人教版九年级数学上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教案

课题：一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】
1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．
2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接(或变形后)含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．
【学习重点】
一元二次方程的根与系数的关系．
【学习难点】
让学生从具体方面的根发现一元二次方程根与系数之间的关系．
一、情景导入　感受新知
问题：(1)一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
(2)一元二次方程的求根公式：x＝(b2－4ac≥0).
思考：如果一个方程的两根之和为1，两根之积为－2，你能说出这个方程吗？今天我们进一步学习一元二次方程根与系数的关系．
二、自学互研　生成新知
阅读教材P15～P16的部分，完成以下问题：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋6x－16＝0
－8
2
－6
－16
x2－2x－5＝0
＋1
－＋1
2
－5
2x2－3x＋1＝0
1
5x2＋4x－1＝0
－1
－
－
①已知方程x2＋px＋q＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2＝－p，x1x2＝q．你是怎么得到的？
若方程两根分别为x1，x2.则方程可表示为(x－x1)(x－x2)＝0.
化简，得x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
∴x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
②已知方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，两根分别为x1＝，x2＝．x1＋x2＝－，x1x2＝．你是怎么得到的？
x1＋x2＝＋＝＝－，x1x2＝·＝＝.
师生活动：
①明了学情：了解学生探究方程的两个根与系数的关系的方式和易错点．
②差异指导：指导学生通过比较的方式探究x2＋px＋q＝0根与系数的关系，通过直接计算的方式探究方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根与系数的关系．对学习有困难的学生予以指导，并帮他们分析根与系数之间的关系．
③生生互助：同桌之间可以互动、研讨．
三、典例剖析　运用新知
范例：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x2＋2x＋1＝0
解：x1＋x2＝－2，x1·x2＝1
(2)5x－5＝6x2－4.
解：x1＋x2＝，x1·x2＝
仿例：求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)2x2＋3＝7x2＋x
解：x1＋x2＝－，x1·x2＝－
(2)2x2＝3x
解：x1＋x2＝，x1·x2＝0
变例：已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
解：设方程的另一根为x1，则－3x1＝，∴x1＝.
∴x1＋(－3)＝＋(－3)＝－，解得k＝3.
∴另一根为，k的值为3.
师生活动：
①明了学情：了解学生对根与系数关系掌握运用情况．
②差异指导：利用根与系数关系解决问题的前提是Δ≥0.
③生生互助：同桌之间，小组内合作、讨论、交流，形成共识．
四、课堂小结　回顾新知
1．若方程x2＋px＋q＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
2．方程ax2＋bx＋c＝0中，在a≠0，b2－4ac≥0的条件下，x1＋x2＝－，x1x2＝.
3．运用一元二次方程根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意：
(1)先把方程化成一般形式，明确方程的二次项系数，一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式．
(2)确定方程的各项系数时一定要包括其符号．
(3)只有在一元二次方程有实根的前提下，才能使用根与系数的关系，如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系．
五、检测反馈　落实新知
1．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－1．
2．已知x＝1是方程x2＋mx－3＝0的一个根，则另一个根为－3，m＝2．
3．若方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为2和－3，则a＝1，b＝－6．
4．已知a，b是方程x2－3x－1＝0的两根，求＋的值．
解：∵a＋b＝3，ab＝－1，∴＋＝＝＝＝－11.
六、课后作业　巩固新知