教学内容：义务教育教科书五年级上册第六单元数学百花园——《密铺》
教学目标：
1.通过观察生活中常见的密铺现象，在动手实践的基础上，理解密铺的含义，知道什么是平面图形的密铺；通过观察、分析、猜测、拼、摆、画，验证和交流探索密铺的特点，认识一些可以密铺的平面图形。
2.在探究平面图形密铺的过程中提升学生观察、猜测、验证、推理和交流的能力，发展学生的合情推理能力，进一步发展学生的空间观念以及合理推理能力；能运用几种图形进行简单的密铺设计。
3.通过欣赏生活中和艺术作品中的密铺图案，提升学生鉴赏美的能力，通过学生自主创造，设计密铺图案，培养学生的创造数学美的能力。
教学重点：掌握密铺的特点，知道哪些图形可以密铺；
教学难点：理解密铺的特点，能进行简单的密铺设计。
教学用具：PPT课件、多边形
教学过程：
课前精彩三分钟
（出示三角形）同学们我们知道三角形内角度数之和是180度。
（出示四边形）今天我为大家带来了长方形、正方形、梯形、平行四边形、任意四边形，这些图形都是由四条线段围成的图形，所以称作四边形
这些四边形内角度数之和是多少度呢，我们可以把每个四边形分成两个三角形，所以，四边形的内角度数之和就是180×2=360度
（出示五边形）这是由五条线段围成的图形，叫做五边形。五边形内角和是多少度呢，我把五边形分成三个三角形（演示），五边形内角和是180×3=540度。
4.不知同学们发现没有，我把多边形分成三角形的个数总比多边形的边数少2。四边形可以分成2个三角形，五边形分成（5-2=3）个三角形
（出示六边形、八边形）六边形可以分成（6-2=4）个三角形，因此，六边形的内角和是180×4=720度。八边形可以分成（8-2=6）个三角形，八边形内角和是180×6=1080度
生：其实算多边形内角度数之和是有规律的，多边形的内角和=（边数-2）×180
回应前参，引出新课
1．回应前参
老师真为你们高兴，你们能独立观察、思考、发现多边形内角和与它的边数的关系，真了不起，祝贺你！
2.谈话引入，揭示课题。
孩子们，最近老师家也有一件高兴的事想和同学们分享——老师搬新家了，新家小区的地砖和老师家里的地砖都铺设的特别精美，咱们一起去看看。（出示地砖、墙砖图片）
问：请你从数学角度说说这地砖铺得怎么样？
生：我觉得地砖是一块接一块地、紧挨着铺；
生：我觉得这些地砖之间不留任何空隙；
生:我觉得这些地砖也没有重叠；
3.建立“密铺”的概念。
像这样，用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这叫做平面图形的密铺（板书：密铺），又称做平面图形的镶嵌。
自己读一读，说说什么是密铺？
自主探究，生动展示
单一平面图形的密铺
（一）呈现问题，大胆猜测
（1）师：其实，无论多么精美的设计或者多么复杂的图案都是由一些简单的图形构成的。咱们先看看这些简单的图形，你们认识吗？（出示：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆）
（2）结合生活实际请你猜一猜，这些图形中哪些图形能够密铺？
（二）动手操作，验证猜测
1.四边形的密铺
（1）结合生活实际验证正方形、长方形的密铺
生1：我觉得正方形可以密铺，咱们家里、宾馆、饭店等公共场所的地面多是用正方形的瓷砖铺成的。
生2：我觉得长方形也可以密铺，比方说咱们家里的阳台、卫生间、厨房的墙砖大多都是长方形的砖铺成的。
师：没错，长方形和正方形的密铺生活中随处可见，咱们一起看看用正方形密铺（师课件演示）这是长方形的密铺（课件演示）
师小结：正方形和长方形确实可以密铺，那么平行四边形和梯形能不能密铺呢？请你们动手拼一拼、摆一摆，也可以画一画。
（2）动手操作验证平行四边形、梯形的密铺
汇报：谁想说说你拼、摆、画的是哪种图形，这个图形能密铺吗？
生1：我拼摆的是平行四边形，（投影展示）通过拼摆，我发现平行四边形可以密铺。
生2：我拼摆的是直角梯形，（投影展示）我是把两个直角梯形拼成一个长方形，长方形可以密铺，直角梯形也可以密铺；
生3：同时，我还可以推断任意的梯形也可以密铺，因为任意两个完全一样梯形都可以拼成一个平行四边形，平行四边形是可以密铺的，梯形也可以密铺。
师：这个同学推理的真好，咱们一起看看（课件演示）
师小结：
刚才大家通过拼、摆、画验证了正方形、长方形、平行四边形、梯形都可以密铺，其实这四个图形都有一个共同的特点你们发现了吗？
生：这四个图形都是四边形
师：对！它们都是由四条线段围成的图形，他们都叫四边形，那是不是所有的四边形都可以密铺呢？咱们先从最简单的，最基本的开始研究。
（3）探究四边形的密铺
课件演示：
正方形为什么可以密铺？
正方形的拼接点是由4个直角组成的，每个直角是90度，90×4=360（度）
问：谁能说说正方形为什么可以密铺？由此你还想到了什么？（分析平行四边形、梯形的密铺）
是不是所有的四边形都可以密铺呢？（出示任意四边形）请你们猜一猜这个四边形能密铺吗？
生：我觉得这个四边形不能密铺。
生：我觉得任意四边形也是可以密铺的。因为四边形内角度数之和是360度，所以，它的拼接点的四个角度的度数之和也是360度。所以，只要是四边形都可以密铺。
③咱们看看任意四边形的到底为什么可以密铺？（课件演示）
师小结：四边形都可以密铺，三角形能不能密铺呢？谁想猜一猜。
2.三角形的密铺
谁想到这里拼一拼、摆一摆，验证一下同学们的猜测。
生1：我用两个安全一样的钝角三角形可以拼摆城一个平行四边形，平行四边形可以密铺，所以我觉得钝角三角形也能密铺
生2：我用两个安全一样的直角三角形可以拼摆城一个长方形，长方形可以密铺，所以我觉得直角三角形也能密铺
生3：我用两个安全一样的锐角三角形可以拼摆城一个平行四边形，平行四边形可以密铺，所以我觉得锐角三角形也能密铺
师：看来只要是三角形都可以密铺？这是为什么呢？（生分析，师课件演示）
3.圆的密铺
师：这是一个圆，请你们猜猜圆能密铺吗？
生：圆不能密铺，因为几个圆铺在一起，中间会出现一个菱形似的。
师：咱们一起来看看（课件展示）。看来圆是不能密铺的。
师小结：
通过研究我们发现能进行密铺的图形在每个拼接点处有什么特点?
