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3.2一元一次方程的应用（重点练）
1．一张试卷共有25道题，若做对1题得4分，做错1题扣1分，小明做了全部试题只得了70分，那么小明做对了（ ）道．
A．17
B．18
C．19
D．20
【答案】C
【解析】【分析】此题等量关系为：做对题所得分-做错题所扣分数=70分，设小明做对了x道，则做错了(25-x)道，根据题意列方程求解即可．
【详解】
解：设小明做对了x道，则做错了(25-x)道，
根据题意得：4x-(25-x)×1=70，
解得：x=19，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
2．一游泳池计划注入一定体积的水，按每小时500立方米的速度注水，注水2小时，注水口发生故障，停止注水，经20分钟抢修后，注水速度比原来提高了，结果比预定的时间提前了10分钟完成注水任务，则计划注入水的体积为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】设计划注入水的时间为x小时，根据“比预定的时间提前了10分钟完成注水任务”列出方程并解答．
【详解】
设计划注入水的时间为x小时，
依题意得：，
解得x=5.
5×500=2500，
即计划注入水的体积为2500立方米.
故选：B.
【点评】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于根据题意找到等量关系列出方程.
3．某种商品每件的标价是元，按标价的折销售时，仍可获利，则这种商品每件的进价为（
）
A．元
B．元
C．元
D．元
【答案】C
【解析】【分析】设这种商品每件的进价为x元，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
设这种商品每件的进价为x元，
根据题意得：330×80%?x=10%x，
解得：x=240，
则这种商品每件的进价为240元.
故选：C.
【点评】此题考查一元一次方程的应用，找准题目中的等量关系是解题的关键.
4．已知9人用14天完成了一件工作的，且每个人的工作效率相同，而剩下的工作要在4天完成，则需增加的人数是（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】B
【解析】【分析】设剩下的工作要在4天内完成，需要增加的人数是x人，根据工程问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【详解】
设剩下的工作要在4天内完成，需要增加的人数是x人，由题意，得
(
÷9÷14)×4×(9+x)=1?，
解得：x=12.
故选B.
【点评】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程.
5．现有一个如图1所示的密封玻璃器皿，测得其底面直径为20cm，高为20cm，装有蓝色溶液若干.若如图2放置时，测得液面高为10cm；若如图3放置时，测得液面高为16cm，则该密封玻璃器皿总容积（结果保留m）为（
）
A．1250
B．1300
C．1350
D．1400
【答案】D
【解析】【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】
解：设该玻璃密封器皿总容量为Vcm?，
π×10?×10=
V-π×10?×（20-16），
解得，V=1400π，
故选：D．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，准确列出方程是解题的关键.
6．若有，两个数满足关系式：，则称，为“共生数对”，记作.例如：当2，3满足时，则是“共生数对”.若是“共生数对”，则__________．
【答案】
【解析】【分析】根据共生数对的定义进行分析，列式，求解即可.
【详解】
由已知可得
解得x=
故答案为：
【点评】考核知识点：解一元一次方程.理解题意是关键.
7．某区民用电的计费方式为：白天时段的单价为m元/度，晚间时段的单价为n元/度．某户8月份白天时段用电量比晚间时段多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的总用电量虽比8月份的总用电量多20%，但9月份的总电费却比8月份的总电费少10%，则______．
【答案】2
【解析】【分析】设8月份晚间用电量为a度，则：8月份白天用电量为（1+50%）a=1.5a度，8月份电费为：1.5ma+na=（1.5m+n）a元，9月份白天用电量为：1.5a（1-60%）=0.6a度，9月份晚间用电量为：（a+1.5a）（1+20%）-0.6a=2.4a度，9月份电费为：0.6ma+2.4na=（0.6m+2.4n）a元，然后根据题意即可列出方程，求出m与n的比值即可．
【详解】
解：白天的单价为每度m元，晚间的单价为每度n元，
设8月份晚间用电量为a度，则：
8月份白天用电量为：（1+50%）a=1.5a度，
8月份电费为：1.5ma+na=（1.5m+n）a元，
9月份白天用电量为：1.5a（1-60%）=0.6a度，
9月份晚间用电量为：（a+1.5a）（1+20%）-0.6a=2.4a度，
9月份电费为：0.6ma+2.4na=（0.6m+2.4n）a元，
根据题意得：（0.6m+2.4n）a
=（1.5m+n）（1-10%）a．
整理得：0.75m=1.5n，
∴．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，分别表示出8，9月份的用电量是解决问题的关键．
8．五羊公共汽车公司的555路车在A，B两个总站间往返行驶，来回均为每隔x分钟发车一次小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则______分钟．
【答案】4
【解析】【分析】可设555路车和小宏的速度为未知数，等量关系为：6×（555路车的速度-小宏的速度）=x×555路车的速度；3×（555路车的速度+小宏的速度）=x×555路车的速度，消去x后得到555路车速度和小宏速度的关系式，代入任意一个等式可得x的值．
【详解】
设555路车的速度为a，小宏的速度为b.
