(共34张PPT)
第2课时
余弦定理
1．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对的边长，则
a2＝
，
b2＝
，
c2＝
.
b2＋c2－2bccosA
a2＋c2－2accosB
a2＋b2－2abcosC
余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表达形式是
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．∠A为钝角?
，∠A为直角?
，∠A为锐角?
.
a2>b2＋c2
a2＝b2＋c2
a22．余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来．
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求
；
(2)已知两边和它们的夹角，求
．
各角
第三边和其他两个角
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解析：因为AB2＋BC2－AC2＝52＋62－82<0，
∴AC边所对角B为钝角，故选C.
答案：C
答案：B
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC.
∴－2cosC＝1，∴cosC＝－
，∴C＝120°.
答案：120°
[例1] 在△ABC中，已知a＝2，b＝2
，C＝15°，求角A、B和边c的值．
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应由余弦定理来求c的值．
[点评] 本题求出c后，用正弦定理求角A，需要讨论确定A的值，而求出c后，再用余弦定理求角A，可以避免讨论．
[例2] 在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角的正弦值．
[分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对大角等平面几何性质，要求出最大内角的正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求出余弦值，再求正弦值．
[点评] 本题中比例系数k的引入是解题的关键．
迁移变式2 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①边角之间的关系：b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC；
②确定三角形的形状．
解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状．
则条件转化为4R2·sin2C·sin2B＋4R2·sin2C·sin2B
＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC，
又sinB·sinC≠0，
∴sinB·sinC＝cosB·cosC，
即cos(B＋C)＝0.
又0°∴B＋C＝90°，
∴A＝90°，故△ABC为直角三角形．
[点评] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．
迁移变式3 在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．
解：由于(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
所以a2＝b2＋c2－bc，
又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA，
又∵sinA＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC且
sinA＝2sinBcosC，
∴sinBcosC＝cosBsinC，
即sin(B－C)＝0，∴B＝C，
又B＋C＝120°，∴B＝C＝60°.
故△ABC为等边三角形．
[例4] 在△ABC中，C＝2A，a＋c＝10，cosA＝
，求b.
[点评] (1)本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c，再利用余弦定理求出b的值，通过正、余弦定理的完美结合求得结果．
(2)正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择地运用，也可以综合地运用，要注意以下关系式的运用：
迁移变式4 在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a、c的长．
利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角．
请注意：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．
(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
(4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是惟一的．
2．余弦定理的应用
利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角．(共15张PPT)
1.1
正弦定理
1、回忆一下直角三角形的边角关系?
A
B
C
c
b
a
两等式间有联系吗？
1.1.1
正弦定理
csinB=bsinC
同理可得
D
过点A作AD⊥BC于D,
此时有
若三角形是锐角三角形,
如图1,
若三角形是钝角三角形,
如图2,
A
c
b
C
B
图1
a
sinB=
AD
c
sinC=
AD
b
则
AD=
C
A
c
b
B
图2
a
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
注：
每个等式可视为一个方程：知三求一
要牢记哟!
边和它所对角的正弦比相等
一般地，把三角形的三个角A,B,C和他们的边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.
利用正弦定理可以解决一些怎样的解
三角形问题呢？
例1
在
中，已知
，
求b（保留两个有效数字）.
解：∵
且
C
B
A
a
b
c
已知两角和任意边，
求其他两边和一角
例2、在△ABC中，已知
b=28
A=40?
求B
(精确到1?)和c（保留两个有效数字）
A
C
B1
a
b
B2
D
已知两边和其中一边的对角，
可以求出三角形的其他的边和角
例3、为了测定河岸A点到对岸C点
的距离，在岸边选定1公里长
的基线AB，并测得∠ABC=120°
∠BCA=45°,求A,C两点的距离
解：由正弦定理得
AB
=
AC
sinC
sinB
则AC=
ABsinB
sinC
求出AC=
A
B
C
120°
45°
1
1、在
中，一定成立的等式是（
）
C
随堂练习
2、在△ABC中
已知a=18，B=60°，C=75°，
求b=
3、已知c＝
，A＝45°，B＝75°，则a=____，
D
4、△ABC中，B=30°，c=150，b=50
，则△ABC的形状是（
）
A
等边三角形
B
等腰三角形
C
直角三角形
D
等腰或直角三角形
5、△ABC中，已知a=2
，b=2
，A=45°，
则B=
60°或120°
6、已知c＝2，A＝120°，a＝
，则B＝____
30°
7、
△ABC中，a=50，b=25
，A=45°，求B
五、小结
1、这节课我们主要学习了正弦定理,以及两类应用正弦定理解决的解三角形问题.
