人教版九年级数学上册 21.1 一元二次方程 教案

第二十一章
一元二次方程
课题：一元二次方程
【学习目标】
1．使学生理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项．
2．会判断一个数是否是一元二次方程的根．
3．经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．
【学习重点】
一元二次方程的概念及一般形式．
【学习难点】
在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．
一、情景导入　感受新知
情景：要设计一座高2
m的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？
问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？(导出审题的关键是寻找等量关系)
问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？(用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC，下部的高度表示为BC，在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题)
问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？(根据题意导出关系式BC2＝2AC)
问题4：设雕像下部高BC＝x
m，请说出你所列的方程，并化简，这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？
这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程．(板书课题)
二、自学互研　生成新知
阅读教材P1～P3思考前的内容，完成下面的内容：
①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x
cm，则盒底的宽为(50－2x)cm，盒底的长为(100－2x)cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600
cm2可列方程为(100－2x)(50－2x)＝3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到．
先去括号　5000－100x－200x＋4x2＝3600
移项合并同类项　4x2－300x＋1400＝0
系数化为1(两边同除以4)　x2－75x＋350＝0……①
②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.
设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x－1)支队都要赛一场．
整个比赛中总比赛场数是什么？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x－1)＝28．
你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到．
去括号　x2－x＝28
系数化为1(两边同乘以2)x2－x＝56……②
观察方程①，②，它们有什么共同特点？
归纳：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
②一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，为什么要规定a≠0?
因为a＝0时，未知数的最高次数小于2.
③举例说明什么是一元二次方程的根．
师生活动：
①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程．
②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求．
③生生互助：同桌之间、小组内交流、研讨．
三、典例剖析　运用新知
解答下列问题：
如图是一张长9
cm、宽5
cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12
cm2的一个无盖长方体纸盒．设剪去的正方形的边长为x
cm，则长方体纸盒的底面的长为(9－2x)cm，宽为(5－2x)cm，可列出关于x的方程为(9－2x)(5－2x)＝12，化简得4x2－28x＋33＝0．
思考：所列方程二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项各是什么？同桌间互相说一说．
师生活动：
①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号．
②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项(系数)都应包括它前面的符号．
③生生互助：生生互动交流、订正错误．
四、课堂小结　回顾新知
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．
3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．
五、检测反馈　落实新知
1．关于x的方程ax2－3x＋3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是(　B　)
A．a＞0　　　B．a≠0　　　C．a＝1　　　D．a≥0
2．一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．
3．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长x厘米，则另一直角边长(17－x)厘米，列方程得x2＋(17－x)2＝132．
4．关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，则b＝－3，c＝2．
六、课后作业　巩固新知