高中数学必修五课件：各个章节的章末复习课件（4分PPT课件）

(共36张PPT)
章
末
归
纳
整
合
知识网络
1．数列的分类
要点归纳
数列名称
分类条件
有穷数列
无穷数列
以数列的项数有限无限为根据来分
递增数列
递减数列
恒有an恒有an>an＋1(n∈N＋)
常数列
恒有an＝an＋1(n∈N＋)
摆动数列
有时an>an＋1，有时an有界数列
无界数列
能够找到一个正数A，使|an|≤A成立
不能找到一个正数A，使|an|≤A成立
2．学习数列应注意的问题
(1)在学习时，应多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念．数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解．在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差或等比数列的问题．运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解．而且可使这类问题的解答更为快速、合理．
(2)善于对比学习．学习等差数列后，再学等比数列时，可以等差数列为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同．通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果．
(3)要重视数学思想方法的指导作用．本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法．
题型一　求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式就可以研究函数的性质，而有了数列的通项公式便可以求出任何一项．所以研究数列的通项往往是解题的关键点和突破口，常用的求数列通项公式的方法有：
要点整合
1．观察法，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳出通项公式；
2．递推公式法，就是根据数列的递推公式，采用迭代、叠加、累乘、转化等方法产生an与a1(或Sn)的关系，得出通项公式；
∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a2＝3a1＝9.
∴当n≥2时，an＝9·3n－2＝3n.显然n＝1时也成立．
故数列的通项公式为an＝3n(n∈N
)．
方法点评：已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)．这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错，即由an＝Sn－Sn－1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n＝1
时，Sn－1＝S0，而与前n项和定义矛盾．可见an＝Sn－Sn－1所确定的an，当n＝1时的a1与S1相等时，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为
【例2】
已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)．
(1)解：∵a1＝1，
∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13.
(2)证明：由已知an－an－1＝3n－1，令n分别取2,3,4，…，n得
a2－a1＝31，
a3－a2＝32，
a4－a3＝33，
…
an－an－1＝3n－1，
方法点评：如果给出数列{an}的递推公式为an＝an－1＋f(n)型时，并且{f(n)}容易求和，这时可采用迭加法．
即an＝n(n＋1)．
当n＝1时，a1＝2适合上式．
故an＝n(n＋1)(n∈N
)．
方法点评：根据已知条件构造一个与an有关的新的数列，通过新数列通项公式的求解求得{an}的通项公式．新的数列往往是等差数列或是等比数列．例如形如an＝pan－1＋q(p，q为常数)的形式，往往变为an－λ＝p(an－1－λ)，构成等比数列．求an－λ通项公式，再求an.
题型二　数列求和
数列求和问题，是历年高考重点考查的内容之一，当然最基本的还是等差、等比数列的求和，直接利用前n项和公式来解决，我们一般称之为公式法．在此基础上，对于一些特殊的数列．我们有如下几种常用的求和方法：
1．分组法：若数列{an}的通项公式形如an＝bn＋cn(也可是多项之和)，而数列{
bn}，{cn}是等差或等比数列，那么，数列{an}的前n项和不就迎刃而解了吗！
2．错位相减法：若数列{an}是通项公式形如an＝bn·cn，而{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，则可采用此法.
