2019-2020学年江西省上饶市高一下学期期末数学试卷（理科） （word解析版）

2019-2020学年江西省上饶市高一第二学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．函数f（x）＝cos（x﹣）的最小正周期为（　　）
A．π B．2π C． D．
2．已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2﹣2x﹣1＜0}，则集合M∩N＝（　　）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2 }
3．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（　　）
A．a﹣b＞c﹣d B．a+c＞b+d C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d
4．已知数列{an}中，an﹣an﹣1＝3（n≥2，n∈N+），且a2＝1，则a10＝（　　）
A．25 B．26 C．27 D．28
5．以点A（3，﹣1），B（﹣2，2）所连线段为直径的圆的方程是（　　）
A．x2+y2﹣x﹣y﹣9＝0 B．x2+y2﹣x﹣y﹣8＝0
C．x2+y2+x+y﹣9＝0 D．x2+y2+x+y﹣8＝0
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4a2+10a1，a5＝9，则a1＝（　　）
A． B． C． D．
7．将函数y＝sin（x+）的图象向左平移个单位长度，再将其横坐标伸长到原来的2倍得到函数y＝g（x）的图象，则（　　）
A． B．
C． D．
8．若tan（α﹣）＝2，则tanα＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
9．设x，y∈R，且x+y＝3，则2x+2y的最小值为（　　）
A．6 B． C． D．
10．若sin（﹣α）＝，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
11．若当x＝θ时，函数f（x）＝sinx+2cosx取得最大值，则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
12．已知A是函数f（x）＝的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A?|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知sinα﹣cosα＝，那么sin2α＝　 　．
14．若点M（m，m﹣1）在圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0内，则实数m的取值范围为　 　．
15．函数在[0，π]的零点个数为　 　．
16．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝，an+1+SnSn+1＝0，则S2020＝　 　．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）化简：；
（2）已知，其中，求α+β的值．
18．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足a3＝11，S9＝63．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn的最大值．
19．函数的一段图象如图所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合．
20．已知函数图象的任意两条对称轴间距离的最小值为．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在上的值域．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点坐标分别是，记△ABC外接圆为圆M．
（1）求圆M的方程；
（2）在圆M上是否存在点P，使得|PB|2﹣|PA|2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．
22．已知函数g（x）＝ax2﹣2x+1+b，不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}．设．
（1）若存在x0∈[1，3]，使不等式f（x0）≥m成立，求实数m的取值范围；
（2）若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．函数f（x）＝cos（x﹣）的最小正周期为（　　）
A．π B．2π C． D．
【分析】直接利用y＝Acos（ωx+φ）型函数的周期公式求解．
解：∵f（x）＝cos（x﹣），
∴T＝．
故选：B．
2．已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2﹣2x﹣1＜0}，则集合M∩N＝（　　）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2 }
【分析】化简集合N，然后求M∩N．
解：N＝{x|x2﹣2x﹣1＜0}＝{x|1﹣＜x＜1+}，
则集合M∩N＝{x|0≤x＜2}，
故选：C．
3．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（　　）
A．a﹣b＞c﹣d B．a+c＞b+d C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d
【分析】根据a＞b，c＞d即可判断选项B，C，D都成立，而选项A显然不一定成立，从而得出正确的选项．
解：∵a＞b，c＞d，
∴a+c＞b+d，a﹣c＞b﹣c，﹣c＜﹣d，a﹣c＜a﹣d，a﹣b＞c﹣d不一定成立．
故选：A．
4．已知数列{an}中，an﹣an﹣1＝3（n≥2，n∈N+），且a2＝1，则a10＝（　　）
A．25 B．26 C．27 D．28
【分析】由题意利用等差数列的定义和通项公式，求出公差，可得要求的a10的值．
解：数列{an}中，an﹣an﹣1＝3（n≥2，n∈N+），且a2＝1，
故该数列为等差数列，公差为d＝3．
则a10＝a2+8d＝1+24＝25，
故选：A．
5．以点A（3，﹣1），B（﹣2，2）所连线段为直径的圆的方程是（　　）
A．x2+y2﹣x﹣y﹣9＝0 B．x2+y2﹣x﹣y﹣8＝0
C．x2+y2+x+y﹣9＝0 D．x2+y2+x+y﹣8＝0
【分析】先求出A，B两点间中点坐标即为圆心坐标，然后根据两点间的距离公式求出AB间的距离即为圆的直径，从而可得到圆的半径，确定圆的方程．
解：由题意可知A，B的中点为圆心，故圆心为（，），
AB之间的距离等于直径：＝，
圆的半径为，
所求圆的方程为：（x﹣）2+（y﹣）2＝．
即x2+y2﹣x﹣y﹣8＝0．
故选：B．