生：能密铺的图形每个拼接点处各多边形的角和都能组合成360度。
（三）动手操作，创造想象。
1.问：（出示正六边形、正八边形）问：还认识这是什么图形吗？
师：正六边形、正八边形能不能密铺呢？请你们自己拼一拼、摆一摆，有困难的可以和同学们合作完成。
汇报：哪位同学想说一说你选择的是什么图形，能密铺吗？
生1：我选择的是正六边形，是可以密铺的。（投影展示）
生2：我选择的是正八边形，不可以密铺（投影展示）
师：为什么正六边形可以密铺，正八边形不可以密铺呢？（生分析，师课件演示）
生：正六边形内角度数之和是720度，每个内角是120度，每个拼接点正好是3个120度的角，是360度，所以正六边形可以密铺。
生：正八边形内角度数之和是1080度，每个内角是135度，每个拼接点处角的度数之和不是360度，所以，不可以密铺。
2.请同学们猜一猜，正五边形可以密铺吗？为什么？
（课件展示）正五边形的密铺情况。
四、欣赏美、创造美
多个平面图形组合一起密铺
师：单个的正五边形、正八边形、圆，不能密铺，但他们若与其他图形组合起来可以密铺出很多优美的图案呢。
出示正五边形
师：单个的正五边形并不能密铺，但我们要给它添上一个菱形，不仅可以密铺了，还使图案更美了。（课件演示）
2.出示正方形与三角形组合、正六边形和三角形、正六边形、正方形和正三角形组合，正八边形和正方形组合在一起密铺
（1）出示圆与曲线图形组合在一起密铺
（2）欣赏组合图形的密铺效果图案。
（3）欣赏建筑上的密铺。
（4）介绍艺术数学家埃舍尔，欣赏他的镶嵌艺术作品
3.
“密铺”创作
（1）出示圆、长方形、正八边形、正方形、星设计创造“密铺”图案。
（2）可以自己选择喜欢的图形进行“密铺”
要求：创作时，可以拼、摆、也可以动手画。
（投影展示，师生共同评价学生作品）
总结全课，拓展延伸：
这节课你有什么新的收获？
关于“密铺”你还想研究什么问题吗？
布置作业：
99页在方格纸上设计密铺图案。
猜想验证，让学生在自主创作中发展
——自评义务教育教科书五年级上册《密铺》一课
北京市密云区第三小学
温淑文
教学中，我按照“观察思考——猜想验证——美的欣赏——自主创作”的主线，把课堂的主动权还给学生，始终体现学生的主体地位。为学生营造一个开放而富有活力的学习氛围，注重给学生提供展示的机会，让学生体验到成功的喜悦。
1.联系生活实际，激发学生兴趣，建立密铺概念。
课上，我让学生观察小区院子的地砖和家里的地砖，从数学角度分析地砖铺得怎么样？学生很容易发现这些地砖是一块挨一块的、铺得很紧密、没有空隙，没有重叠，从而揭示密铺的概念。学生初步理解了密铺的概念后，老师先让学生猜想哪些平面图形可以密铺？然后让学生动手拼一拼、摆一摆、画一画加以验证。使他们初步感知密铺与图形特征之间的关系，探索“密铺”中蕴含的有趣的数学规律；这对培养学生观察、分析、猜测、验证和交流能力，建立空间观念有着重要的意义。
2.让学生在动手实践中，发现密铺的规律，并创作出密铺图案。
学生通过动手验证知道哪些图形可以单独密铺，进一步思考、探究不能单独密铺的图形可以通过两种或两种以上的图形组合来进行密铺。然后展开想象创造出美丽的密铺图案，整堂都围绕一个“密铺”主题层层深入。学生经历了猜想——验证——发现——创作的自主探究的学习过程。当展示学生密铺创作时，让学生在评价中体验到了探究、创作、成功的快乐。。
此外，我让学生欣赏艺术家埃舍尔的“密铺”图案作品，引发学生强烈的求知欲，让学生感受到数学中蕴含的美，激发学生创造美的欲望；从而鼓励学生设计出优美的密铺图案。
充分运用现代信息技术手段，变抽象为形象易于学生理解和掌握。
（1）学生充分运用现代信息技术手段进行课前精彩展示。
由三角形的内角度数之和推算出每一个多边形的内角度数之和，进而发现多边形内角度数之和与边数的关系这一重要的规律，为新课的学习做了铺垫；
（2）教师充分运用现代信息技术手段验证了学生对平面图形密铺的猜想。
当学生结合生活经验发现正方形、长方形都可以密铺，而通过拼摆又发现平行四边形、梯形可以密铺时，呈现在学生眼前的问题是：是不是所有的四边形都可以密铺，这时，老师的现代信息技术手段的恰到好处运用，恰恰证实了学生的猜想，同样，老师运用现代信息技术手段也验证所有的三角形、正六边形可以密铺，而同时也验证了学生猜想圆是不可以密铺的。
（3）充分运用现代信息技术手段展示各种各样的密铺，激起学生的创作欲望，学生动手操作创作出多种多样的密铺作品。学
科
小学数学
版本册数
北京课标版五年级上册
课目名称
《密铺》
第
1