3．并项法：一般用于摆动数列的求和问题．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：
5．倒序相加法
将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和，它是等差数列求和公式的推广．
以上是我们常用的几种求和方法，而每一种方法各有其适合的数列，观察通项公式的特点，是正确选用求和方法的关键．
【例5】
等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N
，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，
Sn－1＝bn－1＋r，
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b>0且b≠1，所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
(2)由(1)知，n∈N
，an＝(b－1)bn－1，
当b＝2时，an＝2n－1，
【例6】
等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．
题型三　数列应用题
　解数列应用题的基本步骤：
　解数列应用题的基本步骤：
1．与等差数列有关的实际应用题
【例7】
有30根水泥电线杆，要运往1
000米远的地方安装，在1
000米处放一根，以后每50米放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务(完成任务后回到原处)，那么这辆汽车的行程共为多少千米？
解：如图所示，
假定30根水泥电线杆存放在M处，则
a1＝MA＝1
000，
a2＝MB＝1
050，
a3＝MC＝1
100，
a6＝a3＋50×3＝1
250，
……
a30＝a3＋150×9，
由于一辆汽车每次只能装3根，故每运一次只能到a3，a6，a9，…，a30，这些地方，这样组成公差为150，首项为1
100的等差数列，令汽车的行程为S，
则S＝2(a3＋a6＋…＋a30)
＝2(a3＋a3＋150×1＋…＋a3＋150×9)
即这辆汽车的行程为35.5千米．
方法点评：对于与等差数列有关的应用题．要善于发现“等差”的信息，如“每一年比上一年多(少)”“一个比一个多(少)”等，此时可化归为等差数列，明确已知a1，an，n，d，Sn中的哪几个量，求哪几个量，选择哪一个公式．
2．与等比数列有关的实际应用题
【例8】
某人贷款5万元，分5年等额还清，贷款年利率为5%，按复利计算，每年需还款多少元？(精确到1元)
解：设每年还款x万元．
第一年偿还的x万元，还清贷款时升值为x(1＋0.05)4万元．
第二年偿还的x万元，还清贷款时升值为x(1＋0.05)3万元．
第三年偿还的x万元，还清贷款时升值为x(1＋0.05)2万元．
第四年偿还的x万元，还清贷款时升值为x(1＋0.05)万元，
第五年偿还的x万元，还清贷款时仍为x万元．
于是x(1＋0.05)4＋x(1＋0.05)3＋x(1＋0.05)2＋x(1＋0．05)＋x＝5(1＋0.05)5，
方法点评：一般地，当出现下列信息时，可化归为等比数列：(1)增长率；(2)n倍；(3)几番；(4)几分之几等，此时应明确a1，an，Sn，q，n中的哪几个量，求哪几个量，一般是知三求二．(共49张PPT)
数列综合复习课
高二数学
必修（5）
数列
通项an
等差数列
前n项和Sn
等比数列
定义
通
项
前n项和
性
质
知识
结构
等
差
数
列
等
比
数
列
定义
通项公式
中项公式
前n项和公式
an+1-an=d(常数)
,
n∈N
an+1/an=q(常数),
n∈N
an=
a1+(n-1)d
an=a1qn-1(a1,q≠0)
若a，A，b成等差数列，则
A=(a+b)/2.
等差、等比数列的有关概念和公式
若a，G，b成等比数列，则G2=ab（a,b≠0）
判断（或证明）数列为等差(等比）的方法：
方法一（定义）(
a
n
+
1
－a
n
=
d
或
a
n
－a
n
－1
=
d
(
n
≥
2
)
方法二(等差中项)
a
n
+
1
+a
n
－1
=
2a
n
(
n
≥
2
)
1、等差数列：
2、等比数列：
等差数列与等比数列前n项和
注意公式的变形应用
（1）
（2）
若
则
（3）若数列
是等差数列，则
也是等差数列
（4）{an}等差数列，其项数成等差数列，则相应的项构成等差数列
等差数列的重要性质
等差数列的重要性质
若项数为
n
2
则
nd
S
S
=
-
奇
偶
若项数为
1
2
-
n
则
n
a
S
S
=
-
偶
奇
（中间项）
（2）
（1）
（3）若数列
是等比数列，则
也是等比数列
（4）{an}等比数列，若其项数成等差数列，则相应的项构成等比数列
等比数列的重要性质
等比数列的重要性质
练习:
⒈在等差数列{an}中，a2=-2,a5=54，求a8=_____.
⒉在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为_________.
⒊在等差数列{an}中，
a15
=10,
a45=90,则
a60
=__________.
⒋在等差数列{an}中，a1+a2
=30,
a3+a4
=120,
则a5+a6=_____
.
110
运用性质：
an=am+(n-m)d或等差中项
运用性质：
若n+m=p+q则am+an=ap+aq
运用性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)
运用性质：若{an}是公差为d的等差数列
{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。
180
130
210
练习:
⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8=
.
⒉在等比数列{an}中，且an＞0，
a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=
_
.
⒊在等比数列{an}中，
a15
=10,
a45=90,则
a60
=__________.
⒋在等比数列{an}中，a1+a2
=30,
a3+a4
=120,
则a5+a6=_____
.
