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第3章
一次方程与一次方程组
单元检测（1）
一、单选题
1．在方程组、、、中，是二元一次方程组的有（ ）
A．1个?????????????????????????????B．2个???????????
C．3个???????????????????
?
D．4个
2．下列方程中是一元一次方程的是（??
）
A．5=ab????????????????????????????B．2+5=7???????????????????????????C．+1=x+3???????????????????????D．3x+5y=8
3．方程组
的解是（??
）
A．
B．
C．
D．
4．解方程，去分母正确的是（?）
A．2-(x-1)=1
B．2-3(x-1)=6
C．2-3(x-1)=1
D．3-2(x-1)=6
5．如果方程组的解x、y的值相等
则m的值是（
）
A．1
B．－1
C．2
D．－2
6．早餐店里，李明妈妈买了5个馒头，3个包子，老板少要1元，只要10元；王红爸爸买了8个馒头，6个包子，老板九折优惠，只要18元．若馒头每个x元，包子每个y元，则所列二元一次方程组正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．方程ax﹣2y=5的一个解是
，则a的取值是（??
）
A．9???????????????????????????B．﹣9?????????
????C．1?????????????????????
D．﹣1
8．下列不属于二元一次方程组的是(
)
A．
B．
C．
D．
9．如果方程组的解中的x与y相等，则k的值为（
）
A．1
B．1或－1
C．5
D．－5
10．若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则m-n的值是（
）
A．2
B．0
C．-1
D．1
11．已知x+y=1，x-y=3，则xy的值为（
）
A．2
B．1
C．－1
D．－2
12．不定方程的正整数解（x，y）的组数是（??）
A．0组??????????????
B．2组??????????
C．4组???????????
D．无穷多组
二、填空题
13．已知：（m﹣2）x﹣1=0是关于x的一元一次方程，则m
．
14．关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值为______．
15．如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s，n为未知数的二元一次方程为______.
已知关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为___________．
三、解答题
17．如果二元一次方程组?
的解适合方程3x＋y=－8，求k的值．
18．某同学在，两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是元，且随身听的单价比书包的单价的倍少元．
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市所有商品打八五折销售，超市全场购物每满元返购物券元销售（不足元不返券，购物券全场通用），但他只带了元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样商品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
19．已知方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看
错了②中的b，得到方程组的解为若按正确的a，b计算，求原方程组的解．
20．方程组的解为●，★代表两个常数，你能求出●，★的值吗?
21．如图，数轴上点A表示数x，点B表示－2，点C表示数2x＋8.
(1)若将数轴沿点B对折，点A与点C恰好重合，则点A和点C分别表示什么数？
(2)若BC＝4AB，则点A和点C分别表示什么数？
22．甲、乙两人共同解方程组
，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算a2015+（﹣b）2016．
23．二元一次方程组的解满足，求k的值．
24．冬至过后，昼夜温差逐渐加大，山城的市民们已然感受到了深冬的寒意．在还未普遍使用地暖供暖设备的山城，小型电取暖器仍然深受市民的青睐．某格力专卖店销售壁挂式电暖器和卤素/石英式取暖器（俗称
“小太阳”），其中壁挂式电暖器的售价是“小太阳”售价的5倍还多100元，2016年12月份壁挂式电暖器和“小太阳”共销售500台，壁挂式电暖器与“小太阳”销量之比是4∶1，销售总收入为58.6万元．
（1）分别求出每台壁挂式电暖器和“小太阳”的售价；
（2）随着“元旦、春节”双节的来临和气温的回升，销售进入淡季，2017年1月份，壁挂式电暖器的售价比2016年12月下调了4m﹪，根据经验销售量将比2016年12月下滑6m﹪，而“小太阳”的销售量和售价都维持不变，预计销售总收入将下降到16.04万元，求m的值．
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第3章
一次方程与一次方程组
单元检测（1）
一、单选题
1．在方程组、、、中，是二元一次方程组的有（ ）
A．1个???????????????????????
B．2个??????????????????????????C．3个??????????
D．4个
【答案】B
【解析】【分析】紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”,细心观察排除,得出正确答案.
【详解】
含有3个未知数，故不是二元一次方程组；
中第一个方程的分母含未知数，故不是二元一次方程组；
、是二元一次方程组.
故选B.
【点评】本题主要考查二元一次方程组的基本概念，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数,且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组.
2．下列方程中是一元一次方程的是（??
）
A．5=ab????????????????????????????B．2+5=7????????????????????????????C．+1=x+3????????????????????????????
