课题：用配方法解一元二次方程
【学习目标】
1．掌握配方法和指导过程，能使用配方法解一元二次方程．
2．通过降次的思想解方程，掌握一些转化的技能．
【学习重点】
配方法的解题步骤．
【学习难点】
用配方法解系数不为1的一元二次方程．
一、情景导入 感受新知
情景：请把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，并由一名学生口答．
问题：(追问)那么你能将方程x2＋6x＋4＝0转化为(x＋3)2＝5的形式吗？由此导入课题．(板书课题)
二、自学互研 生成新知
阅读教材P6第2个“探究”至P8，完成下面的内容：
①解方程x2＋6x＋4＝0.
移项：把常数项移到方程的右边，得x2＋6x＝－4；
配方：两边都加9，使得左边配成x2＋2bx＋b2的形式，得x2＋6x＋9＝5；
变形：把左边写成完全平方形式，得(x＋3)2＝5；
降次：运用平方根的定义把方程转化为两个一元一次方程，得x＋3＝±；
求解：解两个一元一次方程，得x1＝－3，x2＝－－3．
②回忆完全平方公式填空：a2＋2ab＋_b2＝(a＋_b)2，x2＋6x＋_9＝(x＋3)2.
③为什么要在x2＋6x＝－4两边加9而不是其他数？
因为两边加9，式子左边可以恰好凑成完全平方式．
归纳：通过配成完全平方形式的方法，叫做配方法．配方是为了降次，把一个一元二次方程化成两个一元一次方程来解．
仿例：用配方法解下列方程：
x2－x＝4
解：配方，得x2－x＋＝4＋，即＝；∴x－＝±，∴x1＝，x2＝.
师生活动：
①明了学情：了解学生配方时的难点和易错点．
②差异指导：根据具体情况指导学生配方．
③生生互助：小组内相互交流研讨，订正错误．
三、典例剖析 运用新知
例1：用配方法解下列方程：
(1)x2＋2x＝7；
解：原方程可化为x2＋2x＋12＝7＋12.(x＋1)2＝8，x＋1＝±2，∴x1＝－1＋2，x2＝－1－2.
(2)x2－5x＋＝0.
解：原方程可化为x2－5x＋＝－＋即＝6，x－＝±，∴x1＝＋，x2＝－.
【归纳】用配方法解一元二次方程(二次项系数为1时)的一般步骤：①使右边为0；②左边配方(先加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数)；③把方程变为形如(x＋m)2－n＝0，再求解(其中n≥0)；④再根据平方根的意义求解．
例2：用配方法求代数式y2＋6y＋4的最小值．
解：原式＝y2＋6y＋32－32＋4＝(y＋3)2－5.∵(y＋3)2≥0，∴代数式y2＋6y＋4的最小值为－5.
变例：已知实数x，y满足x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，求yx的值．
解：∵x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，∴x2＋4x＋4＋y2－6y＋9＝0，∴(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴x＋2＝0，y－3＝0，∴x＝－2，y＝3，∴yx＝3－2＝.
师生活动：
①明了学情：主要了解学生解方程配方时是否存在困难，计算是否错误，书写格式是否规范．
②
差异指导：针对学生在学习中出现的问题予以指导．
③生生互助：生生互动，交流研讨．
四、课堂小结 回顾新知
本节课应掌握：
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性(如例2)，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．
五、检测反馈 落实新知
1．用配方法解方程－x2＋6x＋7＝0时，配方后得的方程为( B )
A．(x＋3)2＝16 B．(x－3)2＝16
C．(x＋3)2＝2
D．(x－3)2＝2
2．填空：
(1)4x2＋4x＋_1＝(2x＋_1)2
(2)x2－x＋＝(x－)2
3．用配方法解下列方程：
(1)x2＋10x＋9＝0；
解：移项，x2＋10x＝－9，
配方，x2＋10x＋25＝16，
(x＋5)2＝16，
x＋5＝±4，
方程的两个根为x1＝－1，x2＝－9.