-1458
6
270
480
或-270
常见的求和公式
专题一：一般数列求和法
①倒序相加法求和，如an=3n+1
②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n
③分组法求和，
如an=2n+3n
④裂项相加法求和，如an=1/n(n+1)
⑤公式法求和，
如an=2n2-5n
专题一：一般数列求和法
一、倒序相加法
解：
例1:
二、错位相减法
解：
“错位相减法”求和,常应用于形如{anbn}的数列
求和,其中{an}为等差数列,
{bn}
为等比数列,
{bn}
的公比为q，则可借助
转化为等比数列
的求和问题。
三、分组求和
把数列的每一项分成几项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成几部分，
使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.
练习：求和
解：
四、裂项相消求和法：
常用列项技巧：
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按
此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，
于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和
方法称为裂项相消法.
①累加法，如
②累乘法，如
③构造新数列：如
④取倒数：如
⑤Sn和an的关系：
?
专题二：.通项的求法
数列的前n项和Sn＝n2–n+1，
则通项an=__________．
①-②得：
1、数列–1，7，–13，19……的一个通项公式为(
)
A、an=2n–1
B、an=
–6n+5
C、an=(–1)n6n–5
D、
an=(–1)n(6n–5)
D
2.数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则
an=
_____________.
3、
写出下列数列的一个通项公式
(1)、
(2)、
解：(1)、注意分母是
，分
子比分母少1，故
(2)、由奇数项特征及偶数项特征得
返回
4、在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6=9，则log3a1+log3a2+……+log3a10等于（
）
（A）12（B)10（C）8（D）2+log35
B
5、等差数列{an}的各项都是小于零的数，且
，则它的前10项和S10等于（
）
（A）-9（B）-11（C）-13（D）-15
D
6、在公比q>1的等比数列{an}中，若a1+a4=18,a2+a3=12，则这个数列的前8项之和S8等于（
）
（A）513（B）512（C）510（D）
C
7、等比数列{an}中，a1=2,S3=26，那么分比q的值为（
）
（A）-4（B）3（C）-4或3（D）-3或4
C
8、在数列{an}中，an+1=Can（C为非零常数）且前n项和Sn=3n+k则k等于（
）
（A）-1（B）1（C）0（D）2
A
9、等差数列{an}中，若Sm=Sn(m≠n)，则Sm+n的值为（
）
D
10、等差数列{an}是递减数列，a2a3a4=48，
a2+a3+a4=12，则数列{an}的通项公式（
）
（A）an=2n-2（B）an=2n+2
（C）an=-2n+12（D）an=-2n+10
D
11、在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，
则2a9-a10的值为（
）
（A）24（B）22（C）2（D）-8
A
考点练习
1、在等比数列{an}中，a3·
a4·a5=3，a6·a7·a8
=24，则a9·a10·a11的值等于__________．
192
考点练习
2、a=
，b=
，a、b的
等差中项为(　　)
A、
B、
C、
D、
A
3、设{an}为等差数列，Sn为前n项
和，a4=
，S8=
–4，求an与Sn．
点评：在等差数列中，由a1、d、n、an、sn知三求二
考点练习
4、数列{an}满足a1=
，
a1+a2+a3+……+an=n2·an，求通项an．
解析：a1+a2+a3+……+an=n2·an
a1+a2+……+an-1=(n-1)2
an-1
(n≥2)
相减
an=n2an-(n-1)2an-1
考点练习(共59张PPT)
第一课
解三角形
【网络体系】
【核心速填】
1.正弦定理
(1)公式表达：___________________.
(2)公式变形：
①a=2RsinA，b=2RsinB，c
=2RsinC；
②sinA=
，sinB=
，sinC=
；
③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；
④
2.余弦定理
(1)公式表达：
a2=_____________，b2=_____________，
c2=_____________.
(2)推论：cosA=_________，cosB=_________，
cosC=_________.
b2+c2-2bccosA
a2+c2-2accosB
a2+b2-2abcosC
3.三角形中的常用结论
(1)a+b>c，b+c>a，c+a>b.
(2)a-b(3)A+B+C=π.
(4)a>b?A>B?sinA>sinB.
(5)a=b?A=B.
(6)A为锐角?cosA>0?a2A为钝角?cosA<0?a2>b2+c2；
A为直角?cosA=0?a2=b2+c2.
(7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC.
