课题:传播问题与一元二次方程
【学习目标】
1.会列出一元二次方程解决传播、握手、比赛问题,学会将实际问题转化为数学问题.
2.能够根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.
【学习重点】
列一元二次方程解决实际问题.
【学习难点】
找出实际问题中的等量关系.
一、情景导入 感受新知
问题1:列方程解应用题的基本步骤有哪些?
问题2:有一人患了流感,经过两轮传染后,有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?本节课我们学习一元二次方程的应用.(板书课题)
二、自学互研 生成新知
阅读教材P19探究1,完成下面的内容:
问题1:探究1的“分析”中,第一轮后共有多少个人患了流感?(用代数式表示)
答:共有(1+x)人患了流感.
问题2:探究1的“分析”中,第二轮后共有多少个人患了流感?(用代数式表示)
答:共有1+x+x(1+x)人患了流感.
问题3:探究1中每轮传染中平均一个人传染了几个人?
答:每轮传染中平均一个人传染了10个人.
①思考:上述问题中如果按这样的传播速度,三轮传染后有多少人患了流感?n轮后呢?(三轮后:121×10+121=1331人;n轮后:11n)
②依据探究1中的解题方法,解决以下例题:
仿例:某生物实验室需培植一群有益菌.现有60个活体样本,经过两轮培植后,总和达24000个,其中每个有益菌每一次可分裂出相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?
(2)按照这样的分裂速度,经过第三轮培植后共有多少个有益菌?
解:(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂x个有益菌,根据题意,得
60+60x+(60x+60)x=24000.
解得x1=-21(负值舍去),x2=19.
答:每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.
(2)第三轮共有24000×(1+19)=480000(个).
答:按照这样的分裂速度,经过第三轮培植后共有480000个有益菌.
师生活动:
①明了学情:了解学生是否会寻找等量关系、列方程,对“两轮传染”是否真正理解.
②差异指导:指导学生寻找等量关系、列方程的过程.
③生生互助:小组内互相交流、研讨.
三、典例剖析 运用新知
范例:有人利用手机发短信,获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信,经过两轮短信的发送,共有90人手机上获得同一条信息,则每轮发送短信一个人要向几个人发送短信?
解:设要向x个人发送短信.根据题意,得
x(x+1)=90,
解得x1=9,x2=-10(舍去).
答:一个人要向9个人发送短信.
仿例:某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染,请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,三轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
解:设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
依题意1+x+(1+x)x=81,(1+x)2=81,x+1=9或x+1=-9.
解得x=8或x=-10(舍去).
三轮感染后被感染的电脑台数为(1+x)2+(1+x)2x=(1+x)3=(1+8)3=729>700.
答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑;三轮感染后,被感染的电脑台数会超过700台.
师生活动:
①明了学情:观察学生能否顺利解决问题.
②差异指导:帮助学生分析题意,寻找等量关系.
③生生互助:同桌之间,小组内互相交流、讨论,形成共识.
四、课堂小结 回顾新知
(1)“传播问题”的两种模型:
①传染源参与两轮传染;
②传染源只参与第一轮传染.
(2)总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤:审、设、找、列、解、答,最后要检验根是否符合实际意义.
五、检测反馈 落实新知
1.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病,一轮传染为一天时间,红发养鸡场于某日发现一例,两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同,则每只病鸡传染健康鸡的只数为( C )
A.10只 B.11只 C.12只 D.13只
2.某种植物的主干长出a个支干,每个支干又长出同样数目的小分支,则主干、支干和小分支的总数为1+a+a2.
3.要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据时间和场地等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( B )
A.x(x+1)=28
B.x(x-1)=28
C.x(x+1)=28
D.x(x-1)=28
4.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解:设应邀请x个球队参加比赛,根据题意,得
x(x-1)=28.
解得x1=8,x2=-7(不合题意,舍去)
答:应邀请8个球队参加比赛.
六、课后作业 巩固新知课题:几何图形与一元二次方程
【学习目标】
会列一元二次方程解决与面积、镶嵌、动点、区域规划等有关的几何类应用题,并从中体会几何图形的性质在寻找等量关系中所起的作用.
【学习重点】
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
【学习难点】
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
一、情景导入 感受新知
如图,要设计一本书的封面,封面长27
cm,宽21
cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?
二、自学互研 生成新知
阅读教材P20~P21探究3,完成下列问题:
①根据题目的已知条件,得出上下边衬与左右边衬的宽度之比是27∶21=9∶7,你知道是怎样得出来的吗?请你推一推.
解:设中央的矩形的长和宽分别是9a
cm和7a
cm.由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是(27-9a)∶(21-7a)=9(3-a)∶7(3-a)=9∶7.
②书上设上、下边衬的宽均为9x
cm,而不是设为x
cm,这样做有什么好处?
列出的方程为整数式,方便计算.
③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式,然后再用公式法求解,你有更简便解法吗?
解:原方程可化为9(3-2x)·7(3-2x)=×27×21,∴(3-2x)2=,∴x=.
④方程的哪个根符合实际意义?为什么?
解:x=符合实际意义,因为取x=,上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度,不符合实际.
⑤如果设中央矩形的长为9x,根据课本上的等量关系,请你列方程求解.
解:设中央矩形的长为9x
cm,则宽为7x
cm.
列方程得9x·7x=×27×21,即x2=,
解得x1=,x2=-(舍去).
∴上下边衬的宽为=≈1.8(cm).
左右边衬的宽为=≈1.4(cm).
师生活动:
①明了学情:教师深入课堂了解学生的自学进度,观察学生是否能独立推出上、下边衬与左、右边衬的宽度比为9∶7.
②差异指导:根据学情进行个别指导或分类指导.