课时
教学目标
1．知识与技能：通过观察生活中常见的密铺现象，使学生初步理解图形的密铺；通过拼摆各种图形，探索并了解能够进行密铺的平面图形的特点。
2．过程与方法：在探究多边形密铺条件的过程中学生经历观察、猜测、推理、验证和交流等过程。进一步发展学生的动手实践能力、合情推理能力。
3．情感态度价值观：使学生在欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案的过
程中，体会图形的转换，感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，体验学习数学的价值。同时，进一步发展学生的团结合作意识，享受由合作获得成功的喜悦。
学情分析
这是一节根据有关平面图形特点进行观察、操作、思考和简单设计的实践活动。密铺的教学主要是将几何平面图形的知识与实际生活相结合的活动课程，其目的是在进一步体验常见的平面图形的形状、结构特点，加强对图形的认识，初步认识密铺，感受密铺的特征。同时也是帮助学生在活动中进一步感受研究数学现象、数学问题的一般数学方法、积累一定数学基本活动经验。同时通过欣赏和设计简单的密铺图案，进一步感受图形密铺的奇妙，获得美的体验。并能够对自己在活动中的表现进行自我评价和反思。
因此，密铺的教学是在建立在学生对平面图形的认识基础上。本课教学之前，学生刚刚学行四边形、三角形、梯形、组合图形等知识，积累了一定的动手实践的经验，已经具有了探究“同一顶点各角度之和为360°的图形能够密铺”的知识基础。
（1）知识水平：学生已经学习了图形的平移、旋转及多边形的内角和等知识；具有了相关的知识经验；
（2）能力和方法水平：学生已经具备一定的推理能力，能初步运用“猜想——验证——推理”的数学思想方法来探究问题；
（3）心理水平：该阶段的学生虽然已经具备一定的知识经验，但是还是有较强的好奇心，也有较强的表现欲；
（4）思维水平：学生的思维以直接经验为主，间接经验相对较少。在学习过简单平面图形的基础上，学生已经对平面图形有了初步的印象，并能准确的认识各种简单平面图形。对于密铺，学生已经有了较为直观的生活体验，只是还未形成系统的理论知识。
在此基础上进行密铺理论知识的学习和活动设计，符合学生认知发展规律，是对学生生活经验的提炼和再加工，从而形成较为系统的初步抽象的理论知识。在这个知识系统的帮助下，可以进一步让学生认识到数学的美，激发对数学学习的兴趣，是对学生进行的一次头脑风暴，对于培养学生的数学应用意识有很大的帮助。基于以上认识，本课的设计重点放在让学生动手操作、探究，从而获得丰富的知识经验和积极的情感体验。学习过程中充分发挥小组长作用，小组内进行充分的交流讨论，通过经历与组内同伴动手拼图以及设计密铺图形等活动过程，知道三角形、四边形、正六边形可以密铺，并知道有些图形是不能密铺的。在整个活动中，教师参与到组内讨论，并指导。最后在学生活动和交流的基础上，教师组织学生进行评价、自我评价和反思，内化知识经验与知识体系。
重点难点
教学重点；知道什么是密铺，了解有一些图形（如三角形，四边形和正六边形）是可以密铺的。
教学难点：初步感受密铺的原理。
教学过程
信息技术和数字资源的
使用方式和意图
一、课前谈话
师：我们学习了五年级数学，数学给你什么感受？
数学好玩吗？好玩在哪里？
指出：是的数学大师陈省身爷爷也有何同学们的相同的想法，
“数学好玩”也是送给我们少年儿童的寄语。
小结：今天这节课我们一起来感受快乐、好玩的数学。
二、引入课题，揭示密铺定义
1、师：今天这节数学课老师就和大家一起来玩图形，你们觉得图形可以怎么玩？
老师要和大家玩的就是图形的——密铺（板：密铺）
问：听说过密铺吗？就字面意思理解，你觉得密铺是怎么铺？
2、师：老师最近正在设计专用教室地砖的铺法。有两种地砖可以选择，分别是什么形状？（正六边形、正八边形）
（1）引导：结合刚才你们对密铺的理解，请你们四人一小组在小黑板上铺一铺，看看哪种形状的地砖更合适？从篮子中拿出正六边形和正八边形铺一铺。
学生小组活动。
（2）学生交流：谁来交流你铺一铺后的发现。
比较这两片铺法，它们有什么不同？
追问：哪种形状的地砖更适合铺地？为什么？
问：怎么铺是密铺？（板：没有空隙）
（3）.师：为了使正八边形没有空隙，对第一种铺法进行改良。（教师摆八边形）
问：这样铺行吗？为什么说不合适？怎么会容易摔跤的？
可能答案：这样重叠铺地砖，导致行走的时候不平整、容易摔跤、费材料
引导：所以密铺能像这样重叠铺吗？板：不重叠
3.