(8)
4.三角形中的计算问题
在△ABC中，边BC，CA，AB记为a，b，c，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则
(1)ha=bsinC=______.
(2)hb=csinA=______.
(3)hc=asinB=______.
csinB
asinC
bsinA
(4)
(5)
【易错提醒】
解三角形中易忽视的三点
(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围.
(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补情况.
(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情况.
类型一
利用正、余弦定理解三角形
【典例1】(1)△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=
，BC=
，则
等于(　　)
(2)在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos
2A=
，sinB=
①求A+B的值；
②若a-b=
-1，求a，b，c的值.
【解析】(1)选C.因为AB=2，
所以BC2=AB2+AC2，
所以A=
，所以BC为圆的直径，O为斜边BC的中点，
所以CO=BO=AO=
BC=
，又AC=
，
设∠AOC=α，由余弦定理得cosα=
则
(2)①因为A，B为锐角，sinB=
所以cosB=
又因为cos
2A=1-2sin2A=
所以sinA=
，cosA=
所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
因为0②由①知C=
，所以sinC=
由正弦定理
得
即a=
b，c=
b.因为a-b=
-1，所以
b-b=
-1，所以b=1，所以a=
，c=
.
【方法技巧】应用正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角(如a，B，C)
正弦定理
由A+B+C=180°，求角A；由正弦定理求出b与c；S△ABC=
acsinB；在有解时只有一解
已知条件
应用定理
一般解法
两边和夹角(如a，b，C)
余弦定理正弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180°求出另一角；S△ABC=
absinC；在有解时只有一解
三边(a，
b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A，B；再利用A+B+C=180°，求出角C；S△ABC=
absinC；在有解时只有一解
已知条件
应用定理
一般解法
两边和其中一边的对角(如a，b，A)
正弦定理
由正弦定理求出角B；由A+B+C=180°，求出角C；再利用正弦定理求出第三边c；S△ABC=
absinC；可有一解、两解或无解
【变式训练】在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2
，
=4，2sinBcosC
=sinA，求A，B及b，c.
【解析】因为
=4，
所以
=4.所以
所以sinC=
.又因为C∈(0，π)，所以C=
或C=
由2sinBcosC=sinA，得2sinBcosC=sin(B+C)，
即sin(B-C)=0.
所以B=C，所以B=C=
，A=π-(B+C)=
由正弦定理
，得
【补偿训练】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，B=45°，b=
，cosC=
(1)求边长a.
(2)设AB的中点为D，求中线CD的长.
【解析】(1)由cosC=
得sinC=
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
由正弦定理得
(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(3
)2+(
)2-
2×3
×
×
=4，所以c=2，在△BCD中.由余弦
定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cosB=12+(3
)2-
2×1×3
×
=13，所以CD=
类型二
判断三角形的形状
【典例2】(1)在△ABC中，已知3b=2
asinB，且cosB=cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
(2)已知在△ABC中，
=c2，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状.
【解析】(1)选D.由3b=2
asinB，得
根据正弦定理，得
所以
，即sinA=
又角A是锐角，所以A=60°.
又cosB=cosC，且B，C都为三角形的内角，
所以B=C，故△ABC为等边三角形.
(2)由
=c2，得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3，
所以a2+b2-ab=c2，所以cosC=
，所以C=60°.
由acosB=bcosA，得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为△ABC外接圆的半径)，所以sin(A-B)=0，所以A-B=0，
所以A=B=C=60°，所以△ABC为等边三角形.
【方法技巧】判定三角形形状的两种途径
(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a=2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA=sinB?A=B，sin(A-B)=0?A=B，sin2A=sin2B?A=B或A+B=
等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=
cosA=
等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.
【变式训练】在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，试判断△ABC的形状.
【解析】方法一：由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，
因为B=60°，所以A+C=120°，A=120°-C，
将其代入上式，得2sin60°=sin(120°-C)+sinC，
展开整理，得
sinC+
cosC=1，
所以sin(C+30°)=1，所以C+30°=90°.
所以C=60°，故A=60°，所以△ABC是等边三角形.
方法二：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，
因为B=60°，b=
，所以(
)2=a2+c2-2accos60°.
所以(a-c)2=0，所以a=c，
所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形.
【补偿训练】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
=k(k∈R).
(1)判断△ABC的形状.
(2)若c=
，求k的值.