D．3x+5y=8
【答案】C
【解析】【分析】判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②未知数的最高次数是1，③未知数不能在分母里，这三个条件缺一不可.
【详解】
A.
5=ab?含有两个未知数,故不是一元一次方程;???????????????????????????
B.
2+5=7不含未知数,故不是一元一次方程;????????????????????????????????
C.
+1=x+3符合一元一次方程的定义,故是一元一次方程;?????????????????????????
D.
3x+5y=8含有两个未知数,故不是一元一次方程;????
故选C.
【点评】本题考查了一元一次方程的识别，熟练掌握一元一次方程的定义是解答本题的关键.
3．方程组
的解是（??
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】根据二元一次方程组的解法求出的解，即可求出答案.
【详解】
，
①×2+②×5得，
19x=57,
∴x=3,
把代入①得，
6+5y=-4,
∴y=-2,
∴方程组的解是.
故选D.
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，当两方程中相同的未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法解方程比较简单．灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
4．解方程，去分母正确的是（?）
A．2-(x-1)=1
B．2-3(x-1)=6
C．2-3(x-1)=1
D．3-2(x-1)=6
【答案】B
【解析】【分析】两边都乘以各分母的最小公倍数6即可.
【详解】
，
两边都乘以各分母的最小公倍数6得，
2-3(x-1)=6.
故选B.
【点评】解一元一次方程去分母的方法是两边都乘各分母的最小公倍数，一是不要漏乘不含分母的项，二是去掉分母后要把多项式的分子加括号.
5．如果方程组的解x、y的值相等
则m的值是（
）
A．1
B．－1
C．2
D．－2
【答案】B
【解析】【分析】由题意x、y值相等，可计算出x=y=2,然后代入含有m的代数式中计算m即可
【详解】
x、y相等
即x=y=2，x-(m-1)y
=6
即2?(m-1)×2=6
解得m=-1
故本题答案应为：B
【点评】二元一次方程组的解法是本题的考点，根据题意求出x、y的值是解题的关键
6．早餐店里，李明妈妈买了5个馒头，3个包子，老板少要1元，只要10元；王红爸爸买了8个馒头，6个包子，老板九折优惠，只要18元．若馒头每个x元，包子每个y元，则所列二元一次方程组正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：若馒头每个x元，包子每个y元，由题意得：
，
故选B．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
7．方程ax﹣2y=5的一个解是
，则a的取值是（??
）
A．9??????????????????????????????????B．﹣9????????????????????
C．1????????????????????????????
D．﹣1
【答案】A
【解析】【分析】把代入ax﹣2y=5即可求出a的值.
【详解】
把代入ax﹣2y=5得，
a﹣4=5，
∴a=9.
故选A.
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解答本题的关键.
8．下列不属于二元一次方程组的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】【详解】
∵含有两个未知数，最高次数是
∴不是二元一次方程.
故选D.
【点评】
由几个方程组成的一组方程叫做方程组．如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次
，那么这样的方程组叫做二元一次方程组.
9．如果方程组的解中的x与y相等，则k的值为（
）
A．1
B．1或－1
C．5
D．－5
【答案】A
【解析】【分析】由题意先解方程组，然后再代入方程5x-4y=k即可求得答案.
【详解】
由题意可得方程组，
解得：，
把代入方程5x-4y=k，得k=5-4=1，
故选A.
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键.
10．若﹣2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则m-n的值是（
）
A．2
B．0
C．-1
D．1
【答案】A
【解析】【分析】根据同类项的定义可得关于m、n的方程组，解方程组即可求得答案.
【详解】
由题意得，
解得：，
所以m-n=2，
故选A.
【点评】本题考查了同类项、解二元一次方程组的应用，根据同类项的概念得出关于m、n的方程组是解题的关键.
11．已知x+y=1，x-y=3，则xy的值为（
）
A．2
B．1
C．－1
D．－2
【答案】D
【解析】【分析】解方程组求得x、y的值后代入xy进行计算即可得.
【详解】
解方程组得.
，
所以xy=-2，
故选D.
【点评】本题考查了解二元一次方程组的应用，正确求出二元一次方程组的解是关键.
12．不定方程的正整数解（x，y）的组数是（??）
A．0组??????????????
B．2组?????????????
C．4组????????