师：你觉得怎样铺是密铺？（没有空隙，不重叠）
揭示定义：数学上像这样图形之间没有空隙，也不重叠，铺在一个平面上的铺法有个专用名称，叫做密铺。?（板：密铺）
三、明确密铺，引入课题
1.师：谁再说说密铺就是怎么铺？所以密铺中哪个字更重要呢？密表示？——没有空隙、不重叠
2.强化密铺概念
（1）师：想像一下，正六边形如果继续往下铺是密铺吗？为什么？如果屏幕足够大，正六边形继续在这个平面上铺下去还是密铺吗？
问：现在你对密铺又有什么新的想法？
小结：是的，只有像这样在一个平面上朝任何方向都能不重叠、没有空隙的铺下去才是数学真正意义上的密铺。
3．鼓励质疑，明确探究目标：
引导：通过玩铺地砖，我们在玩中认识了密铺。还知道哪个图形能够密铺？正八边形呢？
板书：能密铺：正六边形
不能密铺：正八边形
（1）师：如果我们继续往下玩图形的密铺，在玩中你们最想研究什么问题呢？
适当引导：你想研究哪些平面图形的密铺？
（出示核心问题：哪些图形可以密铺？密铺的条件是什么？）
（2）小结：研究数学知识不仅要知其然，更要知其所以然！这两个问题提得非常有价值。
接下来就我们围绕这两个问题一起来玩图形的密铺！（板：图形的密铺）
四、思考与操作，探究密铺原理
1.动手操作、感受密铺
引导：想像一下，你觉得我们学过的平面图形中哪些图形能单独密铺呢？
师：这仅仅是我们的猜想（板：猜想），到底这些图形能不能密铺呢！老师已经大家准备了这些图形，想让大家验证自己的想法(板：验证)，我们一起先来看活动要求。（学生自学）
提出活动要求：①四人一小组合作，每组至少选择3种图形进行验证。
②用相同的图形铺一铺，哪些图形能够单独密铺？
③边观察边思考，这些图形能够密铺的原因可能是什么？
问：用相同的图形铺一铺，摆一摆是什么意思？
提醒：看看哪一小组验证速度最快，能验证出3种图形甚至更多种的图形能否单独密铺。
学生独立操作，并在小组里交流结果，教师巡视结果。（教师贴图形）
（1）交流验证结果
引导：哪个小组来介绍下你们验证的结果。
①通过验证发现……可以密铺，正五边形不能密铺。同样验证某某图形能密铺的请举手。
追问：这些图形都是密铺吗？你们怎么都认为是密铺？无限往外铺出去呢？
②让我们再次屡一下。通过刚才的验证，我们发现哪些平面图形可以密铺？不能单独密铺？
（教师相机板贴相关图形。）
2.
密铺原理初探
（1）引发问题：数学上我们不仅要知道结论，而且要知其所以然。为什么这些平面图形都能密铺，而正五边形和正八边形就不能密铺呢？图形的能够密铺的原因到底是什么？我们继续往下研究。
师：请同学们仔细观察，如果不操作，哪个图形更容易想像出是能够密铺的？学生说明理由。
引导：长方形、正方形是特殊的四边形，还有其他的四边形能密铺吗？
小结:让我们先从这几个特殊和一般的四边形开始研究起。
课件出示：平行四边形、长方形、正方形、梯形、四边形
（2）师：为什么这些四边形都能够密铺，原因可能是和什么有关呢？小组进行讨论，可以结合你们组铺的一种四边形或者几种四边形观察思考，也可以结合自己的发现再铺一铺，找找这些四边形能够密铺的原因是什么？
小组讨论活动。
交流汇报：和角有关，和边有关、和一个点上的角有关……
预设：
①平行四边形：同学已经关注到了这个点上这些角，我们不妨可以把（平行四边形）四个内角分别标上角1-4，再仔细平行四边形的密铺中一个点上的角，你有什么发现？
指出：平行四边形内角和是360度，四个不同的内角在一个点上正好可以拼成360度。
②其他特殊四边形：长方形、正方形、梯形它们的四个不同内角和是360度，在一个点上正好能够拼成360度。重点分析梯形（梯形角标上序号并平移）
③长方形、正方形是特殊的平行四边形、两个完全相同的梯形能够拼成平行四边形，从而能够密铺；
④问：你认为一般四边形能密铺的原因是什么？
课件演示：四边形内角和是360度，为了更好的区分这四个角四边形标示角1—4。一个四边形边上拼四边形可以在角1边上分别放角2、角3、角4这是就是360度，那这里放个四边形应该用角几对应这里的顶点呢？继续往下铺，密铺中的每个点上都是怎样的？
追问：想像一下，如果继续密铺下去，其他的每个点会是什么情况？课件演示。
（3）问：到这里你们有没有什么结论了？为什么？
4.类推正六边形密铺原理
（1）引导（课件演示）：我们知道正六边形一个角是120度。你能根据刚才四边形的研究，说说正六边形能密铺的原因是什么呢？
追问：一个点上有几个内角拼成的？继续玩下密铺，其他的点情况呢？
问：比较四边形密铺的原理，你有没有想说的？
指出：不管是3个内角拼还是4个内角拼，只要能在一个点上拼成360度，图形就能密铺。
5.
探究一般三角形的密铺，进一步感受密铺的条件。
（1）引出问题：一般三角形能够密铺的原因是不是也是这样呢？
（2）
师：小组讨论一般三角形的密铺的原因是什么？你可以结合已经铺好的三角形在小组中说一说你的推理，没有铺过的小组也可以拿出一般三角形铺一铺来验证自己的推理。
（3）集体交流，适时归纳：
预设1：我们可以用转化的方法，把……
预设2：三角形的内角和是180度，6个不同的内角能够在一个点上拼成360度。
追问：也有这样发现的小组举手，你们密铺的三角形相同吗？展示给大家看下！
（4）问：直角三角形能密铺吗？其他任意三角形呢？为什么？
小结：刚才有的同学把三角形转化成平行四边形、有的同学推理出任意三角形6个内角能够在一个点上拼成360度，这两种方法都说明了任意的三角形可以单独密铺。
6.现在你能说说图形密铺的原因是什么？
小结：瞧，在玩的过程中不仅知道了哪些图形能够密铺，还知道了密铺的原因图形内角能在一个点上拼成360度，这就是图形密铺的条件。
7.反向推理验证密铺的原理
（1）正五边形：正五边形每个角是108度，现在你能告诉我正五边形为什么不能密铺吗？
（2）正八边形：正八边形每个角是135度它为什么不能密铺吗？