【解析】(1)因为
=cbcosA，
=cacosB，
又因为
，所以bccosA=accosB，
所以bcosA=acosB.
方法一：因为bcosA=acosB，所以sinBcosA=sinAcosB，
即sinAcosB-sinBcosA=0，所以sin(A-B)=0.
因为-π所以△ABC为等腰三角形.
方法二：因为bcosA=acosB，所以
所以b2+c2-a2=a2+c2-b2，所以a2=b2，所以a=b.
故此三角形是等腰三角形.
(2)由(1)知a=b，所以
=bccosA=bc·
=
=k.因为c=
，所以k=1.
类型三
正、余弦定理的实际应用
【典例3】已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20
海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？
【解析】如图所示，在△ABC中，
依题意得BC=20
海里，
∠ABC=90°-75°=15°，
∠BAC=60°-∠ABC=45°.
由正弦定理，得
所以AC=
=10(
)(海里).
过点A作AD⊥BC.
故A到航线的距离为AD=ACsin60°=10(
)×
=(
)(海里).
因为
>8，所以货轮无触礁危险.
【方法技巧】正、余弦定理在实际应用中应注意的问题
(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图.
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等.
(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形.
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.
(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位.
【变式训练】如图，为了解某海域海底
构造，在海平面内一条直线上的A，B，
C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，
于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值.
【解析】如图，作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M，
DF=
DE=
EF=
在△DEF中，由余弦定理得：
cos∠DEF=
【补偿训练】如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为__________km.
【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以∠B+∠D=π，由余弦定理得AC2=52+32-2×5×3cosD=34-30cosD，
AC2=52+82-2×5×8cosB=89-80cosB，
由cosB=-cosD，得
，解得AC=7.
答案：7
类型四
正、余弦定理与三角函数的综合
【典例4】(2019·陕西模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a，
b)与n=(cosA，sinB)平行.
(1)求A.
(2)若a=
，b=2，求△ABC的面积.
【解析】(1)因为m∥n，所以asinB-
bcosA=0，
由正弦定理得sinAsinB-
sinBcosA=0，
又sinB≠0，从而tanA=
，由于0.
(2)方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，
而a=
，b=2，A=
，得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0，
因为c>0，所以c=3.故△ABC的面积为
bcsinA=
方法二：由正弦定理得
，从而sinB=
又因为a>b，所以A>B，所以cosB=
所以sinC=sin(A+B)=
所以△ABC的面积为
【方法技巧】正、余弦定理与三角函数综合应用的处理策略
(1)首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的.
(2)利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简.
【变式训练】(2019·武汉高一检测)如
图，经过村庄A有两条夹角为60°的公
路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM=PN=MN=2(单位：千米).如何设计，可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
【解析】设∠AMN=θ，0°<θ<120°，在△AMN中，
因为MN=2，所以AM=
sin(120°-θ)，
在△APM中，cos∠AMP=cos(60°+θ)，
AP2=AM2+MP2-2MP·AMcos∠AMP
=
sin2(120°-θ)+4-2×2×
sin(120°-θ)
cos(60°+θ)
=
sin2(60°+θ)-
sin(60°+θ)cos(60°+θ)+4
=
[1-cos(2θ+120°)]-
sin(2θ+120°)+4
=-
[
sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+
=
-
sin(2θ+150°)，0°<θ<120°，
当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2
，
答：当∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.
【补偿训练】如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.
问：当∠AOB为多少时，四边形OACB的面积最大？
【解析】设∠AOB=α.
在△AOB中，由余弦定理，得
AB2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα.
所以四边形OACB的面积为
S=S△AOB+S△ABC=
OA·OBsinα+
AB2
=
×2×1×sinα+
(5-4cosα)
=sinα-
所以当sin(
)=1时，S有最大值.
