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3.4二元一次方程组的应用（重点练）
1．已知方程组，与y的值之和等于2，则的值等于（
）
A．3
B．
C．4
D．
【答案】C
【解析】【分析】把方程组中的k看作常数，利用加减消元法，用含k的式子分别表示出x与y，然后根据x与y的值之和为2，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
【详解】
，
①×2-②×3得：y=2（k+2）-3k=-k+4，
把y=-k+4代入②得：x=2k-6，
又x与y的值之和等于2，所以x+y=-k+4+2k-6=2，
解得：k=4
故选：C．
【点评】此题考查学生灵活利用消元法解方程组的能力，是一道基础题．此题的关键在于把k看作常数解方程组．
2．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，则可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】设大马有匹，小马有匹，根据题意可得等量关系：大马数+小马数=100，大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
解：设大马有匹，小马有匹，由题意得：
，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
3．某超市为促销，决定对A，B两种商品进行打折出售.打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元.打折后，买50件A商品和40件B商品仅需364元，则比打折前少花（
）
A．56元
B．116元
C．420元
D．480元
【答案】B
【解析】【分析】设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元列出方程组，求出x、y的值，然后再计算出打折前买50件A商品和40件B商品共需要的钱数即可．
【详解】
设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，
根据题意得解得
则（元），
所以比打折前少花116元.故选B.
【点评】本题考查了利用二元一次方程组解决现实生活中的问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
4．已知x＋y＝5，2x－y＝1，则代数式xy(y＋y2)－y2(xy－x)＋2x(x－y2)的值为(
)
A．8
B．－28
C．－8
D．无法确定
【答案】A
【解析】【分析】先将代数式去括号后合并同类项进行化简，再将x＋y=5，2x－y=1组成二元一次方程组求出x、y，然后将x、y的值代入化简的代数式即可.
【详解】
解：xy(y＋y2)－y2(xy－x)＋2x(x－y2)
=xy2+xy3-xy3+xy2+2x2-2xy2
=2x2；
∵x+y=5，2x-y=1，
∴x=2，y=3，
∴2x2=2×22=8.
故选A.
【点评】本题考查了整式的化简求值，同时也考查了二元一次方程.
5．小兰：“小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？”小红：“哦，…，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱.”请根据小红与小兰的对话，求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是(????
)
A．0.8元/支，2.6元/本
B．1.2元／支，3.6元／本
C．1.2元/支，2.6元/本
D．0.8元／支，3.6元／本
【答案】B
【解析】【分析】首先设小红所买的笔的价格是x元/支，笔记本的价格是y元/本，根据关键语句“第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，”可得方程5x+10y=42，“第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱”可得方程10x+5y=30，联立两个方程，再解方程组即可．
【详解】
设小红所买的笔的价格是x元/支，笔记本的价格是y元/本，
由题意得：
，
解得，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组即可．
6．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上的数字的平方比个位上的数字小1，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，可列方程组________________________．
【答案】
【解析】【分析】等量关系为：个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上的数字的平方比个位上的数字小1，根据个位上的数字为x，十位上的数字为y列方程组即可．
【详解】
∵个位上的数字为x，十位上的数字为y，
∴，
故答案为.
【点评】本考查列方程组，根据题意找出等量关系是解题的关键．
7．程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法综宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，则小和尚有__________人．
【答案】75.
【解析】【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．
【详解】
设大和尚有x人,小和尚有y人，
根据题意得：，
解得.
所以，小和尚75人.
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解决此类问题的关键就是认真对题，从题目中提取出等量关系，根据等量关系设未知数列方程组.
8．王师傅将一根长133毫米的铜管锯成长为8毫米和长为13毫米两种规格的小铜钢管若干根，恰好用完．如果每个锯口都要损耗1毫米铜管．那么他共将铜管锯成了_____段．
【答案】11．
【解析】【分析】设锯成长为8毫米和长为13毫米小铜钢管分别x、y根，由题意得，x、y为正整数，求解即可.
【详解】
设锯成长为8毫米和长为13毫米两种规格的小铜钢管分别x、y根，
由题意得：，
x、y为正整数，
符合条件的解为，
x+y＝4+7＝11（段）；
即王师傅共将铜管锯成了11段；
故答案为：11．
【点评】由题意列出方程，根据x、y为正整数，解方程是关键.
9．若与可以合并成一项，则的值是_______.
【答案】0
【解析】【分析】根据同类项的性质列出关于m,n的方程组，解方程组得到m,n的值，进而得解.
【详解】
解：∵与可以合并成一项，
∴
解得
∴.
故答案为：0
【点评】本题考查了同类项的概念和二元一次方程组，熟练掌握概念法则和解方程的方法是关键.
