运动过程中速度最大的位置。
【答案】（1）500
N/m
（2）0.5
N
（3）11.05
m
（4）0.009
m
【解析】（1）球静止在弹簧上，根据共点力平衡条件可得
（2）球从开始运动到第一次上升到最高点，动能定理，
解得
（3）球在整个运动过程中总路程s：
解得
（4）球在首次下落过程中，合力为零处速度最大，速度最大时弹簧形变量为；
则；
在A点下方，离A点
【2018年】
1.
（2018年全国Ⅰ卷）一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空，当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量，求
（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；
（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度
【答案】（1）
；（2）
【解析】本题主要考查机械能、匀变速直线运动规律、动量守恒定律、能量守恒定律及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决实际问题的的能力。
（1）设烟花弹上升的初速度为，由题给条件有
①
设烟花弹从地面开始上升到火药爆炸所用的时间为，由运动学公式有
②
联立①②式得
③
（2）设爆炸时烟花弹距地面的高度为，由机械能守恒定律有
④
火药爆炸后，烟花弹上、下两部分均沿竖直方向运动，设炸后瞬间其速度分别为和。由题给条件和动量守恒定律有
⑤
⑥
由⑥式知，烟花弹两部分的速度方向相反，向上运动部分做竖直上抛运动。设爆炸后烟花弹上部分继续上升的高度为，由机械能守恒定律有
⑦
联立④⑤⑥⑦式得，烟花弹上部分距地面的最大高度为
⑧
2.
（2018年全国II卷）汽车A在水平冰雪路面上行驶，驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B。两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示，碰撞后B车向前滑动了4.5
m，A车向前滑动了2.0
m，已知A和B的质量分别为kg和kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小.求
（1）碰撞后的瞬间B车速度的大小；
（2）碰撞前的瞬间A车速度的大小。
【答案】（1）
（2）
【解析】两车碰撞过程动量守恒，碰后两车在摩擦力的作用下做匀减速运动，利用运动学公式可以求得碰后的速度，然后在计算碰前A车的速度。
（1）设B车质量为mB，碰后加速度大小为aB，根据牛顿第二定律有
①
式中μ是汽车与路面间的动摩擦因数。
设碰撞后瞬间B车速度的大小为，碰撞后滑行的距离为。由运动学公式有
②
联立①②式并利用题给数据得
③
（2）设A车的质量为mA，碰后加速度大小为aA。根据牛顿第二定律有
④
设碰撞后瞬间A车速度的大小为，碰撞后滑行的距离为。由运动学公式有
⑤
设碰撞后瞬间A车速度的大小为，两车在碰撞过程中动量守恒，有
⑥
联立③④⑤⑥式并利用题给数据得
3.
（2018年全国Ⅲ卷）如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα=，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
（2）小球到达A点时动量的大小；
（3）小球从C点落至水平轨道所用的时间。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
（1）设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F。由力的合成法则有
①
②
设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得
③
由①②③式和题给数据得
④
⑤
由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A点的动量大小为
⑨
（3）小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g。设小球在竖直方向的初速度为，从C点落至水平轨道上所用时间为t。由运动学公式有
⑩
由⑤⑦⑩式和题给数据得
4.
（2018年天津卷）我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程，假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x=1.6×103
m时才能达到起飞所要求的速度v=80
m/s。已知飞机质量m=7.0×104
kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度取。求飞机滑跑过程中
（1）加速度a的大小；
（2）牵引力的平均功率P。
【答案】（1）a=2m/s2（2）P=8.4×106
W
【解析】飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，结合速度位移公式求解加速度；对飞机受力分析，结合牛顿第二定律，以及求解牵引力的平均功率；
（1）飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，有v2=2ax①，解得a=2m/s2②
（2）设飞机滑跑受到的阻力为，依题意可得=0.1mg③
设发动机的牵引力为F，根据牛顿第二定律有④；
设飞机滑跑过程中的平均速度为，有⑤
在滑跑阶段，牵引力的平均功率⑥，联立②③④⑤⑥式得P=8.4×106W．
5.
（2018年北京卷）2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h=10
m，C是半径R=20
m圆弧的最低点，质量m=60
kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a=4.5
m/s2，到达B点时速度vB=30
m/s。取重力加速度g=10
m/s2。
（1）求长直助滑道AB的长度L；
（2）求运动员在AB段所受合外力的冲量的I大小；
（3）若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力FN的大小。
【答案】（1）（2）（3）3
900
N
【解析】（1）已知AB段的初末速度，则利用运动学公式可以求解斜面的长度，即
可解得：
（2）根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的该变量所以
（3）小球在最低点的受力如图所示
由牛顿第二定律可得：
从B运动到C由动能定理可知：
解得：N=3900N
6.
（2018年江苏卷）如图所示，悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为m，运动速度的大小为v，方向向下．经过时间t，小球的速度大小为v，方向变为向上．忽略空气阻力，重力加速度为g，求该运动过程中，小球所受弹簧弹力冲量的大小．
【答案】
【解析】取向上为正方形，动量定理mv-（-mv）=
I
且I=（F-mg）t
解得
7.
