三角形全等的判定复习课
图片预览
文档简介
(共20张PPT)
1、 什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？ 。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、两个全等三角形有什么特征？
两个全等三角形的对应边相等，对应角相等。
3、例：如图，已知Δ ABC≌ ΔDEF，找出其中相等的边和角。
A
B
C
D
E
F
Δ ABC≌ ΔDEF
AB=DE BC=EF AC=DF
∠ A=∠ D ∠ B=∠E ∠ C=∠ F
知识梳理：
一个三角形可以通过平移、翻折、旋转得到它的全等形。
1、只给一个条件画三角形时，有几种可能情况？大家画出的三角形一定全等吗？
（1）一条边；
A
B
C
一条边相等的两个三角形不一定全等。
（1）一条边；（2）一个内角。
全等三角形条件的探讨：
BC =
B
C
A
B
C
（2）一个角∠ B=∠ B 。
A
B
C
A
B
C
一个内角相等的两个三角形不一定全等。
（1）三角形的一条边为3cm，一个内角为30 ；
A
B
C
3cm
30
3cm
30
D
F
E
3cm
30
P
N
M
一条边和一个内角相等的两个三角形不一定全等。
（1）一条边和一个内角；（2）两个内角；（3）两条边。
2、给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？
(2)三角形两内角分别为30 和50 ；
A
B
C
30
50
D
E
F
30
50
两个内角相等的两个三角形不一定全等。
（3）三角形的两条边分别为4cm、6cm。
A
B
C
6cm
4cm
D
E
F
6cm
4cm
两条边相等的两个三角形不一定全等。
结论：只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所
画出的三角形一定全等。
如果给出三个条件画三角形，有几种可能的情况？
1、三条边；（SSS）
2、三个角；（AAA）
3、两边一角；（SAS SSA）
4、两角一边。（ASA AAS）
有四种可能：
三个内角相等（AAA）
40
60
80
A
B
C
D
E
F
40
80
60
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等。
两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
两边和其中一边的对角（SSA)
如图：在△ABD和△ABC中
但△ABC与△ABD明显不全等
AC=AD
AB=AB
∠B=∠B
三角形全等的判定
一、边边边 （SSS）
二、边角边 (SAS)
三、角边角 (ASA)
四、角角边 ( AAS)
五、直角边和斜边 (HL)
：利用全等三角形证明线段（或角）相等
全等三角形的应用
例1：如图，直线AC、 BD交于点O，OA=OC OB=OD 直线EF过点O且分别交AB、 CD于E、F
求证：OE=OF
在△AOB和△COD中
OB=OD
∠AOB=∠COD
OA=OC
∴△AOB≌△COD （SAS）
∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等）
在△BOE和△DOF中
∠B=∠D
OB=OD
∠BOE=∠COF
∴△BOE≌△DOF （ASA）
∴OE=OF （全等三角形的对应边相等）
证明
AB=DC
AC=DB
BC=CB
证明：
在△ABC和△DCB中
如图：AB=DC，AC=DB
求证：∠ABO=∠DCO
∴ △ABC△DCB
（SSS）
∴ ∠A=∠D (全等三角形的对应角相等)
在△AOB和△DOC中
∠A=∠D
∠AOB=∠DOC
AB=CD
∴ △AOB≌△DOC
（AAS）
∴ ∠ABO=∠DCO （全等三角形的对应角相等）
在今后的学习中，如果要证明线段相等或角相等，我们首先要想到利用三角形全等这个重要途径。
巩固练习：
如图：AC⊥BC AD⊥BD ，AD=BC CE⊥AB DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：CE=DF
分析：
由已知可推出△ABC≌△BAD
要证CE=DF，需证△ACE≌△ADF，所缺条件可由△ABC≌△BAD推出
二：利用全等三角形证明线的垂直关系
证明：
例：如图：BF是Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，CD是高，BF与CD交于点E，EG∥AC交AB于G
求证：FG⊥AB
∵BF平分∠ABC
∴∠1＝∠2
∵CD⊥AB
∴∠3+∠ABC=90°
又∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠ABC=90°
∴∠3＝∠A
又∵EG∥AC
∴∠A＝∠4
∴∠3＝∠4
在△BEG与△BEC中
∠1＝∠2
∠3＝∠4
BE＝BE
∴△BEG≌△BEC
（AAS）
∴BG=BC （全等三角形的对应边相等）
在△BFG与△BFC中
BG=BC
∠1＝∠2
BF=BF
∴△BFG≌△BFC （SAS）
∴∠FGB=∠FCB=90°（全等三角形的对应角相等）
∴FG⊥AB
巩固练习：
如图：△ABC中，AD平分∠BAC，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，AD、EF交于点H
求证：AD⊥EF
三、利用全等三角形证明线段的和差问题
例：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A的任意直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E
求证：DE=BD－CE
证明：
∵∠BAC=90°
∴∠1＋∠2＝90°
∵BD⊥AN
∴∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3
又∵CE⊥AN
∴∠ADB＝∠AEC＝90°
在△ADB和△ACE中
∠1＝∠3
∠ADB＝∠ACE
AB＝AC
∴△ADB≌△ACE
（AAS）
∴AD＝CE BD＝AE （全等三角形的对应边相等）
∵DE＝AE－AD
∴DE＝BD－CE