(2)4x2－12x－7＝0；
解：移项，4x2－12x＝7，
系数化为1，x2－3x＝，
配方，x2－3x＋＝4，
＝4，x－＝±2，
方程的两个根为x1＝，x2＝－.
(3)x2＋4x－9＝2x－11；
解：移项，x2＋2x＝－2，
配方，x2＋2x＋1＝－1，
(x＋1)2＝－1，
方程没有实数根．
(4)x(x＋4)＝8x＋12
解：化简移项，x2－4x＝12，
配方，x2－4x＋4＝16，
(x－2)2＝16，x－2＝±4，
方程的两个根为x1＝6，x2＝－2.
六、课后作业 巩固新知课题：用直接开平方法解一元二次方程
【学习目标】
1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程；
2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法；
3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
【学习重点】
运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
【学习难点】
通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
一、情景导入 感受新知
情景：一桶油漆可刷的面积为1500
dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长．
问题1：本题的等量关系是什么？
问题2：设正方形的棱长为x
dm，请列出方程并化简．
问题3：根据平方根的意义解方程x2＝25.
由此导入并板书课题直接开平方法．
二、自学互研 生成新知
阅读教材P5，完成以下问题：
(1)问题1中可列出的方程是：10×6x2＝1500．
(2)整理方程，得x2＝25．
(3)根据平方根的意义，得x＝±5．即x1＝_5，x2＝－5．
(4)通过验证可知：_5和－5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为_5dm.
①当p＞0时，方程x2＝p有两个不等的实数根x1＝－，x2＝．
当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0．
当p＜0时，方程x2＝p无实数根．
②探究方程(x＋3)2＝5的根：
因为(x＋3)2＝5，所以x＋3是_5的平方根，所以x＋3等于或－.
即x＋3＝，或x＋3＝－．
解x＋3＝，得x1＝－3；解x＋3＝－，得x2＝－－3．
于是，方程(x＋3)2＝5的根为x1＝－3，x2＝－－3．
解方程(x＋3)2＝5的过程实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得原方程的解．
③当p≥0时，方程(mx＋n)2＝p的解是x1＝，x2＝，当p＜0时，方程(mx＋n)2＝p无实数根．
师生活动：
①明了学情：看学生能否顺利解决所给问题，注意书写格式方面存在的问题．
②差异指导：注意帮助学困生复习平方根等知识，紧扣平方根讨论p的符号与方程的解的个数的关系．
③生生互助：同桌之间批改，相互讨论改正错误．
三、典例剖析 运用新知
范例：解下列方程：
(1)(2x－1)2＝5；
解：x1＝，x2＝.
(2)3(x＋1)2＝；
解：x1＝－，x2＝－.
仿例：解下列方程：
(1)2(x－1)2＝8；
解：x1＝3，x2＝－1.
(2)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0；
解：x1＝－，x2＝－.
【归纳】上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可由“降次”得到x＝±或mx＋n＝±(p≥0)求解．
师生活动：
以师生对话的形式讨论(mx＋n)2＝p的解的个数问题．
四、课堂小结 回顾新知
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)，那么x＝±转化为应用直接开方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)，那么mx＋n＝±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．
五、检测反馈 落实新知
1．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D )
A．x－6＝－4
B．x－6＝4
C．x＋6＝4
D．x＋6＝－4
2．方程3x2＋9＝0的根为( D )
A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根
3．若8x2－16＝0，则x的值是±．
4．已知方程2(x－3)2＝72，那么这个一元二次方程的两根是x1＝9，x2＝－3．
5．解下列方程：
(1)4x2＝81；
解：由已知，得：x2＝，
直接开平方，得x＝±，
所以方程的两根为x1＝，x2＝－.
(2)(x＋6)2－9＝0；
解：由已知，得：(x＋6)2＝9，
直接开平方，得x＋6＝±3，
所以方程的两根为x1＝－3，x2＝－9.
六、课后作业 巩固新知