（2018年江苏卷）如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B．质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l．用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°．松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）小球受到手的拉力大小F；
（2）物块和小球的质量之比M:m；
（3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T．
【答案】（1）
（2）
（3）（）
【解析】（1）设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2
F1sin53°=F2cos53°
F+mg=F1cos53°+
F2sin53°且F1=Mg
解得
（2）小球运动到与A、B相同高度过程中
小球上升高度h1=3lsin53°，物块下降高度h2=2l
机械能守恒定律mgh1=Mgh2
解得
（3）根据机械能守恒定律，小球回到起始点．设此时AC方向的加速度大小为a，重物受到的拉力为T
牛顿运动定律Mg–T=Ma
小球受AC的拉力T′=T
牛顿运动定律T′–mgcos53°=ma
解得（）
【2017年】
1．【2017·江苏卷】（16分）如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R．C的质量为m，A、B的质量都为，与地面的动摩擦因数均为μ．现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面．整个过程中B保持静止．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．求：
（1）未拉A时，C受到B作用力的大小F；
（2）动摩擦因数的最小值μmin；
（3）A移动的整个过程中，拉力做的功W．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）C受力平衡
解得
（2）C恰好降落到地面时，B受C压力的水平分力最大
B受地面的摩擦力
根据题意
，解得
（3）C下降的高度
A的位移
摩擦力做功的大小
根据动能定理
解得
2．【2017·新课标Ⅰ卷】（12分）一质量为8.00×104
kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面。飞船在离地面高度1.60×105
m处以7.50×103
m/s的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为100
m/s时下落到地面。取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为9.8
m/s2。（结果保留2位有效数字）
（1）分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能；
（2）求飞船从离地面高度600
m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功，已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。
【答案】（1）（1）4.0×108
J
2.4×1012
J
（2）9.7×108
J
【解析】（1）飞船着地前瞬间的机械能为
①
式中，m和v0分别是飞船的质量和着地前瞬间的速率。由①式和题给数据得
②
设地面附近的重力加速度大小为g，飞船进入大气层时的机械能为
③
式中，vh是飞船在高度1.6×105
m处的速度大小。由③式和题给数据得
④
（2）飞船在高度h'?=600
m处的机械能为
⑤
由功能原理得
⑥
式中，W是飞船从高度600
m处至着地瞬间的过程中克服阻力所做的功。由②⑤⑥式和题给数据得
W=9.7×108
J⑦
3．【2017·新课标Ⅱ卷】（12分）为提高冰球运动员的加速能力，教练员在冰面上与起跑线距离s0和s1（s1（1）冰球与冰面之间的动摩擦因数；
（2）满足训练要求的运动员的最小加速度。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）设冰球与冰面间的动摩擦因数为μ，
则冰球在冰面上滑行的加速度a1=μg①
由速度与位移的关系知–2a1s0=v12–v02②
联立①②得③
（2）设冰球运动的时间为t，则④
又⑤
由③④⑤得⑥
4．【2017·新课标Ⅲ卷】（20分）如图，两个滑块A和B的质量分别为mA=1
kg和mB=5
kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=0.5；木板的质量为m=4
kg，与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1。某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v0=3
m/s。A、B相遇时，A与木板恰好相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10
m/s2。求
（1）B与木板相对静止时，木板的速度；
（2）A、B开始运动时，两者之间的距离。
【答案】（1）1
m/s
（2）1.9
m
【解析】（1）滑块A和B在木板上滑动时，木板也在地面上滑动。设A、B和木板所受的摩擦力大小分别为f1、f2和f3，A和B相对于地面的加速度大小分别是aA和aB，木板相对于地面的加速度大小为a1。在物块B与木板达到共同速度前有
①
②
③
由牛顿第二定律得
④
⑤
⑥
设在t1时刻，B与木板达到共同速度，设大小为v1。由运动学公式有
⑦
⑧
联立①②③④⑤⑥⑦⑧式，代入已知数据得⑨
（2）在t1时间间隔内，B相对于地面移动的距离为⑩
设在B与木板达到共同速度v1后，木板的加速度大小为a2，对于B与木板组成的体系，由牛顿第二定律有
?
由①②④⑤式知，aA=aB；再由⑦⑧可知，B与木板达到共同速度时，A的速度大小也为v1，但运动方向与木板相反。由题意知，A和B相遇时，A与木板的速度相同，设其大小为v2，设A的速度大小从v1变到v2所用时间为t2，则由运动学公式，对木板有?
对A有?
在t2时间间隔内，B（以及木板）相对地面移动的距离为?
在（t1+t2）时间间隔内，A相对地面移动的距离为
?
A和B相遇时，A与木板的速度也恰好相同。因此A和B开始运动时，两者之间的距离为
?
联立以上各式，并代入数据得?
（也可用如图的速度–时间图线求解）
5．【2017·新课标Ⅰ卷】（20分）真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0。在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变。持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点。重力加速度大小为g。
（1）求油滴运动到B点时的速度。
（2）求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件。已知不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）设油滴质量和电荷量分别为m和q，油滴速度方向向上为正。油滴在电场强度大小为E1的匀强电场中做匀速直线运动，故匀强电场方向向上。在t=0时，电场强度突然从E1增加至E2时，油滴做竖直向上的匀加速运动，加速度方向向上，大小a1满足
①
油滴在时刻t1的速度为
②
电场强度在时刻t1突然反向，油滴做匀变速直线运动，加速度方向向下，大小a2满足
③
油滴在时刻t2=2t1的速度为
④
由①②③④式得
⑤
（2）由题意，在t=0时刻前有⑥
油滴从t=0到时刻t1的位移为⑦
油滴在从时刻t1到时刻t2=2t1的时间间隔内的位移为⑧
由题给条件有⑨
式中h是B、A两点之间的距离。
若B点在A点之上，依题意有⑩
由①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得?
为使，应有?
即当?
或?
才是可能的：条件?式和?式分别对应于和两种情形。
若B在A点之下，依题意有?
由①②③⑥⑦⑧⑨?式得?
为使，应有?
即?
另一解为负，不符合题意，已舍去。
【2016年】
1．
[2016·天津卷]
如图1?所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5
N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5
T．有一带正电的小球，质量m＝1×10－6
kg，电荷量q＝2×10－6
C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，g取10
m/s2.求：
图1?