2.通过本节课学习,在研究数学问题时要掌握从特殊到一般、数形结合以及分类讨论的数学思想.
作业
教材19页1、6题
衷心感谢各位老师的光临指导
衷心感谢各位老师的光临指导(共17张PPT)
千岛湖
2km
3km
120°
）
情景问题
岛屿B
岛屿A
岛屿C
?
千岛湖
千岛湖
情景问题
2km
3km
120°
）
岛屿B
岛屿A
岛屿C
?
2km
3km
120°
A
B
C
在△ABC中，已知AB=3km，BC=2km，∠B=120o，求
AC
思考1：用刚学的正弦定理能否直接求出
AC？
）
1.1.2余弦定理
C
B
A
c
a
b
探
究：
在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
的夹角为∠C，
求边c.
﹚
设
由向量减法的三角形法则得
C
B
A
c
a
b
﹚
﹚
由向量减法的三角形法则得
探
究：
若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB
边
c.
设
C
B
A
c
a
b
﹚
余弦定理
由向量减法的三角形法则得
探
究：
若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB
边
c.
设
向量法
余
弦
定
理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
B
A
b
a
c
推论：
思考2：利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题？
思考3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系。
那么，如何看待这两个定理之间的关系？
在△ABC中，
若
，则cosC=0，即∠C=90°（直角）
若
，则cosC>0，即∠C<90°（锐角）
若
，则cosC<0，即∠C>90°（钝角）
因此，余弦定理可看作是勾股定理的推广，
勾股定理可看作是余弦定理的特例。
A
B
C
a
b
c
D
当角C为锐角时
b
A
a
c
C
B
D
当角C为钝角时
思考4：余弦定理作为勾股定理的推广，
能否借助勾股定理来证明余弦定理？
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A
作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
A
B
C
c
b
a
同理有：
思考5：若△ABC为钝角三角形，该如何证明？
是否还有其他证明方法？（课后自己完成）
D
几何法
A
B
C
c
b
a
D
2km
3km
120°
）
A
B
C
在△ABC中，已知AB=3km，BC=2km，
∠B=120o，求
AC
解决“千岛湖问题”
解：由余弦定理得
答：岛屿A与岛屿C的距离为
km.
例1、在△ABC中，已知a=
,b=2,c=
,
解三角形。
解：由余弦定理得
例2、已知△ABC的三边为
、2、1，求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a=
,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6,
判断△ABC的形状。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。
练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵
∴
余弦定理可以解决的有关三角形的问题：
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角；
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状和边长的取值范围。
余弦定理：
作业：习题1.1
3、4题，复习参考题A组
第1题
推论:(共11张PPT)
高度
角度
距离
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o，
∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
解：根据正弦定理，得
答：A,B两点间的距离为65.7米。
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,
∠ACD=β,
∠CDB=γ,
∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得
计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
练习1、一艘船以32.2n
mile
/
hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n
mile
以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（1）什么是最大仰角？
最大角度
最大角度
最大角度
最大角度
（2）例题中涉及一个怎样的三角
形？
在△ABC中已知什么，要求什么？
C
A
B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
最大角度
最大角度
最大角度
最大角度
已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
解：由余弦定理，得
答：顶杆BC约长1.89m。
C
A
B
实际问题
抽象概括
示意图
数学模型
推理
演算
数学模型的解
实际问题的解
还原说明
解应用题的基本思路
已知⊿ABC中，三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若⊿ABC的面积为S,且2S=(a+b)?－c?,求tanC的值。
在⊿ABC中，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,试确定⊿ABC的形状。(共38张PPT)
高中数学
必修5
1.上网活动：“美丽的山河”图片搜索，感受到自然界的美。
2.教师导语：自然界神奇美丽，要揭开其神秘的面纱，需要借助于很多数学知识。
导入：
A
B
C
设点B在珠江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量器）
A
B
C
设问
若将点C移到如下图所示的位置，你还能求出A、B两点间的距离吗？
正弦定理是什么？有哪些证明方法？
集体探究学习活动一：
RTX讨论一：
直角三角形中边角关系有哪些？你能总结出一个式子吗？这个式子对所有三角形都适用吗？
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
不难得到:
C
B
A
a
b
c
数学建构
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
A
c
b
a
C
B
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的
正弦的比相等.