（3）勾连一般图形，突破特例
师：刚才我们发现长方形、正方形、梯形、平行四边形都能密铺，同时发现一般四边形都能密铺。现在我们发现正五边形不能实现密铺这个结论，通过这个结论你也有什么想说的？
预设：学生表述不到位，引导：老师有点不相信，虽让没有办法验证，但是通过多方查找有关资料发现科学家也在研究这个成果，我们一起看下研究成果。这就是近期科学家的发现，静静的看一下，这个五边形能密铺的原因是什么？（课件显示五边形密铺资料）
瞧这是全球15种能单独密铺的五边形，现在你有什么想法的？
指出：对于数学研究，只要敢想、朝着这个方向努力，你一定会有新的发现
五、拓展升华
1.师：其实我们今天研究的密铺仅仅是同一个图形的密铺（板书：一种图形）。密铺也可以是两种或两种以上的平面图形进行密铺。正五边形、正八边形不能单独密铺，要实现密铺要满足什么条件？加上什么图形才能实现密铺吗？（课件）
2.生活中的密铺图案
（1）课件：看这是我们班同学利用两种或两种以上的平面图形进行密铺制作出的密铺图案，你们觉得怎么样？
（2）课件：实际上生活中也有很多密铺图案的设计，比如足球上五边形和六边形的密铺、水立方的任意多边形的密铺，马路道板的地砖、拼图等等都是利用了密铺！
问：
看到这些图案，你有什么感受？
引导：如果足球，水立方不是密铺图案，有空隙可以吗？
（3）人们还想到了用不规则的图形进行密铺，这是新加坡科技馆的标志等等图案都更是让我们感受到了艺术的美。
3.密铺五边形的知识。
师：不规则图形的密铺图案是如此的美，由此吸引了艺术家们利用密铺的原理进行镶嵌艺术的创作。瞧！这是荷兰"图形艺术家"埃舍尔的镶嵌艺术创作。
师：我给大家带来了一幅镶嵌艺术作品，让我们一起来欣赏吧！（课件：稻草人）
4.课堂小结：
问：现在回顾一下，我们今天一起玩了什么？我们是怎么玩的？（用什么方法研究的）
追问：现在你知道有哪些平面图形能够密铺吗？
我们要知道一个平面图形能不能密铺，应该怎么办？
指出：是的，图形的内角能否在一个点上拼成360度，这就是图形密铺的条件。
（课件出示陈省身的生平和成就，以及相关照片。）
【设计意图】本环节重在让学生感受研究数学快乐，激发学生学习数学的信心。
【设计意图】根据前测已经了解到学生在日常生活以及学生的元认知中已经有了一些对密铺概念的理解，所以教师依托课前测数据，通过直接对密铺字面的理解说说密铺是怎么铺的！
【设计意图】紧密结合生活中的素材“铺地砖”这样的活动，在活动中通过两种图形的铺一铺后的辨析，进一步感受怎么铺才是密铺。同时，又通过继续像这样没有空隙不重叠的铺下去还是密铺的思考，进一步延伸密铺的含义，真正感知了数学意义上的密铺，为后面的探究奠定基础！
【设计意图】本环节重在提升学生发现提出问题的能力，同时也是引导学生在后面的学习中围绕这两个核心问题展开活动和思考！
【设计意图】培养学生的观察力，想象力和自主分析动手解决问题的能力。引导学生明确研究内容和研究方法等，为学生后面的自主探究打好基础，同时，也引导学生明确探究活动的基本内容和步骤,形成初步的探究能力。
【设计意图】给予学生充足的探究时间和空间，让学生带着思考进行实践探究一般四边形和特殊四边形能够的原因是什么。同时经历动手活动验证平行四边形、长方形、正方形、梯形、一般四边形密铺过程，探究其密铺原理，让学生在小组合作中感受数学探究的过程。
【设计意图】通过正六边形和四边形密铺原理的辨析、比较，进一步帮助学生直观感受、理解不管是3个内角还是4个内角只要能在一个点上拼成360度，图形就能密铺。
【设计意图】结合三角形密铺原理的活动验证，进一步帮助学生真正意义上理解图形密铺的原理。同时引导感受可以运用已有的知识经验，结合图形之间的联系进行推理，感受转化的数学思想。
【设计意图】运用图形密铺原理及时验证数学知识，感受数学知识验证过程，体会数学探究的严谨性，感受完整的数学知识探究过程。
【设计意图】：在学生对同一种图形的密铺已有认识基础上，打破学生桎梏，展示交流两种图形密铺。感受密铺原理进行镶嵌艺术的美。
【设计意图】引领学生从数学课玩了什么？怎么玩？进一步激发学生参与数学活动的兴趣。并帮助学生积累一些基本的数学活动经验，养成全面回顾的习惯，培养自我反思、全面概括的习惯。
板书设计教学基本信息
课题
密铺
是否属于地方课程或校本课程
否
学科
数学
学段：
第二学段
年级
五年级
相关领域
图形与几何
教材
书名：义务教育教材
出版社：北京出版社
指导思想与理论依据
在《数学课程标准》（2011版）中指出：“课程内容要反应社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。”“学生学习应当是一个生动活泼的、主动和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要形式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”因此在教学时，教师努力抓住学生的兴趣点，调动学生的生活经验，引导学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程探究“密铺”这一数学知识，并且通过调动学生生活原型，配以图片感知，丰富学生生活体验。最终和学生一起经历由生活经验到理性知识的蜕变。
教学背景分析
教学内容分析：
密铺是在学生结合生活情境认识角，了解直角、锐角、钝角，知道平角和周角，并了解他们之间大小关系；认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；了解三角形内角和是180?，；能够辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆形等简单图形并用其拼图；结合生活实例感受平移、旋转、轴对称现象等数学知识的基础上继续学习的。本次学习的前一单元学生刚刚学行四边形、三角形、梯形、组合图形等知识，积累了一些动手实践的经验。密铺这一课主要是将几何平面图形的知识与实际生活相结合的活动课程。以后还要继续学习组合图形的面积，圆的认识、周长和面积的计算方法，以及立体图形圆柱、圆锥、棱台等相关图形与几何知识。