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.
【答案】
(1)20
m/s 方向与电场E的方向之间的夹角为60°斜向上 (2)3.5
s
【解析】
(1)小球匀速直线运动时受力如图1?所示，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB＝ ①
图1?
代入数据解得v＝20
m/s ②
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足
tan
θ＝ ③
代入数据解得tan
θ＝
θ＝60°
④
(2)解法一：
撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有
a＝ ⑤
设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有
x＝vt ⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，有
y＝at2
⑦
a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又
tan
θ＝ ⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得
t＝2
s＝3.5
s ⑨
解法二：
撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为vy＝vsin
θ ⑤
若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有
vyt－gt2＝0 ⑥
联立⑤⑥式，代入数据解得t＝2
s＝3.5
s
2．
[2016·天津卷]
电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度．电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图1?所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为θ.一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同．磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为ρ.为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g.
图1?
(1)求铝条中与磁铁正对部分的电流I；
(2)若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v的表达式；
(3)在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度b′>b的铝条，磁铁仍以速度v进入铝条间，试简要分析说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化．
【答案】
(1) (2) (3)略
【解析】
(1)磁铁在铝条间运动时，两根铝条受到的安培力大小相等，均为F安，有
F安＝IdB ①
磁铁受到沿斜面向上的作用力为F，其大小
F＝2F安 ②
磁铁匀速运动时受力平衡，则有
F－mgsin
θ＝0
③
联立①②③式可得I＝ ④
(2)磁铁穿过铝条时，在铝条中产生的感应电动势为E，有
E＝Bdv ⑤
铝条与磁铁正对部分的电阻为R，由电阻定律有
R＝ρ ⑥
由欧姆定律有
I＝ ⑦
联立④⑤⑥⑦式可得v＝ ⑧
(3)磁铁以速度v进入铝条间，恰好做匀速运动时，磁铁受到沿斜面向上的作用力F，联立①②⑤⑥⑦式可得F＝ ⑨
当铝条的宽度b′>b时，磁铁以速度v进入铝条间时，磁铁受到的作用力变为F′，有
F′＝ ⑩
可见F′>F＝mgsin
θ，磁铁所受到的合力方向沿斜面向上，获得与运动方向相反的加速度，磁铁将减速下滑，此时加速度最大．之后，随着运动速度减小，F′也随着减小，磁铁所受的合力也减小，由于磁铁加速度与所受到的合力成正比，磁铁的加速度逐渐减小．综上所述，磁铁做加速度逐渐减小的减速运动，直到F′＝mgsin
θ时，磁铁重新达到平衡状态，将再次以较小的速度匀速下滑．
3．如图1?所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m.撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
图1?
(1)A固定不动时，A对B支持力的大小N；
(2)A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
(3)A滑动的位移为x时的速度大小vA.
【答案】
(1)mgcos
α (2) (3)
【解析】
(1)支持力的大小N＝mgcos
α
(2)根据几何关系sx＝x·(1－cos
α)，sy＝x·sin
α
且s＝eq
\r(s＋s)
解得s＝·x
(3)B的下降高度sy＝x·sin
α
根据机械能守恒定律mgsy＝mv＋mv
根据速度的定义得vA＝，vB＝
则vB＝·vA
解得vA＝
4．
[2016·四川卷]
避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组成，如图
竖直平面内，制动坡床视为与水平面夹角为θ的斜面．一辆长12
m的载有货物的货车因刹车失灵从干道驶入制动坡床，当车速为23
m/s时，车尾位于制动坡床的底端，货物开始在车厢内向车头滑动，当货物在车厢内滑动了4
m时，车头距制动坡床顶端38
m，再过一段时间，货车停止．已知货车质量是货物质量的4倍，货物与车厢间的动摩擦因数为0.4；货车在制动坡床上运动受到的坡床阻力大小为货车和货物总重的0.44倍．货物与货车分别视为小滑块和平板，取cos
θ＝1，sin
θ＝0.1，g＝10
m/s2.求：
(1)货物在车厢内滑动时加速度的大小和方向；
(2)制动坡床的长度．
图1?
【答案】
(1)5
m/s2，方向沿制动坡床向下 (2)98
m
【解析】
(1)设货物的质量为m，货物在车厢内滑动过程中，货物与车厢间的动摩擦因数μ＝0.4，受摩擦力大小为f，加速度大小为a1，则
f＋mgsin
θ＝ma1
f＝μmgcos
θ
联立以上二式并代入数据得a1＝5
m/s2
a1的方向沿制动坡床向下．
(2)设货车的质量为M，车尾位于制动坡床底端时的车速为v＝23
m/s.货物在车厢内开始滑动到车头距制动坡床顶端s0＝38
m的过程中，用时为t，货物相对制动坡床的运动距离为s2.货车受到制动坡床的阻力大小为F，F是货车和货物总重的k倍，k＝0.44，货车长度l0＝12
m，制动坡床的长度为l，则
Mgsin
θ＋F－f＝Ma2
F＝k(m＋M)g
s1＝vt－a1t2
s2＝vt－a2t2
s＝s1－s2
l＝l0＋s0＋s2
联立并代入数据得
l＝98
m.
5．
[2016·全国卷Ⅲ]
如图1?所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
图1?
【答案】
(1)5 (2)能
【解析】
(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得EkA＝mg ①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg ②
由①②式得＝5 ③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0 ④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有N＋mg＝eq
\f(mv,\f(R,2)) ⑤
由④⑤式得，vC应满足mg≤meq
\f(2v,R) ⑥
由机械能守恒有mg＝mv ⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点．
6．
[2016·天津卷]
我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图1?所示，质量m＝60
kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6
m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24
m/s，A与B的竖直高度差H＝48
m．为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧．助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5
m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530
J，g取10
m/s2.