③生生互助:生生互动,交流研讨.
三、典例剖析 运用新知
依据探究中的解题方法,完成下列问题.
范例:如图,某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭,观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路,已知道路的宽为正方形边长的,若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的,求道路的宽.
解:设道路的宽为x米,则正方形边长为4x米.
可列方程为:
x(12-4x)+x(20-4x)+16x2=×20×12.
即:x2+4x-5=0.
解得x1=1,x2=-5(舍去).
答:道路的宽为1米.
变例:一块长和宽分别为40
cm,28
cm的矩形铁皮,在它的四角截去四个全等的小正方形,折成一个无盖的长方体盒子,使它的底面积为364
cm2.求截去的小正方形的边长.
解:设截去的小正方形的边长为x
cm,则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm,(28-2x)cm,根据题意,得
(40-2x)(28-2x)=364.
整理,得x2-34x+189=0.
解得x1=27,x2=7.
如果截去的小正方形的边长为27
cm,那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54
cm,这超过了矩形铁皮的长40
cm.因此x1=27不合题意,应当舍去.
答:截去的小正方形的边长为7
cm.
师生活动:
①明了学情:观察了解学生解决问题时有何困难.
②差异指导:根据学情适时点拨.
③生生互助:小组内交流、讨论,形成共识.
四、课堂小结 回顾新知
“面积、体积问题”常用公式:
(1)直角三角形的面积公式,一般三角形的面积公式;
(2)正方形的面积公式,长方形的面积公式;
(3)梯形的面积公式;
(4)菱形的面积公式;
(5)平行四边形的面积公式;
(6)圆的面积公式.
五、检测反馈 落实新知
1.如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.设道路宽为x米,根据题意可列出的方程为(22-x)(17-x)=300.
2.一块矩形菜地的面积是120
m2,如果它的长减少2
m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是12m.
3.一个直角三角形的两条直角边相差5
cm,面积是7
cm2,这两条直角边长分别为2_cm、7_cm.
六、课后作业 巩固新知课题:平均变化率与一元二次方程
【学习目标】
1.通过平均变化率问题,学会将实际应用问题转化为数学问题.
2.根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.
【学习重点】
建立一元二次方程解决平均增长率问题.
【学习难点】
探究增长率问题中的等量关系.
一、情景导入 感受新知
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元,生产1t乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1t甲种药品的成本是3000元,生产1t乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?
本节课我们学习增长率问题.(板书课题)
二、自学互研 生成新知
阅读教材P19~P20探究2,完成下列问题:
①下降率是什么意思?它与原成本、终成本之间有何数量关系?
下降率是下降额与原成本的比值;下降率=×100%.
②如果甲种药品成本平均每年的下降率为x,则下降一次后的成本变为5000(1-x),再次下降后的成本变为5000(1-x)2.(用代数式表示)
③设甲种药品成本平均每年的下降率为x,由等量关系终成本=原成本×(1-下降率)2,可得方程5000(1-x)2=3000,解这个方程,得到方程的两根,根据问题的实际意义,应选择哪个根呢?为什么?
应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义,成本的年平均下降率应是小于1的正数.
④设乙种药品成本平均每年的下降率为y,则由等量关系终成本=原成本×(1-下降率)2,可得方程6000(1-y)2=3600.
⑤成本下降额较大的药品,它的成本下降率也一定较大吗?
成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定大.
⑥解决下面的问题,它与探究2有什么不同?
某经济开发区去年总产值100亿元,计划两年后总产值达到121亿元,求平均年增长率.
解:设总产值的年平均增长率为x.
依题意100(1+x)2=121,
解得:x1=0.1,x2=-2.1(舍去),
∴年平均增长率为10%.
与探究2相比,一个是计算增长率,一个是计算下降率.
归纳:解决增长率与降低率问题的公式:a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.
师生活动:
①明了学情:观察学生能否顺利地把平均变化率问题转化为数学问题,并建立增长率模型列方程求解.
②差异指导:从寻找等量关系、列方程到解方程并解答等方面对学困生进行指导.
③生生互助:小组内互相交流、研讨,并相互改正.
三、典例剖析 运用新知
范例:某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
解:设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x,根据题意,得
400×(1+10%)(1+x)2=633.6
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
答:3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.
仿例:某工厂2015年年初投资100万元生产某种新产品,2015年年底将获得的利润与年初的投资之和作为2016年年初的投资,到2016年年底,两年共获利润56万元,已知2016年的年利润率比2015年的年利润率多10个百分点,求2016年的年利润率是多少?
解:设2015年的年利润率为x,根据题意得,100x+(100x+100)(x+10%)=56,解得x1=0.2=20%,x2=-2.3(不合题意,舍去),∴2016年年利润率20%+10%=30%.
师生活动:
①明了学情:观察了解学生对解决平均增长(降低)率问题掌握情况.
②差异指导:根据观察适时个别或分类点拨.
③生生互助:小组间合作、交流,形成共识.
四、课堂小结 回顾新知
①平均增长(或降低)率问题公式:a(1±x)n=b.
②连续两次下降,求下降率的数学模型,以及连续两次增长,求增长率的数学模型.
五、检测反馈 落实新知
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程为( B )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.受全球金融危机的影响,2008年某家电商场的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元,则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为( A )
A.10% B.20% C.19% D.25%
3.某种药品原售价为125元/盒,连续两次降价后售价为80元/盒.假设每次降价的百分率相同,求这种药品每次降价的百分率.
解:设这种药品每次降价的百分率为x.
由题意125(1-x)2=80.
解得:x1=0.2,x2=1.8(舍去).
答:这种药品每次降价的百分率为20%.
六、课后作业 巩固新知