人教版八年级数学上册同步练习：12.2　三角形全等的判定(四)(HL)(word版，含答案)

12.2　三角形全等的判定(四)(HL)
一、选择题
1.如图,已知AC⊥BD,垂足为O,AO=CO,AB=CD,则可得到Rt△AOB≌Rt△COD,理由是(　　)
A.HL
B.SAS
C.ASA
D.SSS
2.如图所示,已知∠C=∠D=90°,添加下列选项中的一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的是
(　　)
A.AC=AD
B.AB=AB
C.∠ABC=∠ABD
D.∠BAC=∠BAD
3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是
(　　)
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一条直角边和它所对的锐角分别相等
D.一个锐角和与这个锐角相邻的直角边分别相等
4.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是
(　　)
A.AC=A'C',∠B=∠B'
B.∠A=∠A',∠B=∠B'
C.AB=A'B',AC=A'C'
D.AB=A'B',∠A=∠A'
二、填空题
5.如图,AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别是C,D,若要用“HL”得到
Rt△ABC≌Rt△BAD,则应添加的条件是　　　　.(写一个即可)?
三、解答题
6.如图,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE.求证:AB∥CD.
7.求证:一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
8.如图,AC⊥BC于点C,AD⊥BD于点D,AD=BC,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,那么CE与DF相等吗?为什么?
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且DB=DF.
(1)求证:CF=EB;
(2)请你判断AE,AF与EB之间的数量关系,并说明理由.
10.工人师傅用三角尺按下列方法画角平分线:在∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再用两个全等的三角尺按图所示方式摆放,两直角边的交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.请你说明其中的道理.
11.小明、小敏两人一起做数学作业,小敏把题读到“如图12-2-42①所示,CD⊥AB,BE⊥AC”时,还没把题读完,就说:“这题一定是求证∠B=∠C,也太容易了.”她的证法是:由CD⊥AB,
BE⊥AC,得∠ADC=∠AEB=90°,公共角∠DAC=∠EAB,所以△DAC≌△EAB.由全等三角形的对应角相等,得∠B=∠C.
小明说:“小敏你错了,你未弄清本题的条件和结论,即使有CD⊥AB,BE⊥AC,公共角∠DAC=
∠EAB这些条件,你的推理也是错误的.看我画的图②,显然△DAC与△EAB是不全等的.再说本题不是要证明∠B=∠C,而是要证明BE=CD.”
(1)根据小敏所读的题,能判定“∠B=∠C”吗?她的推理正确吗?若不正确,请你进行正确的推理;
(2)根据小明说的,要证明BE=CD,必然是小敏丢了题中条件,请你把小敏丢的条件找回来,并根据找出的条件,写出证明BE=CD的过程;
(3)要判定两个三角形全等,从这个问题中你得到了什么启发?
答案
1.A　2.A　3.B
4.B　
5.答案不唯一,如AC=BD或BC=AD
6.证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵BF=DE,∴BF+EF=DE+EF,即BE=DF.
在Rt△AEB和Rt△CFD中,
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL).∴∠B=∠D.
∴AB∥CD.
7.解:已知:如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠E=90°,BC=EF,CM为△ABC的AB边上的中线,FN为△DEF的DE边上的中线,且CM=FN.
求证:△ABC≌△DEF.
证明:在Rt△BCM和Rt△EFN中,
∴Rt△BCM≌Rt△EFN(HL).
∴BM=EN.
∵CM为△ABC的AB边上的中线,FN为△DEF的DE边上的中线,
∴AB=DE.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
即一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
8.解:CE=DF.
理由:∵AC⊥BC,AD⊥BD,
∴∠ACB=∠BDA=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴AC=BD,∠CAB=∠DBA.
∵CE⊥AB,DF⊥AB,
∴∠CEA=∠DFB=90°.
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(AAS).
∴CE=DF.
9.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠EAD.
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°=∠C.
在△ACD和△AED中,
∴△ACD≌△AED.
∴DC=DE.
在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△DCF≌Rt△DEB.
∴CF=EB.
(2)AF+EB=AE.
理由:∵△ACD≌△AED,
∴AC=AE,
即AF+CF=AE.
又∵CF=EB,
∴AF+EB=AE.
10.解:由题意得∠OMP=∠ONP=90°.
在Rt△OPM和Rt△OPN中,
∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL).
∴∠POM=∠PON,即OP平分∠AOB.
11.解:(1)能判定∠B=∠C,小敏的推理不正确.
正确的推理:由CD⊥AB,BE⊥AC,得∠ADC=∠AEB=90°.∵公共角∠DAC=∠EAB,且∠B=90°-
∠EAB,∠C=90°-∠DAC,∴∠B=∠C.
(2)答案不唯一,如丢的条件为AB=AC.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°.
在△DAC和△EAB中,
∴△DAC≌△EAB(AAS).∴BE=CD.
(3)要判定两个三角形全等,不可缺少的元素是边,已知条件中至少要有一组边对应相等.