图1?
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大？
【答案】
(1)144
N (2)12.5
m
【解析】
(1)运动员在AB上做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有v＝2ax
①
由牛顿第二定律有mg－Ff＝ma ②
联立①②式，代入数据解得Ff＝144
N ③
(2)设运动员到达C点时的速度为vC，在由B到达C的过程中，由动能定理有
mgh＋W＝mv－mv ④
设运动员在C点所受的支持力为FN，由牛顿第二定律有FN－mg＝meq
\f(v,R) ⑤
由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得R＝12.5
m
7．
[2016·四川卷]
避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组成，如图
竖直平面内，制动坡床视为与水平面夹角为θ的斜面．一辆长12
m的载有货物的货车因刹车失灵从干道驶入制动坡床，当车速为23
m/s时，车尾位于制动坡床的底端，货物开始在车厢内向车头滑动，当货物在车厢内滑动了4
m时，车头距制动坡床顶端38
m，再过一段时间，货车停止．已知货车质量是货物质量的4倍，货物与车厢间的动摩擦因数为0.4；货车在制动坡床上运动受到的坡床阻力大小为货车和货物总重的0.44倍．货物与货车分别视为小滑块和平板，取cos
θ＝1，sin
θ＝0.1，g＝10
m/s2.求：
(1)货物在车厢内滑动时加速度的大小和方向；
(2)制动坡床的长度．
图1?
【答案】
(1)5
m/s2，方向沿制动坡床向下 (2)98
m
【解析】
(1)设货物的质量为m，货物在车厢内滑动过程中，货物与车厢间的动摩擦因数μ＝0.4，受摩擦力大小为f，加速度大小为a1，则
f＋mgsin
θ＝ma1
f＝μmgcos
θ
联立以上二式并代入数据得a1＝5
m/s2
a1的方向沿制动坡床向下．
(2)设货车的质量为M，车尾位于制动坡床底端时的车速为v＝23
m/s.货物在车厢内开始滑动到车头距制动坡床顶端s0＝38
m的过程中，用时为t，货物相对制动坡床的运动距离为s2.货车受到制动坡床的阻力大小为F，F是货车和货物总重的k倍，k＝0.44，货车长度l0＝12
m，制动坡床的长度为l，则
Mgsin
θ＋F－f＝Ma2
F＝k(m＋M)g
s1＝vt－a1t2
s2＝vt－a2t2
s＝s1－s2
l＝l0＋s0＋s2
联立并代入数据得
l＝98
m.
8.[2016·全国卷Ⅱ]
轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
图1?
【答案】
(1) 2
l (2)m≤M【解析】
(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl ①
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝Mv＋μMg·4l ②
联立①②式，取M＝m并代入题给数据得
vB＝ ③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0 ④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mg·2l ⑤
联立③⑤式得
vD＝ ⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出．设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝gt2 ⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为
s＝vDt ⑧
联立⑥⑦⑧式得
s＝2
l ⑨
(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零．
由①②式可知5mgl>μMg·4l
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有
Mv≤Mgl ?
联立①②⑩?式得
m≤M9．【2016·全国卷Ⅰ】
如图1?，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g.(取sin
37°＝，cos
37°＝)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小．
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能．
(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量．
图1?
【答案】
(1)2 (2)mgR (3) m
【解析】(1)根据题意知，B、C之间的距离l为
l＝7R－2R ①
设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得
mglsin
θ－μmglcos
θ＝mv ②
式中θ＝37°，联立①②式并由题给条件得
vB＝2 ③
(2)设BE＝x，P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep.P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有
mgxsin
θ－μmgxcos
θ－Ep＝0－mv ④
E、F之间的距离l1为
l1＝4R－2R＋x ⑤
P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有
Ep－mgl1sin
θ－μmgl1cos
θ＝0 ⑥
联立③④⑤⑥式并由题给条件得
x＝R ⑦
Ep＝mgR ⑧
(3)设改变后P的质量为m1，D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为
x1＝R－Rsin
θ ⑨
y1＝R＋R＋Rcos
θ ⑩
式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实．
设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t.由平抛物运动公式有
y1＝gt2 ?
x1＝vDt ?
联立⑨⑩??式得
vD＝ ?
设P在C点速度的大小为vC，在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有
m1v＝m1v＋m1g ?
P由E点运动到C点的过程中，同理，由动能定理有
Ep－m1g(x＋5R)sin
θ－μm1g(x＋5R)cos
θ＝m1v?
联立⑦⑧???式得
m1＝m ?
10．【2016·天津卷】
我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图1?所示，质量m＝60
kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6
m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24
m/s，A与B的竖直高度差H＝48
m．为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧．助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5
m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530
J，g取10
m/s2.
图1?
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大？
【答案】
(1)144
N (2)12.5
m
【解析】(1)运动员在AB上做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有v＝2ax
①
由牛顿第二定律有mg－Ff＝ma ②
联立①②式，代入数据解得Ff＝144
N ③
(2)设运动员到达C点时的速度为vC，在由B到达C的过程中，由动能定理有
mgh＋W＝mv－mv ④
设运动员在C点所受的支持力为FN，由牛顿第二定律有FN－mg＝meq
\f(v,R) ⑤
由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得R＝12.5
m
11．如图1?所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m.撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
图1?
(1)A固定不动时，A对B支持力的大小N；
(2)A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
(3)A滑动的位移为x时的速度大小vA.
