课题：图形面积的最大值
【学习目标】
1．让学生用函数知识解决最值问题(本节主要是面积问题).
2．让学生能根据实际问题构建二次函数模型．
【学习重点】
掌握用二次函数求最值来解决实际应用问题．
【学习难点】
将实际问题转化为数学问题是本节的难点．
一、情景导入 感受新知
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
本节课我们学习利用二次函数解决几何问题．
二、自学互研 生成新知
阅读教材P49～P50“探究1”，解决下面的问题：
1．①求h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象的顶点坐标．
h＝－5(t－3)2＋45，其顶点为(3，45).
②由a＝－5可得，图象的开口向下．
③结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图．
④根据图象可得，当t＝3时，h有最大值45．
2．①已知矩形场地的周长是60
m，一边长是l
m，则另一边长是(30－l)m，场地面积S＝l(30－l)m2.
②由一边长l及另一边长30－l都是正数，可列不等式组：解不等式组得l的范围是0＜l＜30．
③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口向下，对称轴是直线l＝15，顶点坐标是(15，225)，与横坐标的交点坐标是(0，0)，(30，0)，与纵轴的交点坐标是(0，0)．
④根据l的取值范围及③画出函数图象的草图，由图象知：点(15，225)是图象的最高点，即当l＝15时，S有最大(选填“大”或“小”)值．
师生活动：
①明了学情：明了学生是否会求实际问题中的最值．
②差异指导：根据学情分类指导．
③生生互助：同桌间相互交流、改正．
三、典例剖析 运用新知
典例：如图，用长20
m的篱笆，一面靠墙(墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？
解：设与墙垂直的一边为x
m，园子面积为S
m2，由题意得
S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50(0∵a<0，∴当x＝5(在0m2.
变式1：如图是一块长80
m、宽60
m的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直、宽为x
m的小路，这时草坪面积为y
m2.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
解：由题意可得y＝(80－x)(60－x)＝x2－140x＋4800，且∴0≤x≤60.
变式2：如图，有长为30
m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10
m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB为x
m，面积为y
m2.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值．
解：(1)由题意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x2＋30x.
(2)由题意：0<30－3x≤10，即≤x<10.对称轴为x＝＝－＝5，又当x>5时，y随x的增大而减小，
∴当x＝m时面积最大，最大面积为m2.
师生活动：
①明了学情：实际问题中二次函数图象草图的画法．
②差异指导：根据学情指导学生画图象草图和识图．
③生生互助：小组内相互交流、研讨．
四、课堂小结 回顾新知
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
第一，根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；
第二，确定自变量的取值范围；
第三，根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
第四，根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值．
五、检测反馈 落实新知
1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8
cm，BC＝6
cm，点P从点A开始沿AB向B点以2
cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1
cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为2
s．
2．将一根长为20
cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是
cm2.
3．用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示)，墙长为18
m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形的长为x
m，面积为y
m2，则矩形的宽为m.
∵y＝x＝－x2＋15x.又∴0＜x≤18.∴当x＝15时，y有最大值.即当矩形的长为15
m、宽为
m时，菜园的面积最大，为
m2.
六、课后作业 巩固新知课题：商品利润最大的问题
【学习目标】
1．能够用二次函数知识解决销售问题中的最大利润问题．
2．能够根据实际问题构建二次函数模型．
【学习重点】
用二次函数知识解决商品最大利润问题．
【学习难点】
建立二次函数模型．
一、情景导入 感受新知
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
引入：正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛，让我们一起进入今天的学习吧．
二、自学互研 生成新知
阅读教材P50“探究2”，解决下面的内容：
①调价包括涨价和降价两种情况．
②若涨价，如果设商品的单价涨了x元，总利润为y元，则此时的售价为(60＋x)元，每一件的利润为(20＋x)元，实际卖出(300－10x)件，总利润y＝(20＋x)(300－10x)．化简后为：y＝－10x2＋100x＋6000；自变量的取值范围0≤x≤30．顶点坐标为(5，6250)，所以商品的单价上涨5元时，利润最大为6250元．即定价65元时，利润最大，最大利润为6250元．
③若降价，设商品的单价下降x元，总利润为y元，此时的售价为60－x元，每一件的利润为20－x元，实际卖出300＋20x件，总利润y＝(20－x)(300＋20x)．化简后为：y＝－20x2＋100x＋6000；自变量的取值范围0≤x≤20．顶点坐标为(2.5，6125)，所以商品的单价下降2.5元时，利润最大为6125元．即定价57.5元时，利润最大，最大利润为6125元．
④由②、③的讨论可知，当商品定价65元时，利润最大为6250元．
师生活动：
①明了学情：看学生能否顺利完成第②题和第③题．
②差异指导：根据学情进行指导．
③生生互助：小组合作，交流研讨，纠正错误．
三、典例剖析 运用新知
典例：某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图所示．
(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
解：(1)y＝ax2＋bx－75图象过点(5，0)，(7，16).