由题意得：，
解得a=3b，
代入第2个方程得x=4，
故答案为4.
【点评】此题考查三元一次方程组的应用，解题关键在于根据题意列出方程组.
9．有一位工人师傅要锻造底面直径为40cm的“矮胖”形圆柱，可他手上只有底面直径是10cm、高为80cm的“瘦长”形圆柱，若不计损耗，则锻造出的“矮胖”形圆柱的高为________.
【答案】5cm
【解析】【分析】设“矮胖”形圆柱的高是xcm，根据锻造前后圆柱体积相等建立方程求解即可．
【详解】
解：设“矮胖”形圆柱的高是xcm，由题意得，
π×80=πx，
解得：x=5．
故答案为5cm．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握并准确计算是解题的关键.
10．龙都电子商场出售，，三种型号的笔记本电脑，四月份型电脑的销售额占三种型号总销售额的，五月份，两种型号的电脑销售额比四月份减少了，型电脑销售额比四月份增加了，已知商场五月份该三种型号电脑的总销售额比四月份增加了，则________．
【答案】2
【解析】解：把四月份的销售额看作单位1，根据题意得：
56%×（1+23%）+（1﹣56%）?（1﹣m%）=1+12%
解得：m=2．故答案为：2．
点睛：本题考查了一元一次方程的实际应用，这里注意要把四月份的销售额看作整体1．根据两种不同的表示方法表示五月份的销售额列方程求解．
11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连结PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
BQ=
；（2）存在，t=4或12，详见解析.
【解析】【分析】(1)作AM⊥BC于M，PE交AC于点N，则△APN和△CEN是等腰直角三角形，把CE的长在PE上和在CM上用关于t的式子表示，即可得到关于t的方程，从而求解；
(2)根据AP=BE，列出关于t的方程求解.
【详解】
解：（1）作AM⊥BC于M，如图所示：
∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，
∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM=BC=5，
∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°，
∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，
∵CE=CQ-QE=2t-2，∴5-t=2t-2，
解得：t=，BQ=BC-CQ=10-2×
=
；
（2）存在，t=4；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP=BE，
∴t=10-2t+2，或t=2t-2-10
解得：t=4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4或12．
12．某牛奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在一条直线上，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米、已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，公司提出两种建站方案：
方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离最小；
方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和，
（1）若按第一种方案建站，取奶站应建在什么位置？
（2）若按方案二建站，取奶站应建在什么位置？
（3）在（2）的情况下，若A楼每天取奶的人数增加，增加的人数不超过22人，那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由．
【答案】(1)
按方案一建奶站，取奶站应建在B处；(2)
按方案二建奶站，取奶站建在距A楼80米处．(3)
当A楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站建在B、C两楼之间，且随着人数的增加，离B楼越来越远．
【解析】试题分析：（1）设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米，求出在各函数在自变量下的最小值，（2）设取奶站建在距A楼x米处，列出等量关系式，解得x．
（3）设A楼取奶人数增加a人，在各个自变量下，解得x与a的关系．
试题解析：解：（1）设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米．
①当0≤x≤40时，y=20x+70（40﹣x）+60（100﹣x）=﹣110x+8800
∴当x=40时，y的最小值为4400，
②当40＜x≤100，y=20x+70（x﹣40）+60（100﹣x）=30x+3200
此时，y的值大于4400
因此按方案一建奶站，取奶站应建在B处；
（2）设取奶站建在距A楼x米处，
①0≤x≤40时，20x+60（100﹣x）=70（40﹣x）
解得x=﹣＜0（舍去）
②当40＜x≤100时，20x+60（100﹣x）=70（x﹣40）
解得：x=80
因此按方案二建奶站，取奶站建在距A楼80米处．
（3）设A楼取奶人数增加a人
①当0≤x≤40时，（20+a）x+60（100﹣x）=70（40﹣x）
解得x=﹣（舍去）．
②当40＜x≤100时，（20+a）x+60（100﹣x）=70（x﹣40），
解得x=．
∴当a增大时，x增大．
∴当A楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站建在B、C两楼之间，且随着人数的增加，离B楼越来越远．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
13．已知x＞0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6……
(1)填空：＝__
__，[8.05]＝__
__；
若[x]＝5，则x的取值范围是
．
(2)某市的出租车收费标准如下：3
km以内(包括3
km)收费5元，超过3
km的，每超过1
km，加收1.2元(不足1
km按1
km计算)．用x表示所行的路程(单位：km)，y表示行x(km)应付的乘车费(单位：元)，则乘车费可按如下的公式计算：
当0＜x≤3时，y＝5；
当x＞3时，y＝5＋1.2([x]－3)．
某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客所乘路程的取值范围．
【答案】(1)1；9；4＜x≤5(2)
13km＜x≤14km
【解析】试题分析：（1）接材料上提供的计算方法，就是表示若是整数，就是数本身，如果是一个小数，是指比这个数较大的最小的整数，计算即可；
（2）直接把y=18.2代入解析式求x的范围．
试题解析：(1)1；9；4＜x≤5
(2)因乘客付费18.2元＞5元，故乘客乘
车路程超过3
km，根据题意，可知
5＋1.2([x]－3)＝18.2，
∴[x]－3＝11，∴[x]＝14，∴13＜x≤14.