D．无穷多组
【答案】A
【解析】【分析】根据式子特点,若有解,x必为奇数,将原式整理,得出两侧分别为奇数与偶数,矛盾,即可得出结论
【详解】
若方程又整数解（x，y），则显然x为奇数，由于，所以x2被8整除余1，而2y2被8除的余数不是2就是0，所以，方程左边被8除的余数是7或者1，右边是5，显然不相等，因此，该方程无整数解.
故选A.
【点评】此题考查了非一次不定方程的解,将原式变形转化为奇偶性问题并推出矛盾是解题的关键.
二、填空题
13．已知：（m﹣2）x﹣1=0是关于x的一元一次方程，则m
．
【答案】m≠2．
【解析】∵（m﹣2）x﹣1=0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣2=0．
∴m≠2．
故答案为m≠2．
点睛：本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，根据定义求解即可.
14．关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值为______．
【答案】1．
【解析】分析：将方程组的解代入方程组，就可得到关于a、b的二元一次方程组，解得a、b的值，即可求ab的值．
详解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，∴，解得：a=﹣1，b=2，∴ab=（﹣1）2=1．
故答案为1．
点睛：本题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．
15．如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s，n为未知数的二元一次方程为______.
【答案】s=3(n-1)
【解析】【分析】根据图片可知：
第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么s=3×2-3；
第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么s=3×3-3；
第三图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么s=3×4-3；
…
由此可知以s，n为未知数的二元一次方程为s=3n-3．
【详解】
根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．
所以s=3n-3=3（n﹣1）．
故答案为3（n﹣1）
【点评】本题要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出方程．
16．已知关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为___________．
【答案】2
【解析】【分析】本题不需要解方程组，只需要将两个方程相加，得到,于是有，再利用构造以k为未知数的一元一次方程，易求出k的值．
【详解】
解：由方程组得：
∴
∴
又∵
∴
∴
故答案是2
【点评】在解决同解方程或同解方程组时，常用的方法是求出相应未知数的值，但在实际解题时要充分运用整体代入法简化计算的步骤．
三、解答题
17．如果二元一次方程组?
的解适合方程3x＋y=－8，求k的值．
【答案】12
【解析】【分析】先解方程组，求出x和y的值，然后把求得的x和y的值代入
即可求出k的值.
【详解】
由题意可得方程组：?
，
解得：?
，
代入方程：x－3y=k＋2，
得：k=12．
【点评】本题考查了同解方程组，根据题意求出的解是解答本题的关键.
18．某同学在，两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是元，且随身听的单价比书包的单价的倍少元．
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市所有商品打八五折销售，超市全场购物每满元返购物券元销售（不足元不返券，购物券全场通用），但他只带了元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样商品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
【答案】（1）随身听和书包的单价各是360元，92元（2）见解析
【解析】【分析】(1)设书包的单价为x元，则随身听的单价为(4x-8)，根据随身听和书包单价之和是452元，列方程求解即可；
(2)根据两商家的优惠方式分别计算是否两家都可以选择，比较钱数少的则购买更省钱．
【详解】
(1)设书包的单价为x元，则随身听的单价为(4x-8)元，
根据题意，得4x-8+x=452，
解得：x=92，
4x-8=4×92-8=360，
答：随身听和书包的单价各是360元，92元；
(2)在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452×85%=384.2(元)，
因为384.2＜400，所以可以选择超市A购买；
在超市B可花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计花费现金：360+2=362(元)，
因为362＜400，所以也可以选择在B超市购买，
因为362<384.2，所以在超市B购买更省钱.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，列出方程是解(1)的关键；考虑到各种不同情况，不丢掉任何一种，注意不同情况的不同算法是解(2)的关键.
19．已知方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看
错了②中的b，得到方程组的解为若按正确的a，b计算，求原方程组的解．
【答案】
【解析】【分析】将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，得到关于a、b的方程组，解这个方程组求出a、b的值从而确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到正确的解．
【详解】
根据题意，可知满足方程②，满足方程①，
则，
解得，
原方程组为，
解得
.
【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.
20．方程组的解为●，★代表两个常数，你能求出●，★的值吗?
【答案】●=8，=-2
【解析】【分析】先把x=5代入2x-y=12可求得y=-2，再把x=5，y=-2代入方程2x+y=●即可求得答案.
【详解】
把x=5代入2x-y=12，得y=-2，
当x=5，y=-2时，2x+y=2×5-2=8，
所以●=8，=-2.
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握相关知识是解题的关键.
21．如图，数轴上点A表示数x，点B表示－2，点C表示数2x＋8.