【答案】(1)mgcos
α (2) (3)
【解析】(1)支持力的大小N＝mgcos
α
(2)根据几何关系sx＝x·(1－cos
α)，sy＝x·sin
α
且s＝eq
\r(s＋s)
解得s＝·x
(3)B的下降高度sy＝x·sin
α
根据机械能守恒定律mgsy＝mv＋mv
根据速度的定义得vA＝，vB＝
则vB＝·vA
解得vA＝
12．【2016·全国卷Ⅱ】
轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
图1?
【答案】
(1) 2
l (2)m≤M【解析】(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl ①
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝Mv＋μMg·4l ②
联立①②式，取M＝m并代入题给数据得
vB＝ ③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0 ④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得
mv＝mv＋mg·2l ⑤
联立③⑤式得
vD＝ ⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出．设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝gt2 ⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为
s＝vDt ⑧
联立⑥⑦⑧式得
s＝2
l ⑨
(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零．
由①②式可知5mgl>μMg·4l
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有
Mv≤Mgl ?
联立①②⑩?式得
m≤M13．【2016·全国卷Ⅰ】【物理——选修3?5】
(2)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中．为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开．忽略空气阻力．已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g.求：
(i)喷泉单位时间内喷出的水的质量；
(ii)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度．
35.（2）【答案】(i)ρv0S (ii)eq
\f(v,2g)－eq
\f(M2g,2ρ2vS2)
【解析】(i)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则
Δm＝ρΔV ①
ΔV＝v0SΔt ②
由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为
＝ρv0S ③
(ii)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v.对于Δt时间内喷出的水，由能量守恒得
(Δm)v2＋(Δm)gh＝(Δm)v ④
在h高度处，Δt时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为
Δp＝(Δm)v ⑤
设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有
FΔt＝Δp ⑥
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得
F＝Mg ⑦
联立③④⑤⑥⑦式得
h＝eq
\f(v,2g)－eq
\f(M2g,2ρ2vS2) ⑧
14．【2016·北京卷】(1)动量定理可以表示为Δp＝FΔt，其中动量p和力F都是矢量．在运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究．例如，质量为m的小球斜射到木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前后的速度大小都是v，如图1?所示．碰撞过程中忽略小球所受重力．
图1?
a．分别求出碰撞前后x、y方向小球的动量变化Δpx、Δpy；
b．分析说明小球对木板的作用力的方向．
(2)激光束可以看作是粒子流，其中的粒子以相同的动量沿光传播方向运动．激光照射到物体上，在发生反射、折射和吸收现象的同时，也会对物体产生作用．光镊效应就是一个实例，激光束可以像镊子一样抓住细胞等微小颗粒．
一束激光经S点后被分成若干细光束，若不考虑光的反射和吸收，其中光束①和②穿过介质小球的光路如图1?所示，图中O点是介质小球的球心，入射时光束①和②与SO的夹角均为θ，出射时光束均与SO平行．请在下面两种情况下，分析说明两光束因折射对小球产生的合力的方向．
a．光束①和②强度相同；
b．光束①比②的强度大.
图1?
【答案】(1)a.0 2mvcos
θ
b．沿y轴负方向
(2)a.沿SO向左 b．指向左上方
【解析】(1)a.x方向：
动量变化为Δpx＝mvsin
θ－mvsin
θ＝0
y方向：
动量变化为Δpy＝mvcos
θ－(－mvcos
θ)＝2mvcos
θ
方向沿y轴正方向．
b．根据动量定理可知，木板对小球作用力的方向沿y轴正方向；根据牛顿第三定律可知，小球对木板作用力的方向沿y轴负方向．
(2)a.仅考虑光的折射，设Δt时间内每束光穿过小球的粒子数为n，每个粒子动量的大小为p.
这些粒子进入小球前的总动量为p1＝2npcos
θ
从小球出射时的总动量为p2＝2np
p1、p2的方向均沿SO向右
根据动量定理FΔt＝p2－p1＝2np(1－cos
θ)>0
可知，小球对这些粒子的作用力F的方向沿SO向右；根据牛顿第三定律，两光束对小球的合力的方向沿SO向左．
b．建立如图所示的Oxy直角坐标系．
x方向：
根据(2)a同理可知，两光束对小球的作用力沿x轴负方向．
y方向：
设Δt时间内，光束①穿过小球的粒子数为n1，光束②穿过小球的粒子数为n2，n1>n2.
这些粒子进入小球前的总动量为p1y＝(n1－n2)psin
θ
从小球出射时的总动量为p2y＝0
根据动量定理：FyΔt＝p2y－p1y＝－(n1－n2)psin
θ
可知，小球对这些粒子的作用力Fy的方向沿y轴负方向，根据牛顿第三定律，两光束对小球的作用力沿y轴正方向．
所以两光束对小球的合力的方向指向左上方．
15．【2016·全国卷Ⅲ】【物理——选修3?5】
(2)如图1?所示，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直；a和b相距l，b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m.两物块与地面间的动摩擦因数均相同，现使a以初速度v0向右滑动，此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞．重力加速度大小为g.求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件．
图1?