∴解得
y＝－x2＋20x－75的顶点坐标是(10，25).
当x＝10时，y最大＝25.
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．
(2)∵函数y＝－x2＋20x－75图象的对称轴为直线x＝10，
可知点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16).
又∵函数y＝－x2＋20x－75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16.
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
师生活动：
①明了学情：巡视全班，了解学生解题情况．
②差异指导：根据学情适时进行个别或分类点拨．
③生生互助：小组合作、交流、讨论完成解答．
四、课堂小结 回顾新知
利用二次函数解决利润问题的一般步骤：
(1)审清题意，理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系；
(3)列出函数关系式；
(4)求解数学问题；
(5)求解实际问题．
五、检测反馈 落实新知
1．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( A )
A.5元 B．10元 C．0元 D．6元
2．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为25元．
3．某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元，由题意得：y＝(20－x)(40＋10x)＝－10x2＋160x＋800＝－10(x－8)2＋1440(0≤x＜20).
当x＝8时，y有最大值1440.
即当每件降价8元时，每天的盈利最多．
六、课后作业 巩固新知课题：拱桥问题
【学习目标】
1．学生能够利用二次函数知识解决拱桥问题．
2．让学生根据实际问题构建二次函数模型．
【学习重点】
建立坐标系解决拱桥问题．
【学习难点】
灵活建立直角坐标系将拱桥问题转化为二次函数问题是本节的难点．
一、情景导入 感受新知
问题1：现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(问题1图))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(问题2图))
问题2：如图中的抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2
m，水面宽4
m，水面下降1
m，水面宽度增加多少？(板书课题)
二、自学互研 生成新知
阅读教材P51“探究3”，解决下面的内容：
①图中的抛物线表示拱桥，以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系．
②设y＝ax2(a≠0)，根据已知条件图象经过点(2，－2)，用待定系数法就可以求出a，确定解析式．
③水面下降1
m后，y＝ax2中的y＝－3，求出对应的x值为x1＝，x2＝－，故此时的水面宽度为2m.
④水面宽度增加多少？
水面宽度增加(2－4)m
你能提供尽可能多的方法吗？
解法2：建立如图所示的直角坐标系．
设这条抛物线表示的二次函数为y＝a(x－2)2＋2.
由抛物线经过点(0，0)，可得a＝－.
∴这条抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋2.
当水面下降1
m时，水面的纵坐标y＝－1.
当y＝－1时，可得x＝2±.
∴水面下降1m，水面的宽度为2
m．
∴水面的宽度增加了(2－4)m.
师生活动：
①明了学情：关注学生解答情况，让他们体会坐标系建立方式的不同和具体区别．
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导．
③生生互助：小组内相互交流、研讨．
三、典例剖析 运用新知
典例：如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.
图1 图2
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6.
依题意，得B(10，0).∴a×102＋6＝0.
解得a＝－0.06.即y＝－0.06x2＋6.
当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5.
∴DF＝5，EF＝10.即水面宽度为10米．
变式：某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋150t＋10表示．经过15s，火箭达到它的最高点．
师生活动：
①明了学情：关注学生解题情况，了解学生困惑．
②差异指导：根据学情进行适时点拨．
③生生互助：小组合作、交流讨论、互相释疑．
四、课堂小结 回顾新知
利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：
(1)建立适当的直角坐标系；
(2)写出抛物线上的关键点的坐标；
(3)运用待定系数法求出函数关系式；
(4)求解数学问题；
(5)求解抛物线形实际问题．
五、检测反馈 落实新知
1．某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)( B )
A.9.2
m B．9.1
m C．9
m D．5.1
m
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))
2．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是y＝－3.75x2．
六、课后作业 巩固新知