10．在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为；乙同学因看漏了c，解得，则a+b+c的值应为______
．
【答案】7
【解析】【分析】由两同学的做法可以列出3个等式，进而求出a＋b＋c．
【详解】
由题意得方程组3a＋2b＝133c?2＝45a?b＝13，
解,得a＝3,b＝2,c＝2.
则a＋b＋c＝7.
【点评】本题考查的是三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组是解题的关键.
11．已知关于、的二元一次方程组（为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含的代数式表示）；
（2）若方程组的解、满足，求的取值范围；
（3）若，设，且m为正整数，求m的值．
【答案】（1）；（2）k
＜﹣；（3）m的值为1或2．
【解析】【分析】（1）把k当成一个已知得常数，解出二元一次方程组即可；
（2）将（1）中得的值代入
，即可求出的取值范围；
（3）将（1）中得的值代入得m=7k﹣5。由于m＞0，得出7k﹣5＞0，及得出解集
进而得出m的值为1或2
【详解】
（1）
②+①，得4x＝2k﹣1，
即
；
②﹣①，得2y＝﹣4k+3
即
所以原方程组的解为
（2）方程组的解x、y满足x+y＞5，
所以
，
整理得﹣6k
＞15，
所以
；
（3）m＝2x﹣3y＝
＝7k﹣5
由于m为正整数，所以m＞0
即7k﹣5＞0，k＞
所以＜k≤1
当k＝时，m＝7k﹣5＝1；
当k＝1时，m＝7k﹣5＝2．
答：m的值为1或2．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键.
12．已知关于的方程的解为正整数，且k为整数，则k=__±8__；25.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司设计了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成.
如果你是老板，你会选择哪一种方案？并说明理由.
【答案】该公司可以粗加工这种食品80吨，精加工这种食品60吨，可获得最高利润为810000元
【解析】本题考查的是二元一次方程组的应用
要判定哪一种方案获利最多，只要求出每种方案获利多少，再进行比较就可以了．第三种方案中有多少精加工、有多少粗加工需要列二元一次方程组来解决．
选择第三种方案获利最多．
方案一:因为每天粗加工吨，吨可以在天内加工完，
总利润(元)．
方案二:因为每天精加工吨，天可以加工吨，其余吨直接销售，
总利润(元)．
方案三:设天内精加工蔬菜吨，粗加工蔬菜吨，
依题意得:，解得，
总利润(元)，
因为，所以第三种方案获利最多．
13．第一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40%，第二工程队承包乙工程，晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？
【答案】两工程队各工作了16天，在施工期间有10天有雨．
【解析】试题分析：根据题意找出两个等量关系：①第一工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程量；②第二工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程量．设工程总量为1，则第一工程队晴天工作效率为，雨天工作效率为；第一工程队晴天工作效率为，雨天工作效率为，根据等量关系列出方程组求解即可．
试题解析：解：设两工程队各工作了x天，在施工期间有y天有雨，由题意得：
，解得：
．
答：设两工程队各工作了16天，在施工期间有10天有雨．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于弄清题意，找出两个合适的等量关系，列出方程组求解．
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3.4二元一次方程组的应用（重点练）
1．已知方程组，与y的值之和等于2，则的值等于（
）
A．3
B．
C．4
D．
2．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，则可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
3．某超市为促销，决定对A，B两种商品进行打折出售.打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元.打折后，买50件A商品和40件B商品仅需364元，则比打折前少花（
）
A．56元
B．116元
C．420元
D．480元
4．已知x＋y＝5，2x－y＝1，则代数式xy(y＋y2)－y2(xy－x)＋2x(x－y2)的值为(
)
A．8
B．－28
C．－8
D．无法确定
5．小兰：“小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？”小红：“哦，…，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱.”请根据小红与小兰的对话，求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是(????
)
A．0.8元/支，2.6元/本
B．1.2元／支，3.6元／本
C．1.2元/支，2.6元/本
D．0.8元／支，3.6元／本
6．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上的数字的平方比个位上的数字小1，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，可列方程组________________________．
7．程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法综宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，则小和尚有__________人．
8．王师傅将一根长133毫米的铜管锯成长为8毫米和长为13毫米两种规格的小铜钢管若干根，恰好用完．如果每个锯口都要损耗1毫米铜管．那么他共将铜管锯成了_____段．
9．若与可以合并成一项，则的值是_______.
10．在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为；乙同学因看漏了c，解得，则a+b+c的值应为______
．
11．已知关于、的二元一次方程组（为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含的代数式表示）；
（2）若方程组的解、满足，求的取值范围；
（3）若，设，且m为正整数，求m的值．
12．已知关于的方程的解为正整数，且k为整数，则k=__±8__；25.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司设计了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成.
如果你是老板，你会选择哪一种方案？并说明理由.
13．第一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40%，第二工程队承包乙工程，晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？
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