【答案】eq
\f(32v,113gl)≤μ\f(v,2gl)
【解析】设物块与地面间的动摩擦因数为μ.若要物块a、b能够发生碰撞，应有
mv>μmgl ①
即μ\f(v,2gl) ②
设在a、b发生弹性碰撞前的瞬间，a的速度大小为v1.由能量守恒有
mv＝mv＋μmgl ③
设在a、b碰撞后的瞬间，a、b的速度大小分别为v′1、v′2，由动量守恒和能量守恒有
mv1＝mv′1＋v′2 ④
mv＝mv′＋v′ ⑤
联立④⑤式解得v′2＝v1 ⑥
由题意，b没有与墙发生碰撞，由功能关系可知
v′≤μgl ⑦
联立③⑥⑦式，可得
μ≥eq
\f(32v,113gl) ⑧
联立②⑧式，a与b发生碰撞、但b没有与墙发生碰撞的条件
eq
\f(32v,113gl)≤μ\f(v,2gl) ⑨
16.【2016·全国卷Ⅱ】【物理——选修3?5】
(2)如图1?所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3
m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3
m(h小于斜面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m1＝30
kg，冰块的质量为m2＝10
kg，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g＝10
m/s2.
(i)求斜面体的质量；
(ii)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
图1?
【答案】(i)20
kg (ii)不能
【解析】(i)规定向右为速度正方向．冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3.由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得
m2v20＝(m2＋m3)v ①
m2v＝(m2＋m3)v2＋m2gh ②
式中v20＝－3
m/s为冰块推出时的速度．联立①②式并代入题给数据得
m3＝20
kg ③
(ii)设小孩推出冰块后的速度为v1，由动量守恒定律有
m1v1＋m2v20＝0 ④
代入数据得
v1＝1
m/s ⑤
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒和机械能守恒定律有
m2v20＝m2v2＋m3v3 ⑥
m2v＝m2v＋m3v ⑦
联立③⑥⑦式并代入数据得v2＝1
m/s ⑧
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩．专题19
力学计算题
【2020年】
1.（2020·新课标Ⅰ）我国自主研制了运-20重型运输机。飞机获得的升力大小F可用描写，k为系数；v是飞机在平直跑道上的滑行速度，F与飞机所受重力相等时的v称为飞机的起飞离地速度，已知飞机质量为时，起飞离地速度为66
m/s；装载货物后质量为，装载货物前后起飞离地时的k值可视为不变。
（1）求飞机装载货物后的起飞离地速度；
（2）若该飞机装载货物后，从静止开始匀加速滑行1
521
m起飞离地，求飞机在滑行过程中加速度的大小和所用的时间。
2.（2020·新课标Ⅱ）如图，一竖直圆管质量为M，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一质量为m的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知M
=4m，球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg,
g为重力加速度的大小，不计空气阻力。
（1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；
（2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度；
（3）管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。
3.（2020·新课标Ⅲ）如图，相距L=11.5m的两平台位于同一水平面内，二者之间用传送带相接。传送带向右匀速运动，其速度的大小v可以由驱动系统根据需要设定。质量m=10
kg的载物箱（可视为质点），以初速度v0=5.0
m/s自左侧平台滑上传送带。载物箱与传送带间的动摩擦因数μ=
0.10，重力加速度取g
=10m/s2。
(1)若v=4.0
m/s，求载物箱通过传送带所需的时间；
(2)求载物箱到达右侧平台时所能达到的最大速度和最小速度；
(3)若v=6.0m/s，载物箱滑上传送带后，传送带速度突然变为零。求载物箱从左侧平台向右侧平台运动的过程中，传送带对它的冲量。
4.（2020·浙江卷）如图1所示，有一质量的物件在电机的牵引下从地面竖直向上经加速、匀速、匀减速至指定位置。当加速运动到总位移的时开始计时，测得电机的牵引力随时间变化的图线如图2所示，末速度减为0时恰好到达指定位置。若不计绳索的质量和空气阻力，求物件：
(1)做匀减速运动的加速度大小和方向；
(2)匀速运动的速度大小；
(3)总位移的大小。
5.（2020·浙江卷）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道AB和倾角的斜轨道BC平滑连接而成。质量的小滑块从弧形轨道离地高处静止释放。已知，，滑块与轨道AB和BC间的动摩擦因数均为，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。
(1)求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力；
(2)通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C点；
(3)若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A点x处的质量为2m的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因数仍为0.25，求它们在轨道BC上到达的高度h与x之间的关系。（碰撞时间不计，，）
6.（2020·江苏卷）如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。
7.（2020·山东卷）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：
U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM=10
m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10
m/s2，
sin72.8°=0.96，cos72.8°=0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
8.（2020·山东卷）如图所示，一倾角为的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。
(1)求P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小vP1、vQ1；
(2)求第n次碰撞使物块Q上升的高度hn；
(3)求物块Q从A点上升的总高度H；
(4)为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，求A点与挡板之间的最小距离s。
9.（2020·天津卷）长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为的小球A，处于静止状态。A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求
（1）A受到的水平瞬时冲量I的大小；
（2）碰撞前瞬间B的动能至少多大？
【2019年】
1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v–t图像如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）求物块B的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。
2．（2019·新课标全国Ⅱ卷）一质量为m=2000
kg的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机突然发现前方100
m处有一警示牌。立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简化为图（a）中的图线。图（a）中，0~t1时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶），t1=0.8
s；t1~t2时间段为刹车系统的启动时间，t2=1.3
s；从t2时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从t2时刻开始，汽车第1
s内的位移为24
m，第4
s内的位移为1
m。
（1）在图（b）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v-t图线；
（2）求t2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；
（3）求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t1~t2时间内汽车克服阻力做的功；从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少（以t1~t2时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度）？
3．（2019·新课标全国Ⅲ卷）静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA=l.0
kg，mB=4.0
kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l=1.0
m，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek=10.0
J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为u=0.20。重力加速度取g=10
m/s?。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
（1）求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
（2）物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
（3）A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
4．（2019·北京卷）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。
（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
（2）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。
a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；
