课题：一元二次方程根的判别
【学习目标】
1．引导学生通过复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导过程．
2．引导学生通过具体题目，会应用根的判别式判断一元二次方程解的情况．
【学习重点】
求根公式的推导和根的判别式的应用．
【学习难点】
一元二次方程求根公式法的推导．
一、情景导入 感受新知
用配方法解一元二次方程2x2－7x＋3＝0.
解：原方程可化为x2－x＋＝0.＝，∴x－＝±.∴x1＝3，x2＝.
用配方法解每个方程时，总在重复一些步骤，计算也很麻烦；能不能对一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)使用这些步骤，然后求出解x的通用公式呢？
二、自学互研 生成新知
阅读教材P9～P10归纳前的内容，完成下面填空：
①用配方法把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)变形为(x＋n)2＝p(p≥0)的形式(先独立探究，再与课本比较)．
二次项系数化为1，得
x2＋x＋＝0；移项，得x2＋x＝－；配方，得x2＋x＋＝－＋；变形，得＝．
当b2－4ac＞0时，＞0，方程有两个不等的实数根x1＝，x2＝．
当b2－4ac＝0时，＝0，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－．
当b2－4ac＜0时，＜0，方程没有实数根．
②Δ＝b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．
当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；
当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
当b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
注意：上面的叙述，反过来也成立．
师生活动：
①明了学情：了解学生配方的过程以及配方后是否讨论．
②差异指导：指导学生配方变形；指导学生对b2－4ac的符号进行讨论．
③生生互助：小组内相互交流、研讨．
三、典例剖析 运用新知
例：无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由．
解：方程化简为x2－5x＋6－p2＝0.
∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝4p2＋1≥1，∴Δ＞0.
∴无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根．
变例：k为何值时，方程x2＋2(k－1)x＋k2＋2k－4＝0：
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)没有实数根．
解：Δ＝[2(k－1)]2－4(k2＋2k－4)＝－16k＋20.
(1)当Δ＞0，即－16k＋20＞0，解得k＜，原方程有两个不相等的实数根；
(2)当Δ＝0，即－16k＋20＝0，解得k＝，原方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0，即－16k＋20＜0，解得k＞，原方程无实数根．
师生活动：
①明了学情：观察学生对根的判别式的运用情况．
②差异指导：不解方程确定方程根的情况，应先将方程化为一般形式，注意各项系数都包括它前面的符号．
③生生互助：同桌之间，小组内交流、讨论．
四、课堂小结 回顾新知
1．用判别式判定一元二次方程根的情况
(1)Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
(3)Δ＜0时，一元二次方程无实数根．
2．运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件．
五、检测反馈 落实新知
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac满足的条件是( B )
A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
D．b2－4ac≥0
2．已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，②x2－2x－3＝0.下列说法正确的是( B )
A．①②都有实数解
B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解
D．①②都无实数解
3．利用求根公式求5x2＋＝6x的根时，a，b，c的值分别是( C )
A．5，，6
B．5，6，
C．5，－6，
D．5，－6，－
4．不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)2x2－3x－＝0；
解：Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×＝21＞0，方程有两个不等的实数根．
(2)16x2－24x＋9＝0；
解：Δ＝b2－4ac＝242－4×16×9＝0，方程有两个相等的实数根．
六、课后作业 巩固新知课题：公式法
【学习目标】
1．经历推导求根公式的过程，进一步发展逻辑思维能力．
2．能熟练运用公式法解一元二次方程．
3．通过探索运用公式法解一元二次方程的过程，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．
【学习重点】
能熟练用公式法解一元二次方程．
【学习难点】
理解求根公式的推导过程．
一、情景导入 感受新知
填表：
方程
b2－4ac的值
b2－4ac的符号
x1，x2的关系(填相等、不相等或不存在)
2x2－3x＝0
9
＞0
不相等
3x2－2x＋1＝0
0
＝0
相等
4x2＋x＋1＝0
－15
＜0
不存在
二、自学互研 生成新知
阅读教材P11～P12，完成下面的内容：
①先独立运用公式法解所给方程，然后对照课本找错误、分析错因．
x2－4x－7＝0； 2x2－2x＋1＝0；
解：x1＝2＋，
解：x1＝x2＝.
x2＝2－.
5x2－3x＝x＋1;
x2＋17＝8x
解：x1＝1，x2＝－.
解：无实数根．
②说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤，有哪些易错点？
先将方程化为一般形式，确定a，b，c的值；计算判别式Δ＝b2－4ac的值，判断方程是否有解，若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根，若Δ＜0，方程无实数根，计算Δ时，注意a，b，c符号的问题．
③解答本章引言中的问题．
归纳：当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可以写成x＝的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式，求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果，解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫公式法．
师生活动：
①明了学情：看学生能否从例2的学习中总结出用公式法解方程的一般步骤及注意事项．
②差异指导：注意强调运用公式法解方程的前提条件．
③生生互助：同桌之间互相找错，分析错因．
三、典例剖析 运用新知
例：用公式法解下列方程：
(1)x2＋x－12＝0；
解：x1＝－4，x2＝3
(2)x2－x－＝0；
解：x1＝，x2＝.
(3)x2＋4x＋8＝2x＋11；
解：x1＝－3，x2＝1.
(4)x(x－4)＝2－8x；
解：x1＝－2，x2＝－－2.
(5)x2＋2x＝0；
解：x1＝0，x2＝－2.
(6)x2＋2x＋10＝0.
解：无实数根．
仿例：解方程x2＝3x＋2时，有一位同学解答如下：
∵a＝1，b＝3，c＝2，b2－4ac＝32－4×1×2＝1
∴x＝＝，∴x1＝－1，x2＝－2.
请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程．
解：有错误，方程化为一般形式x2－3x－2＝0，∴a＝1，b＝－3，c＝－2，b2－4ac＝17.x＝＝，x1＝，x2＝.
师生活动：
①明了学情：观察学生对求根公式的掌握运用情况．
②差异指导：利用求根公式解一元二次方程应先计算Δ的值，注意将结果化成最简形式．
③生生互助：同桌之间，小组合作交流，相互纠错并找出原因．
四、课堂小结 回顾新知
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝(b2－4ac≥0).
2．应用公式法解一元二次方程的步骤：
(1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a＞0.
(2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号．
(3)计算b2－4ac，若结果为负数，方程无解．
(4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．
五、检测反馈 落实新知
1．方程x2＋4x＝2的正根为( D )
A．2－
B．2＋
C．－2－
D．－2＋
2．用公式法解方程4x2－12x＝3得( D )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
3．用公式法解下列方程：
(1)3x2－6x＋1＝0；
解：a＝3，b＝－6，c＝1.Δ＝b2－4ac＝36－12＝24＞0.方程有两个不等的实数根，x＝＝＝1±，即x1＝1＋，x2＝1－.
(2)x2－5＝2(x＋1).
解：方程化为x2－2x－7＝0.a＝1，b＝－2，c＝－7.Δ＝b2－4ac＝4＋28＝32＞0.方程有两个不等的实数根，x＝＝＝1±2，即x1＝1＋2，x2＝1－2.
六、课后作业 巩固新知