(1)若将数轴沿点B对折，点A与点C恰好重合，则点A和点C分别表示什么数？
(2)若BC＝4AB，则点A和点C分别表示什么数？
【答案】（1）点A表示的数为－4，点C表示的数为0;(2)
点A表示的数为－3，点C表示的数为2
【解析】【分析】（1）根据将数轴沿点B对折，点A与点C恰好重合可知AB=BC，从而可得关于x的方程，解方程求得x即可得答案；
（2）由BC=4AB可得关于x的方程，解方程求得x即可得答案.
【详解】(1)由题意可得：2x+8-(-2)=-2-x，
解得：x＝－4，
∴2x＋8＝2×(－4)＋8＝0，
∴点A表示的数为－4，点C表示的数为0.
(2)由题意得：2x＋8－(－2)＝4(－2－x)，
解得x＝－3，
∴2x＋8＝2×(－3)＋8＝2，
∴点A表示的数为－3，点C表示的数为2.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
22．甲、乙两人共同解方程组
，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算a2015+（﹣b）2016．
【答案】0
【解析】试题分析：（1）根据题意把?代入②得-3×4+b=-2，可求得b=10，把?代入①得5a+5×4=15，可求得a=1，然后把a、b的值代入所给的代数式中，利用乘方的意义进行计算；?
（2）把a=1，b=10代入方程得到得?，先化简②得到2x-5y=-1③，再利用①+③得到x，然后利用代入法可求出y．
解：甲看错了①式中x的系数a，解得方程组的解为，但满足②式的解，所以﹣12+b=﹣2，解得b=10;
同理乙看错了②式中y的系数b，得到方程组的解为，满足①式的解，所以5a+20=15，解得a=﹣1.
把a=﹣1，b=10代入a2015+（﹣b）2016=-1+1=0.
故a2015+（﹣b）2016的值为0.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．把得到的解代入到没看错的方程即可求出正确的a、b的值，然后代入到代数式中求值.
23．二元一次方程组的解满足，求k的值．
【答案】
【解析】【分析】先解方程组，求出方程组的解，然后代入中进行求解即可.
【详解】，
得：，即，
把代入得：，
方程组的解为，
代入中得：，
解得：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是关键.
24．冬至过后，昼夜温差逐渐加大，山城的市民们已然感受到了深冬的寒意．在还未普遍使用地暖供暖设备的山城，小型电取暖器仍然深受市民的青睐．某格力专卖店销售壁挂式电暖器和卤素/石英式取暖器（俗称
“小太阳”），其中壁挂式电暖器的售价是“小太阳”售价的5倍还多100元，2016年12月份壁挂式电暖器和“小太阳”共销售500台，壁挂式电暖器与“小太阳”销量之比是4∶1，销售总收入为58.6万元．
（1）分别求出每台壁挂式电暖器和“小太阳”的售价；
（2）随着“元旦、春节”双节的来临和气温的回升，销售进入淡季，2017年1月份，壁挂式电暖器的售价比2016年12月下调了4m﹪，根据经验销售量将比2016年12月下滑6m﹪，而“小太阳”的销售量和售价都维持不变，预计销售总收入将下降到16.04万元，求m的值．
【答案】（1）每台壁挂式电暖器和小太阳的售价为：1400元，260元；（2）10.
【解析】试题分析：（1）设每台小太阳为x元，则每台壁挂式电暖器的售价为（5x+100）元，根据销售总收入为58.6万列出方程即可解决问题
（2）根据题意表示出羽绒服的销量与价格，进而结合销售总收入下降为16.04万元得出等式求出即可．
试题解析：（1）设每台小太阳为x元，则每台壁挂式电暖器的售价为（5x+100）元，
∵2014年1月份（春节前期）共销售500件，每台壁挂式电暖器与小太阳销量之比是4：1，
∴每台壁挂式电暖器与小太阳销量分别为：400件和100件，
根据题意得出：400（5x+100）+100x=586000，
解得：x=260，
∴5x+100=1400（元），
答：每台壁挂式电暖器和小太阳的售价为：1400元，260元；
（2）∵2014年2月份每台壁挂式电暖器销量下滑了6m%，售价下滑了4m%，小太阳销量和售价都维持不变，
结果销售总收入下降为16.04万元，
∴400（1-6m%）×1400×（1-4m%）+100×260=160400
解得：m1=10，m2=（不合题意舍去），
答：m的值为10．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及利润、售价、销售数量之间关系，解题的关键是学会设未知数，找等量关系列方程，属于中考常考题型．
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