因为0<α<π，
所以
故当∠AOB=
π时，四边形OACB的面积最大.(共28张PPT)
章
末
归
纳
整
合
知识网络
1．不等式的基本性质
不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性质进行论证时，要注意每一个性质的条件，不要盲目乱用或错用性质，特别是乘法性质容易用错，要在记忆基础上加强训练，提高应用的灵活性．
2．一元二次不等式的解法及其应用
要点归纳
一元二次不等式的解集可以通过两种方法求解，第一种方法是结合该一元二次不等式所对应的二次函数图象给出，第二种方法是将原不等式转化求与它同解的一元一次不等式组的交集去解决．
第一种方法意在让我们通过函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系，充分注重数形结合，得出一般的一元二次不等式解集，它适用于任何一元二次不等式．对于这种方法一定要有深刻的认识与体会，要从图象上真正把握其内在的本质，自己找出不等式解所对应的区间．
(2)最大(小)值定理：两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值．
要通过自己的思考与尝试加深对均值不等式最大(小)值定理的正确理解，在使用均值不等式与最大(小)值定理求某些函数的最值时，要特别注意定理成立的条件是否具备，如均值不等式中的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可．
(3)利用基本不等式求实际问题中最值的一般步骤
①认真分析理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大值或最小值(有时还需要进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数，凑出“正数”、“定值”、“相等”三个条件)；
④给出问题的答案．
4．二元一次不等式(组)表示平面的区域与线性规划
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线)．Ax＋By＋C≥0在平面直角坐标系中所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线(画成实线)．
(2)确定二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中所表示的平面区域的判断方法：
由于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)来说，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以Ax0＋By0＋C的正负情况便可判断Ax＋By＋C>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．
(3)二元一次不等式组表示的平面区域，就是这个不等式组的各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．
(4)解决线性规划问题最大的困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．主要障碍有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些
障碍及题目本身文字过长等因素，解题时要认真分析理解题意，能够抓住问题本质特征，要根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题，然后利用图解法求出最优解，作为突破这个难点的关键．对于寻找整点最优解的问题，还可以利用计算机辅助解决．
题型一　一元二次不等式的解法
解一元二次不等式一定要注意，二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程的根，二次函数图象在x轴上方，表示函数值大于0，这时x的范围就是不等式ax2＋bx＋c>0的解集；二次函数图象在x轴下方，表示函数值小于0，这时x的范围就是ax2＋bx＋c<0的解，解不等式是应该把二次函数图象画出来，用数形结合的思想方法解题．
要点整合
【例1】
解不等式－1由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0；
由②得(x＋3)(x－1)≤0,
所以－3≤x≤1.
方法点评：(1)本例中端点值能否取到易搞错，“＝”号易漏掉．(2)利用转化思想及数轴可以准确地找出不等式的解集．
题型二　简单线性规划在实际问题中的应用
(1)解线性规划问题的关键步骤是画图，所以作图要尽可能地准确，图上操作尽可能的规范．(2)因为作图存在误差，若图上的最优点并不明显易辨，可求出可能是最优解的点的坐标，然后逐一检查、确定最优解．
在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
【例2】
某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2
m2与3
m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A，B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
作直线l：2x＋3y＝0，把直线向右上方平移，
答：两种金属板各取5张时，用料面积最省．
方法点评：本题属于给定一项任务，问怎样统筹安排才能使完成这项任务的人力、物力资源量最小的题型．解答这类问题的方法是：根据题意列出不等式组(约束条件)，确定目标函数，然后由约束条件找出可行域，最后利用目标函数的平移，在可行域内求出使目标函数达到最值的点，从而求出问题的最优解．
题型三　基本不等式与最值
应用基本不等式求最大(小)值，关键在于“一正二定三相等”．也就是：(1)一正：各项必须为正．(2)二定：要求积的最大值，则其和必须是定值；要求和的最小值，则其积必须是定值．(3)三相等：必须验证等号是否成立．
【例3】
已知：3a2＋2b2＝5，试求：y＝(2a2＋1)(b2＋2)的最大值．
【例4】
某农场有一废弃的猪圈，留有一面旧墙长12
m，现准备在该地区重新建一个猪圈．平面图为矩形，面积为112
m2，预计：(1)修复1
m旧墙的费用是建造1
m新墙费用的25%，(2)拆去1
m旧墙用以改造建成1
m新墙的费用是建1
m新墙的50%，(3)为安装圈门，要在围墙的适当处留出1
m的空缺．试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小．
设建造1
m新墙需a元，则这里建造围墙的总造价
因此修复的旧墙约为11.3
m，拆除改建成新墙的旧墙约为0.7
m，这样建造的总造价最小．
方法点评：在使用极值定理求函数的最大或最小值时，要注意以下几点：①x，y都是正数；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足(积)(或和)为定值．