本册教材呈现时，先以生活中的密铺图案引出密铺的概念，接下来是动手探究单一图形的密铺，在随后的欣赏与设计中，出现了多种图形的密铺和不规则图形的密铺图案的欣赏，并且设计了请同学们设计密铺图案的实践活动。本课的设计基本上保持了和教材的顺序一致的思路，但也做了一些改动，其一时在出示图形密铺的概念时，出示了有空隙、有重叠的生活情境，意在使学生在变式中找到密铺概念的本质；其二是在一个生活情境中教学，突出了数学与生活的联系，培养了学生发现问题和提出问题的能力；其三是学生运用自己的生活经验进行了说理，这样即训练的学生的逻辑分析能力，又调动学生的元认知，同时为课堂节约了时间。
学生情况分析：
年龄特点：
五年级学生思维处于具体运算思维阶段，此时儿童从表象性思维中解脱出来，认知结构中已经具有了抽象概念，因而能够进行逻辑推理，但运算仍离不开具体事物的支持。其认知活动具有了守恒性和可逆性，也逐渐学会从他人角度去看问题，即去自我中心主义。因此在教学时教师即给学生提供了逻辑推理的空间，有补充了大量具体实物和图片作为支撑，帮助学生理解知识。提升了学生的动手能力和思维水平。
知识基础：
在以往的学习中，学生已经学习了长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形的图形特征，对正五边形，正六边形，正八边形和圆形也有了初步的认识，有一定的学习图形与几何知识的经验和基本方法。同时学生学习了直角、锐角、钝角、平角和周角的概念，能够估测角的大小和了解角的分类。已经具有了探究“同一顶点各角度之和为360°的图形能够密铺”的知识基础。
课前调研：
在课前对39名同学得前测小卷第一题的统计中，我了解道，有94.9%的同学能够准确的标出周角的度数，对于两个对周角度数出现错误的同学，教师也给予了及时的个别指导，这位本节课探究同一定点角度之和为360°提供了较好的知识准备。
在第二题的辨析中，79.4%的同学已经准确连线重叠与不重叠，并且知道了三个边缘相接的三角形是不重叠的，在第三题的开放性题目中，82.1%的学生也可以仿照三个边缘相接的三角形绘制出类似的图形位置关系，有7.7%的同学还可以联想到面面相接的三维立体图形，还有7.7%
是用文字说明的方法提到了类似的生活情镜，只有2.6的同学没有抓住这个图形位置关系中的位置关系进行描述或画图。从这里可以看出，虽然学生并没有接触过密铺的概念，但是对于密铺的基本原型是有生活经验的，所以课堂中揭示密铺概念这一部分教师没有设计过于复杂的环节，只是出示图片辨析，学生就能很自然的理解密铺这一概念。
我的思考：
首先，作为图形与几何这一领域的数学课，空间观念的培养是非常重要的，因此教师在课上设计了很多环节给学生想象的空间。其次，“密铺”是一个与实际生活相结合较为密切的实践活动数学课，在课上学生既要学会与“密铺”相关的数学知识，更要感受“密铺”问题产生的生活价值。因此在课堂上教师设计了生活图片的引入，同时以实际生活情境为背景进行教学。学生不仅要了解密铺的生活价值，同样更应该感受“密铺”的艺术价值，感受图形“密铺”的美，因此教师给予了学生较充分的欣赏图形“密铺”的时间。于此同时，教师立足于让学生感受知识的形成过程，在课堂上设计了由生活经验-转化理解-动手实践-反思形成理性认识-回顾验证的整个数学学习过程，通过以上整个过程的经历，形成了一些数学学习经验，感受了一些基本的数学基本思想方法。
另外，教师注重了帮助学生自己发现和提出数学问题，并通过思考，合作交流，动手实践等活动自己分析解决这些问题，在具体情境的展示过程中，学生可以自己提出问题，并通过实践经验及以往的方法解决问题，教师起到参与者与合作者的作用。同时在具体知识的归纳和总结过程中，教师通过课件动画引领学生归纳总结，起到了引导者的作用。
教学手段：
发挥学生主体作用，借助已有经验，采取教师讲授法和启发法相结合，学生探究法、实验法与讨论法相互支撑的教学手段。
技术准备：
多媒体课件(
出示教学情境、展示生活原型、回顾实验过程总结数学知识、验证数学知识、展示“密铺”图案)、互动反馈技术(
引发学生对“密铺”概念的思考，了解学生对什么样图形可以“密铺”这一知识掌握情况并且引发新的思考)、
正五边形、六边形、平行四边形卡纸（动手实践活动进行探究）
教学目标(内容框架)
教学目标：
1.提升空间观念，知道密铺的含义，了解密铺的条件。
2.经历由生活经验，转化推理，到理性知识，再验证的知识形成过程，体会知识形成基本过程和方法。
3.会结合具体情境，提升发现和提出问题的能力，并自己动手分析和解决实际问题。
4.感受密铺图形的美，提升观察和思考能力，感受转化的数学思想。
教学重点：了解密铺的条件，感受密铺图形的美。
教学难点：了解密铺的条件
教学过程(文字描述)
一、学习密铺概念
板书课题，请学生说一说通过观察课题，说一说自己想学到的知识，教师整理学生问题后通过出示三幅图（笑脸墙，地砖，日历）引出密铺概念的学习。
请学生观察，你认为哪一幅图是密铺，同时利用互动反馈技术选择。并且根据选择结果，请学生说一说哪幅图是密铺，密铺应具备哪些条件。
通过学生间互相说理，总结出密铺的两个条件，无空隙，无重叠。
教师板书：无空隙，无重叠。
【设计意图】本环节重在提升学生发现提出问题的能力，同时因为在前测中已经了解到学生在日常生活以及学生的元认知中已经有了一些对密铺概念的理解，所以教师依托课前测数据，通过图片引导学生进行辨析，理解学习密铺的含义。