b．示意图中画出了半径为r1、r2（r1>r2）的雨滴在空气中无初速下落的v–t图线，其中_________对应半径为r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v–t图线。
（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f
∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。
5．（2019·天津卷）完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1所示。为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板是与水平甲板相切的一段圆弧，示意如图2，长，水平投影，图中点切线方向与水平方向的夹角（）。若舰载机从点由静止开始做匀加速直线运动，经到达点进入。已知飞行员的质量，，求
（1）舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功；
（2）舰载机刚进入时，飞行员受到竖直向上的压力多大。
6．（2019·江苏卷）如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐．A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ。先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．求：
（1）A被敲击后获得的初速度大小vA；
（2）在左边缘再次对齐的前、后，B运动加速度的大小aB、aB'；
（3）B被敲击后获得的初速度大小vB．
7．（2019·浙江选考）在竖直平面内，某一游戏轨道由直轨道AB和弯曲的细管道BCD平滑连接组成，如图所示。小滑块以某一初速度从A点滑上倾角为θ=37°的直轨道AB，到达B点的速度大小为2m/s，然后进入细管道BCD，从细管道出口D点水平飞出，落到水平面上的G点。已知B点的高度h1=1.2m，D点的高度h2=0.8m，D点与G点间的水平距离L=0.4m，滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ=0.25，sin37°=
0.6，cos37°=
0.8。
（1）求小滑块在轨道AB上的加速度和在A点的初速度；
（2）求小滑块从D点飞出的速度；
（3）判断细管道BCD的内壁是否光滑。8．（2019·浙江选考）如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A点等高。质量m=0.5
kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A点高度h1=1.10
m。篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x1=0.15
m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h2=0.873
m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x2=0.01
m，弹性势能为Ep=0.025
J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内。求：
（1）弹簧的劲度系数；
（2）篮球在运动过程中受到的空气阻力；
（3）篮球在整个运动过程中通过的路程；
（4）篮球在整个运动过程中速度最大的位置。【2018年】
1.
（2018年全国Ⅰ卷）一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空，当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量，求
（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；
（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度
2.
（2018年全国II卷）汽车A在水平冰雪路面上行驶，驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B。两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示，碰撞后B车向前滑动了4.5
m，A车向前滑动了2.0
m，已知A和B的质量分别为kg和kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小.求
（1）碰撞后的瞬间B车速度的大小；
（2）碰撞前的瞬间A车速度的大小。
3.
（2018年全国Ⅲ卷）如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα=，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
（2）小球到达A点时动量的大小；
（3）小球从C点落至水平轨道所用的时间。
4.
（2018年天津卷）我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程，假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x=1.6×103
m时才能达到起飞所要求的速度v=80
m/s。已知飞机质量m=7.0×104
kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度取。求飞机滑跑过程中
（1）加速度a的大小；
（2）牵引力的平均功率P。5.
（2018年北京卷）2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h=10
m，C是半径R=20
m圆弧的最低点，质量m=60
kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a=4.5
m/s2，到达B点时速度vB=30
m/s。取重力加速度g=10
m/s2。
（1）求长直助滑道AB的长度L；
（2）求运动员在AB段所受合外力的冲量的I大小；
（3）若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力FN的大小。
6.
（2018年江苏卷）如图所示，悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为m，运动速度的大小为v，方向向下．经过时间t，小球的速度大小为v，方向变为向上．忽略空气阻力，重力加速度为g，求该运动过程中，小球所受弹簧弹力冲量的大小．
7.
（2018年江苏卷）如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B．质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l．用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°．松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）小球受到手的拉力大小F；
（2）物块和小球的质量之比M:m；
（3）小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T．
【2017年】
1．【2017·江苏卷】（16分）如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R．C的质量为m，A、B的质量都为，与地面的动摩擦因数均为μ．现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面．整个过程中B保持静止．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．求：
（1）未拉A时，C受到B作用力的大小F；
（2）动摩擦因数的最小值μmin；
（3）A移动的整个过程中，拉力做的功W．
2．【2017·新课标Ⅰ卷】（12分）一质量为8.00×104
kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面。飞船在离地面高度1.60×105
m处以7.50×103
m/s的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为100
m/s时下落到地面。取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为9.8
m/s2。（结果保留2位有效数字）
（1）分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能；
（2）求飞船从离地面高度600
m处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功，已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。
3．【2017·新课标Ⅱ卷】（12分）为提高冰球运动员的加速能力，教练员在冰面上与起跑线距离s0和s1（s1（1）冰球与冰面之间的动摩擦因数；
（2）满足训练要求的运动员的最小加速度。
4．【2017·新课标Ⅲ卷】（20分）如图，两个滑块A和B的质量分别为mA=1
kg和mB=5
kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=0.5；木板的质量为m=4
kg，与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1。某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v0=3
m/s。A、B相遇时，A与木板恰好相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10
m/s2。求
（1）B与木板相对静止时，木板的速度；
（2）A、B开始运动时，两者之间的距离。
5．【2017·新课标Ⅰ卷】（20分）真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0。在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变。持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点。重力加速度大小为g。
（1）求油滴运动到B点时的速度。
（2）求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件。已知不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍。
【2016年】
1．
[2016·天津卷]
如图1?所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5
N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5
T．有一带正电的小球，质量m＝1×10－6
kg，电荷量q＝2×10－6
C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，g取10
m/s2.求：
图1?
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.