即
RTX讨论二：
正弦定理有哪些推导方法？
(1)
若直角三角形,已证得结论成立.
所以AD=csinB=bsinC,
即
同理可得
D
A
c
b
C
B
图1
过点A作AD⊥BC于D,
此时有
证法1
(2)若三角形是锐角三角形,
如图1,
由(1)(2)(3)知，结论成立．
且
仿(2)可得
D
(3)
若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
此时也有
交BC延长线于D,
过点A作AD⊥BC，
C
A
c
b
B
图2
A
c
b
C
B
D
a
利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.
RTX讨论三：
以上证明方法体现了一种什么样的数学思维规律？
答
体现了由特殊到一般的数学思维规律。
1.利用正弦定理可以解决哪两类解斜三角形的问题？
2.在“已知两边及其中一边对角”解三角形问题中解的情况有几种？
集体探究学习活动二：
RTX讨论四：
什么叫解三角形？利用正弦定理可以解决哪两类三角形的问题？
提醒：三角形是由3条边和3个角组成的，那么我们在运用“正弦定理”解三角形时，只需知道其中几个量，就可求出余下的几个量？有没有前提条件？
结论
正弦定理的运用条件：
1.已知三角形的两角及任一边；
2.已知三角形的两边及其一边所对的角。
已知三角形的的某些边和角，求其他边和角的过程叫做解三角形。
数学建构
正弦定理有哪些方面的应用？
集体探究学习活动三：
例1.
A
B
C
b
c
10
数学应用：
例
2
已知a=16，
b=
，
A=30°
解三角形。
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝60°,
或Ｂ＝120°
当
时
Ｂ＝60°
C=90°
C=30°
当Ｂ＝120°时
B
16
300
A
B
C
16
3
16
变式:
a=30,
b=26,
A=30°求角B，C和边c
300
A
B
C
26
30
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝25.70,
C=1800-A-B=124.30,
∵a
>
b
∴
A
>
B
,
三角形中大边对大角
RTX讨论五：
为什么在
“已知两边及其中一边对角”解三角形问题中有一解、两解和无解三种情况？
A
C
a
b
a无解
A
C
a
b
a=bsinA
一解
A
C
a
b
bsinA<
a
<
b
两解
B
B1
B2
B
A
C
b
a
一解
a
若A为锐角时，各种情况如下
已知a，b和A，用正弦定理求B时解的情况
数学建构
课堂练习
课本第9页练习第2、3题
RTX讨论六：
已知两边及夹角，怎样求三角形面积？
证明：
∵
B
A
C
D
a
b
c
而
∴
同理
∴
ha
数学建构
三角形面积公式：
RTX讨论七：
正弦定理有哪些方面的应用？
1000
D
A
C
E
B
数学应用：
1000
D
A
C
E
B
解：
过点D作DE//AC交BC于E,
于是，
答：山的高度约为811米。
课堂练习
做课本第11页第3题，求出上海东方明珠电视塔的高度，并上网查询验证。
解：
代入已知条件，得：
即
RTX探讨八：
请回顾本节课所学内容，并在RTX平台上展示
对本三连堂内容学生个人小结和集体小结：
教师课堂总结
三角形中的边角关系
正弦定理
定理内容
定理证明
定理应用
课堂总结
1.已知三角形的两角及任一边；
2.已知三角形的两边及其一边所对的角。
课堂作业：
1.课本第10-11页1、2、4、5、6题;
2.学习与评价第1、3页。
创新型作业或异想天开，提出新问题与方法
请给出一个三角形是正三角形的条件并能用正弦定理证明。