二、探究密铺知识
请学生说一说，我们为什么要学习密铺，生活中哪些地方会用到密铺，在学生举例说明密铺的实际生活价值后，教师出示装修购买瓷砖的生活情景，请学生帮助老师分析，老师应该思考哪些问题。引出对什么图形可以密铺的思考。
学生了解情景后提出自己看法，总结出应考虑是否能够密铺的因素。之后教师请学生为自己推荐他认为可以密铺的地砖，并且说清推荐理由。（依据课堂生成可调整顺序）
1、教师配以生活中地砖，蜂巢，足球（依据课堂生成）等图片展现学生生活经验。
2、引导学生到投影实践摆一摆验证平行四边形可以密铺。
3、引导学生经历转化的数学方法，感受梯形和三角形可以转化成平行四边形去判断这两个图形可以密铺。
4、引导学生小组通过小组活动动手验证正五边形和正八边形不可以密铺。
同时教师利用板书进行记录：
可以密铺：正方形
长方形
正六边形（生活经验）
平行四边形（动手实验）
三角形
梯形
不能密铺：正五边形
正八边形(动手实践)
【设计意图】培养在实际情景中发现和提出问题的能力。培养学生的观察力，想象力和自主分析动手解决问题的能力。调动学生已有的生活经验和推理能力，感受转化的数学思想。同时经历动手活动验证平行四边形，正五边形和正八边形是否可以密铺，和学生一起感受数学探究的过程。
引导学生提出问题：为什么有些图形可以密铺，而有些图形却不可以密铺？
同时利用课件展示正五边形、正六边形和正八边形形的密铺过程，和学生一起研究基本图形密铺的一个本质原因。即探究出同一顶点各角度之和为360°的图形可以密铺这一数学知识。
【设计意图】通过对密铺图形的探索学生已经知道了一些可以密铺和不可以密铺的图形，但对于什么样的图形可以密铺？为什么这些图形可以密铺？学生还会会产生疑问，于是教师通过课件的及时演示，帮助学生完成这探究过程。
通过课件，回顾验证长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形密铺时同一顶点的角度之和是否是360°，进一步说明所得结论的正确性。并且和同学一起感受，对于一个数学知识的形成过程，我们不能仅仅停留在通过观察推理得到数学知识这一层面，还要及时地对知识进行验证。
【设计意图】及时验证数学知识，感受数学知识验证过程，体会数学探究的严谨性，感受完整的数学知识探究过程。
请学生利用互动反馈技术判断下面两个图形是否可以密铺。
学生在充分观察后利用互动反馈技术进行选择，之后教师利用课件揭示任意四边形密铺的动画。并且揭示任意四边形四个角可以组成周角。之后出示曲边图形密铺的情况，并且揭示曲边图形是由长方形通过割补的方法得到的。
学生体会我们学过的图形可以通过割补法转化成可以密铺的其他图形。
【设计意图】巩固复习图形密铺的知识，同时揭示有些曲边图形也可以密铺。并且感受通过基本图形的转化可以得到一些可以密铺的其他图形。
三、感受图形密铺的美，激发创作欲望
教师引导学生回归教学情境，说一说建材城的商家是利用组合图形解决单一图形不能密铺的问题的，同时学生感受到圆形和正五边形可以和其他图形组合密铺出美丽的图案，继而想象正八边形也可以和正方形组合密铺。在了解组合图形可以密铺的同时，感受图形密铺的美。
学生在了解埃舍尔的基础上，欣赏这位艺术家的作品。并且体会艺术作品的形成可以包含丰富的数学知识（如密铺，对称）的元素，同时感受这些美丽的图形也是由基本图形变化而来的。进而学习一些密铺图案的绘制方法，激发出自身的创作欲望。教师顺应学生心理，布置课下作业：创作美丽的密铺图画。
【设计意图】通过回归情境，感受两种图形的组合密铺。体会荷兰艺术家埃舍尔的作品，感受艺术作品中蕴藏的数学知识，体会数学与艺术结合的美，激发学生的探究和创作欲望。
板书设计：
密铺
无空隙
不重叠
可以密铺
正方形
长方形
正六边形
平行四边形
转化
三角形
梯形
验证
不可以密铺
圆形
正五边形
正八边形
同一定点角度之和为360?
学习效果评价设计
评价方式：
知识与技能评价：
和你的同桌讲一讲你所理解的密铺，并说一说你知道的可以密铺的图形。
创作一幅用到密铺的图画，说一说这幅图画背后的设计思路。
情感态度评价：
（自评）
课上你表现怎么样？你觉得你今天最大的进步是什么？
（互评）
你觉得你得同桌今天表现好吗？你觉得今天全班谁表现的最好？
评价量规：
内容评价标准自评小组评等级☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆学习态度课堂上专心倾听，积极发言，能表达自己的想法。听讲比较认真，能主动举手发言。听讲情况一般，发言不够主动，但能认真倾听。听讲偶尔不够专心，不举手发言。方法掌握理解密铺的含义，知道密铺图形的共同特点，并用知识判断一些图形是否可以密铺。能说出一些可以密铺的基本图形和不能密铺的基本图形。理解密铺的含义，知道密铺图形的共同特点。能说出一些可以密铺的基本图形和不能密铺的基本图形。理解密铺的含义，能说出一些可以密铺的基本图形和不能密铺的基本图形。理解密铺的含义，会用拼摆的方法证明一些图形可以密铺。
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
1.本课设计时注意了学生的生活经验到理性知识的形成过程，在探究哪种图形可以密铺的环节，做到了以学生的生活经验为载体，以学生的已有知识为支撑，由学生的生活经验和元认知逐渐抽象出数学知识，使课堂教学真正变成了学生知识生长的课堂。
2.基于学生的生活经验和数学基础，很自然的联系了学生以往用过的转化的数学思想进行探究，推理出三角形和平行四边形可以密铺。同时引导学生感受了一个数学知识完整的形成的过程，注重了学生基本活动经验的感受和基本数学思想方法的渗透。