1：个人小结：谈谈你的收获
2：作业
1、 什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？ 。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、两个全等三角形有什么特征？
两个全等三角形的对应边相等，对应角相等。
3、例：如图，已知Δ ABC≌ ΔDEF，找出其中相等的边和角。
A
B
C
D
E
F
Δ ABC≌ ΔDEF
AB=DE BC=EF AC=DF
∠ A=∠ D ∠ B=∠E ∠ C=∠ F
知识梳理：
一个三角形可以通过平移、翻折、旋转得到它的全等形。
1、只给一个条件画三角形时，有几种可能情况？大家画出的三角形一定全等吗？
（1）一条边；
A
B
C
一条边相等的两个三角形不一定全等。
（1）一条边；（2）一个内角。
全等三角形条件的探讨：
BC =
B
C
A
B
C
（2）一个角∠ B=∠ B 。
A
B
C
A
B
C
一个内角相等的两个三角形不一定全等。
（1）三角形的一条边为3cm，一个内角为30 ；
A
B
C
3cm
30
3cm
30
D
F
E
3cm
30
P
N
M
一条边和一个内角相等的两个三角形不一定全等。
（1）一条边和一个内角；（2）两个内角；（3）两条边。
2、给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？
(2)三角形两内角分别为30 和50 ；
A
B
C
30
50
D
E
F
30
50
两个内角相等的两个三角形不一定全等。
（3）三角形的两条边分别为4cm、6cm。
A
B
C
6cm
4cm
D
E
F
6cm
4cm
两条边相等的两个三角形不一定全等。
结论：只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所
画出的三角形一定全等。
如果给出三个条件画三角形，有几种可能的情况？
1、三条边；（SSS）
2、三个角；（AAA）
3、两边一角；（SAS SSA）
4、两角一边。（ASA AAS）
有四种可能：
三个内角相等（AAA）
40
60
80
A
B
C
D
E
F
40
80
60
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等。
两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
两边和其中一边的对角（SSA)
如图：在△ABD和△ABC中
但△ABC与△ABD明显不全等
AC=AD
AB=AB
∠B=∠B
三角形全等的判定
一、边边边 （SSS）
二、边角边 (SAS)
三、角边角 (ASA)
四、角角边 ( AAS)
五、直角边和斜边 (HL)
：利用全等三角形证明线段（或角）相等
全等三角形的应用
例1：如图，直线AC、 BD交于点O，OA=OC OB=OD 直线EF过点O且分别交AB、 CD于E、F
求证：OE=OF
在△AOB和△COD中
OB=OD
∠AOB=∠COD
OA=OC
∴△AOB≌△COD （SAS）
∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等）
在△BOE和△DOF中
∠B=∠D
OB=OD
∠BOE=∠COF
∴△BOE≌△DOF （ASA）
∴OE=OF （全等三角形的对应边相等）
证明
AB=DC
AC=DB
BC=CB
证明：
在△ABC和△DCB中
如图：AB=DC，AC=DB
求证：∠ABO=∠DCO
∴ △ABC△DCB
（SSS）
∴ ∠A=∠D (全等三角形的对应角相等)
在△AOB和△DOC中
∠A=∠D
∠AOB=∠DOC
AB=CD
∴ △AOB≌△DOC
（AAS）
∴ ∠ABO=∠DCO （全等三角形的对应角相等）
在今后的学习中，如果要证明线段相等或角相等，我们首先要想到利用三角形全等这个重要途径。
巩固练习：
如图：AC⊥BC AD⊥BD ，AD=BC CE⊥AB DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：CE=DF
分析：
由已知可推出△ABC≌△BAD
要证CE=DF，需证△ACE≌△ADF，所缺条件可由△ABC≌△BAD推出
二：利用全等三角形证明线的垂直关系
证明：
例：如图：BF是Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，CD是高，BF与CD交于点E，EG∥AC交AB于G
求证：FG⊥AB
∵BF平分∠ABC
∴∠1＝∠2
∵CD⊥AB
∴∠3+∠ABC=90°
又∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠ABC=90°
∴∠3＝∠A
又∵EG∥AC
∴∠A＝∠4
∴∠3＝∠4
在△BEG与△BEC中
∠1＝∠2
∠3＝∠4
BE＝BE
∴△BEG≌△BEC
（AAS）
∴BG=BC （全等三角形的对应边相等）
在△BFG与△BFC中
BG=BC
∠1＝∠2
BF=BF
∴△BFG≌△BFC （SAS）
∴∠FGB=∠FCB=90°（全等三角形的对应角相等）
∴FG⊥AB
巩固练习：
如图：△ABC中，AD平分∠BAC，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，AD、EF交于点H
求证：AD⊥EF
三、利用全等三角形证明线段的和差问题
例：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A的任意直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E
求证：DE=BD－CE
证明：
∵∠BAC=90°
∴∠1＋∠2＝90°
∵BD⊥AN
∴∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3
又∵CE⊥AN
∴∠ADB＝∠AEC＝90°
在△ADB和△ACE中
∠1＝∠3
∠ADB＝∠ACE
AB＝AC
∴△ADB≌△ACE
（AAS）
∴AD＝CE BD＝AE （全等三角形的对应边相等）
∵DE＝AE－AD
∴DE＝BD－CE
1：个人小结：谈谈你的收获
2：作业