2．
[2016·天津卷]
电磁缓速器是应用于车辆上以提高运行安全性的辅助制动装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓车辆的速度．电磁阻尼作用可以借助如下模型讨论：如图1?所示，将形状相同的两根平行且足够长的铝条固定在光滑斜面上，斜面与水平方向夹角为θ.一质量为m的条形磁铁滑入两铝条间，恰好匀速穿过，穿过时磁铁两端面与两铝条的间距始终保持恒定，其引起电磁感应的效果与磁铁不动、铝条相对磁铁运动相同．磁铁端面是边长为d的正方形，由于磁铁距离铝条很近，磁铁端面正对两铝条区域的磁场均可视为匀强磁场，磁感应强度为B，铝条的高度大于d，电阻率为ρ.为研究问题方便，铝条中只考虑与磁铁正对部分的电阻和磁场，其他部分电阻和磁场可忽略不计，假设磁铁进入铝条间以后，减少的机械能完全转化为铝条的内能，重力加速度为g.
图1?
(1)求铝条中与磁铁正对部分的电流I；
(2)若两铝条的宽度均为b，推导磁铁匀速穿过铝条间时速度v的表达式；
(3)在其他条件不变的情况下，仅将两铝条更换为宽度b′>b的铝条，磁铁仍以速度v进入铝条间，试简要分析说明磁铁在铝条间运动时的加速度和速度如何变化．
3．如图1?所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m.撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
图1?
(1)A固定不动时，A对B支持力的大小N；
(2)A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
(3)A滑动的位移为x时的速度大小vA.
4．
[2016·四川卷]
避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组成，如图
竖直平面内，制动坡床视为与水平面夹角为θ的斜面．一辆长12
m的载有货物的货车因刹车失灵从干道驶入制动坡床，当车速为23
m/s时，车尾位于制动坡床的底端，货物开始在车厢内向车头滑动，当货物在车厢内滑动了4
m时，车头距制动坡床顶端38
m，再过一段时间，货车停止．已知货车质量是货物质量的4倍，货物与车厢间的动摩擦因数为0.4；货车在制动坡床上运动受到的坡床阻力大小为货车和货物总重的0.44倍．货物与货车分别视为小滑块和平板，取cos
θ＝1，sin
θ＝0.1，g＝10
m/s2.求：
(1)货物在车厢内滑动时加速度的大小和方向；
(2)制动坡床的长度．
图1?
5．
[2016·全国卷Ⅲ]
如图1?所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
图1?
6．
[2016·天津卷]
我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图1?所示，质量m＝60
kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6
m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24
m/s，A与B的竖直高度差H＝48
m．为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧．助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5
m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530
J，g取10
m/s2.
图1?
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大？
由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得R＝12.5
m
7．
[2016·四川卷]
避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组成，如图
竖直平面内，制动坡床视为与水平面夹角为θ的斜面．一辆长12
m的载有货物的货车因刹车失灵从干道驶入制动坡床，当车速为23
m/s时，车尾位于制动坡床的底端，货物开始在车厢内向车头滑动，当货物在车厢内滑动了4
m时，车头距制动坡床顶端38
m，再过一段时间，货车停止．已知货车质量是货物质量的4倍，货物与车厢间的动摩擦因数为0.4；货车在制动坡床上运动受到的坡床阻力大小为货车和货物总重的0.44倍．货物与货车分别视为小滑块和平板，取cos
θ＝1，sin
θ＝0.1，g＝10
m/s2.求：
(1)货物在车厢内滑动时加速度的大小和方向；
(2)制动坡床的长度．
图1?
8.[2016·全国卷Ⅱ]
轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
图1?
9．【2016·全国卷Ⅰ】
如图1?，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g.(取sin
37°＝，cos
37°＝)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小．
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能．
(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量．
图1?
10．【2016·天津卷】
我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图1?所示，质量m＝60
kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6
m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24
m/s，A与B的竖直高度差H＝48
m．为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧．助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5
m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530
J，g取10
m/s2.
图1?
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大？
11．如图1?所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m.撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
图1?
(1)A固定不动时，A对B支持力的大小N；
(2)A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
(3)A滑动的位移为x时的速度大小vA.
12．【2016·全国卷Ⅱ】
轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
图1?
13．【2016·全国卷Ⅰ】【物理——选修3?5】
(2)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中．为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开．忽略空气阻力．已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g.求：
(i)喷泉单位时间内喷出的水的质量；
(ii)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度．
14．【2016·北京卷】(1)动量定理可以表示为Δp＝FΔt，其中动量p和力F都是矢量．在运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究．例如，质量为m的小球斜射到木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前后的速度大小都是v，如图1?所示．碰撞过程中忽略小球所受重力．
图1?
a．分别求出碰撞前后x、y方向小球的动量变化Δpx、Δpy；
b．分析说明小球对木板的作用力的方向．
(2)激光束可以看作是粒子流，其中的粒子以相同的动量沿光传播方向运动．激光照射到物体上，在发生反射、折射和吸收现象的同时，也会对物体产生作用．光镊效应就是一个实例，激光束可以像镊子一样抓住细胞等微小颗粒．
一束激光经S点后被分成若干细光束，若不考虑光的反射和吸收，其中光束①和②穿过介质小球的光路如图1?所示，图中O点是介质小球的球心，入射时光束①和②与SO的夹角均为θ，出射时光束均与SO平行．请在下面两种情况下，分析说明两光束因折射对小球产生的合力的方向．
a．光束①和②强度相同；
b．光束①比②的强度大.
图1?
15．【2016·全国卷Ⅲ】【物理——选修3?5】
(2)如图1?所示，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直；a和b相距l，b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m.两物块与地面间的动摩擦因数均相同，现使a以初速度v0向右滑动，此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞．重力加速度大小为g.求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件．
图1?
16.【2016·全国卷Ⅱ】【物理——选修3?5】
(2)如图1?所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3
m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3
m(h小于斜面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m1＝30
kg，冰块的质量为m2＝10
kg，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g＝10
m/s2.
(i)求斜面体的质量；
(ii)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
图1?