3.本课抓住了活动课学生推理和探究这一重点，抓住了具体运算思维阶段的特点，帮助学生结合生活中的具体事物抽象概念，从而进行逻辑推理，培养了学生的空间想象能力和动手实践能力，给学生充分想象的空间，通过单个图形特征逐渐转向了几个图形位置关系的思考。并且时刻以学生为主体，引导学生发现和提出数学问题，并且通过想象和动手实践分析和解决问题。
9密铺
教学内容：密铺
教学目标：
1.知识与技能：
使学生初步理解密铺的含义，知道什么是平面图形的密铺，了解能形成密铺的条件，认识一些可以密铺的图形。
2.过程与方法：
通过拼摆图形，使学生初步探索密铺的特点，在探究的过程中培养学生观察、分析、推理、概括等能力。
3.情感态度价值观：
（1）让学生在课堂上感受数学与生活、与自然的联系，使数学更贴近学生的生活。
（2）使学生能够大胆想象，并经历发现美、创造美的过程。
教学重点：使学生初步理解密铺的含义，知道什么是平面图形的密铺，认识一些可以密铺的图形。
教学难点：了解图形能形成密铺的条件。
教学过程：
一、导入
师：同学们，今天老师要带领大家认识一位伟大的艺术家——埃舍尔。（ppt简介、照片）
埃舍尔（19898-1972）：荷兰艺术家，专门从事木版画和平版画。
教师：从数学的角度，为什么说他伟大呢？我们先来欣赏一下他的作品。
（出示埃舍尔的作品）
教师：他能够将数学与艺术完美地结合起来，创造出令人惊叹的作品。
教师：通过观察刚才的图片，你有什么发现？
教师：每个基本图形之间都没有空隙，也不重叠，这就是我们今天要研究的密铺问题。
教师：（出示两个不是密铺的现象）这样是密铺吗？为什么？
学生：不是，有空隙，有重叠。
教师：在生活中，你有发现密铺现象吗？
（学生说生活中的密铺）
教师：密铺在我们生活中随处可见。
（ppt出图）天花板、地板、拼图、水立方
（蜂巢、龟壳图片）：大自然中也存在神奇的密铺。下面就让我们一起走进密铺，来探索那神奇的世界吧！
二、探索新知
（一）认识几个密铺图形
（ppt出图）
教师：这些都是我们数学中常见的基本图形，你觉得哪些图形是可以密铺的？
（只让学生猜，教师不解释，也不要求学生解释）
板书：猜想（长方形、正方形、平行四边形……）
教师：这些图形到底行不行啊，咱们怎么办？
学生：动手拼拼看
教师：对，验证。（板书：验证）
教师：下面请前后桌两人为一小组，利用你们手里的学具试一试，看看哪些图形可以密铺，哪些图形不行。听明白要求了吗？开始吧。
教师：同学们，验证完了吗？老师请一位同学来总结一下你们验证的结论。哪些图形可以密铺，哪些图形不行？
学生：长方形、正方形、平行四边形、三角形、正六边形可以密铺，正五边形、正八边形不可以。
（二）分析能形成密铺的条件
教师：同学们刚才通过动手操作都得出了结论（板书），这些图形（指着图）可以密铺，这些图形不可以。
那为什么有的图形可以密铺，有的图形却不可以呢？（等待）
可能有的同学和老师有同样的疑惑，这个问题值得我们深入研究一下。
你觉得可能和什么有关呢？（等待）
预设：边的长短
边的数量
角
教师：刚才同学们又进行了大胆的猜想，咱们再来验证一下吧（手指猜想、验证），看能不能密铺到底和谁有关系。前后桌4个人为一小组，开始吧。
（教师巡视，进入到组里倾听讨论。）
哪个小组能和大家交流一下你们的想法？
长方形：
教师：这四个角相交于这一点，组成了360°的周角。
教师：从这个图形里你还能找到这样的点吗？
（学生指另一个点）
教师：嗯，相交于这个点的每个角都是90°，四个角正好形成360°的周角。
教师：还有这样的点吗？
（学生疑惑）
正方形：谁能来给大家说说正方形为什么能密铺？
（学生到前面指着说）
平行四边形：
相交于这一点的这四个角，这个平行四边形的内角和它的外角正好形成180°的平角，相交于一点的上面两个角形成180°的平角，下面两个角又形成一个180°的平角，两个180°正好是360°。
等边三角形：
等边三角形的每一个内角都是60°，相交于这一点的6个角的和正好是360°。
教师：你还能找到这样的点吗？
正六边形：
正六边形的每一个内角都是120°，相交于这一点的三个角正好形成360°，所以能密铺。
还有这样的点吗？
小结：相交于一点的几个角的和是360°就能密铺。
（三）三角形和梯形的拓展
教师：刚才我们研究了等边三角形能密铺，老师手里有一个普通三角形，你们觉得它能密铺吗？
请一位同学到黑板上来拼一拼。
教师：观察，两个三角形能拼成一个平行四边形，所以平行四边形能密铺，三角形就能密铺。
教师：你真善于观察！
教师：刚才我们研究了等边三角形能密铺，任意的三角形也能密铺，由此我们可以得出一条结论是？
学生：三角形都能密铺。
教师：你真善于总结！
教师：这学期我们还学了一个图形——
学生：梯形
教师：它能密铺吗？
学生：两个梯形能拼成一个平行四边形，平行四边形能密铺，所以梯形就能密铺。
教师：好，我们来验证一下。
教师：相交于这一点的几个角能拼成360°，所以就能密铺。
（四）组合图形的密铺
教师：刚才是能密铺的，咱们再来看看不能密铺的图形。正五边形和正八边形不能密铺，但是，你能给它添一个图形让它形成密铺图形吗？
学生：四边形。
小结：虽然它不行，但是我们可以充分利用这些图形的空隙，给它添上其它的图形形成密铺。
三、设计作品
教师：现在我们也来当一位小小的设计师，尝试着设计一份密铺作品。
（学生创作，展示几个优秀作品）
小结：同学们设计的作品都很漂亮！其实只要你敢想，并且敢于去尝试、去创作，你就有可能成为下一位艺术大师。
四、全课总结
教师：这节课即将结束了，通过今天的学习，你有哪些收获呢？（知识、方法）
总结：通过今天的学习，我们掌握了密铺图形的特点——无空隙、不重叠；通过猜想、验证、分析、最终得出结论的过程，知道了相交于一点的几个角的和是360°就能形成密铺。其实关于密铺还有很多值得我们探究的知识，比如：足球中的密铺，感兴趣的同学课下可以继续研究。