故该乘客所乘路程的取值范围为13km＜x≤14km.
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精品试卷·第
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3.2一元一次方程的应用（重点练）
1．一张试卷共有25道题，若做对1题得4分，做错1题扣1分，小明做了全部试题只得了70分，那么小明做对了（ ）道．
A．17
B．18
C．19
D．20
2．一游泳池计划注入一定体积的水，按每小时500立方米的速度注水，注水2小时，注水口发生故障，停止注水，经20分钟抢修后，注水速度比原来提高了，结果比预定的时间提前了10分钟完成注水任务，则计划注入水的体积为
A．
B．
C．
D．
3．某种商品每件的标价是元，按标价的折销售时，仍可获利，则这种商品每件的进价为（
）
A．元
B．元
C．元
D．元
4．已知9人用14天完成了一件工作的，且每个人的工作效率相同，而剩下的工作要在4天完成，则需增加的人数是（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
5．现有一个如图1所示的密封玻璃器皿，测得其底面直径为20cm，高为20cm，装有蓝色溶液若干.若如图2放置时，测得液面高为10cm；若如图3放置时，测得液面高为16cm，则该密封玻璃器皿总容积（结果保留m）为（
）
A．1250
B．1300
C．1350
D．1400
6．若有，两个数满足关系式：，则称，为“共生数对”，记作.例如：当2，3满足时，则是“共生数对”.若是“共生数对”，则__________．
7．某区民用电的计费方式为：白天时段的单价为m元/度，晚间时段的单价为n元/度．某户8月份白天时段用电量比晚间时段多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的总用电量虽比8月份的总用电量多20%，但9月份的总电费却比8月份的总电费少10%，则______．
8．五羊公共汽车公司的555路车在A，B两个总站间往返行驶，来回均为每隔x分钟发车一次小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则______分钟．
9．有一位工人师傅要锻造底面直径为40cm的“矮胖”形圆柱，可他手上只有底面直径是10cm、高为80cm的“瘦长”形圆柱，若不计损耗，则锻造出的“矮胖”形圆柱的高为________.
10．龙都电子商场出售，，三种型号的笔记本电脑，四月份型电脑的销售额占三种型号总销售额的，五月份，两种型号的电脑销售额比四月份减少了，型电脑销售额比四月份增加了，已知商场五月份该三种型号电脑的总销售额比四月份增加了，则________．
11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连结PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
12．某牛奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在一条直线上，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米、已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，公司提出两种建站方案：
方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离最小；
方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和，
（1）若按第一种方案建站，取奶站应建在什么位置？
（2）若按方案二建站，取奶站应建在什么位置？
（3）在（2）的情况下，若A楼每天取奶的人数增加，增加的人数不超过22人，那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由．
13．已知x＞0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6……
(1)填空：＝__
__，[8.05]＝__
__；
若[x]＝5，则x的取值范围是
．
(2)某市的出租车收费标准如下：3
km以内(包括3
km)收费5元，超过3
km的，每超过1
km，加收1.2元(不足1
km按1
km计算)．用x表示所行的路程(单位：km)，y表示行x(km)应付的乘车费(单位：元)，则乘车费可按如下的公式计算：
当0＜x≤3时，y＝5；
当x＞3时，y＝5＋1.2([x]－3)．
某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客所乘路程的取值范围．
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