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4a2+10a1，a5＝9，则a1＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由S2＝4a2+10a1变形分析可得1+q＝4q+10，解可得q的值，由等比数列的通项公式分析可得答案．
解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若S2＝4a2+10a1，则a1+a2＝4a2+10a1，则有1+q＝4q+10，
解可得q＝﹣3，
又由a5＝9，则a1＝＝＝；
故选：C．
7．将函数y＝sin（x+）的图象向左平移个单位长度，再将其横坐标伸长到原来的2倍得到函数y＝g（x）的图象，则（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先利用平移变换得到y＝sin（x+），再把x的系数乘以得答案．
解：将函数y＝sin（x+）的图象向左平移个单位长度，
得到图象所对应的函数解析式为y＝sin（x++）＝sin（x+），
再将其横坐标伸长到原来的2倍得到函数y＝g（x）的图象，
则g（x）＝sin（x+）．
故选：A．
8．若tan（α﹣）＝2，则tanα＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】与已知结合tanα＝tan[（）+]，展开两角和的正切求解．
解：∵tan（α﹣）＝2，
∴tanα＝tan[（）+]＝＝．
故选：B．
9．设x，y∈R，且x+y＝3，则2x+2y的最小值为（　　）
A．6 B． C． D．
【分析】先判断 2x与3y的符号，利用基本不等式建立关系，结合x+y＝3，可求出 2x+3y 的最小值．
解：由2x＞0，2y＞0，
∴2x+3y≥2 ＝4 ，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
所以3x+2y的最小值为4，
故选：B．
10．若sin（﹣α）＝，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得sin2α的值．
解：sin（﹣α）＝，则sin2α＝cos（﹣2α）＝1﹣2＝1﹣2×＝，
故选：C．
11．若当x＝θ时，函数f（x）＝sinx+2cosx取得最大值，则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先利用三角函数关系式的变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用三角函数的性质的应用和诱导公式的应用求出结果．
解：函数f（x）＝sinx+2cosx＝＝sin（x+α）且（tanα＝2），
当x+（k∈Z）时，即时，函数取得最大值，
即当（k∈Z）
根据诱导公式，＝sinα＝．
故选：D．
12．已知A是函数f（x）＝的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A?|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期，最后求出最小值．
解：，
＝，
＝]，
＝，
＝．
所以，
存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
所以．
则A?|x1﹣x2|的最小值为．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知sinα﹣cosα＝，那么sin2α＝　　．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式的正弦公式，求得sin2α的值．
解：∵sinα﹣cosα＝，∴1﹣2sinαcosα＝，即 1﹣sin2α＝，
那么sin2α＝，
故答案为：．
14．若点M（m，m﹣1）在圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0内，则实数m的取值范围为　（﹣1，1）　．
【分析】由题意，把M的坐标代入圆的方程的左边，可得m2+（m﹣1）2﹣2m+4（m﹣1）+1＜0，求解得答案．
解：∵点M（m，m﹣1）在圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0内，
∴m2+（m﹣1）2﹣2m+4（m﹣1）+1＜0，
即m2＜1，则﹣1＜m＜1．
∴m的取值范围是（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
15．函数在[0，π]的零点个数为　3　．
【分析】由正弦函数的图象可知，3x+＝kπ，k∈Z，解出x的值，并结合x∈[0，π]即可得解．
解：令3x+＝kπ，k∈Z，则x＝+，k∈Z，
因为x∈[0，π]，所以k＝1，2，3，分别对应着零点x＝，，，共3个零点．
故答案为：3．
16．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝，an+1+SnSn+1＝0，则S2020＝　　．
【分析】根据递推关系得到{}是首项为2，公差为1的等差数列；进而求解结论．
解：由an+1+SnSn+1＝0可得Sn+1﹣Sn+SnSn+1＝0，
∵a1＝＝S1≠0；
∴﹣＝1；
即{}是首项为2，公差为1 的等差数列；
故＝2+（n﹣1）×1＝n+1；
∴S2020＝＝．
故答案为：．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）化简：；
（2）已知，其中，求α+β的值．
【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式化简求值；
（2）由已知利用两角和的正切求得tan（α+β），再由α，β的范围求得α+β的范围，则答案可求．
解：（1）＝；
（2）∵，
∴tan（α+β）＝＝．
又，∴α+β∈（，）．
∴α+β＝．
18．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足a3＝11，S9＝63．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn的最大值．
【分析】（1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出a1＝15，d＝﹣2，由此能求出an．
（2）求出＝﹣n2+16n＝﹣（n﹣8）2+64．从而n＝8时，Sn取最大值64．
解：（1）∵Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足a3＝11，S9＝63．
∴，
解得a1＝15，d＝﹣2，
∴an＝15+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+17．
（2）＝＝﹣n2+16n＝﹣（n﹣8）2+64．
∴n＝8时，Sn取最大值64．
19．函数的一段图象如图所示：
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合．
【分析】（1）由图象直接得到振幅A和周期，利用周期公式可求ω，然后根据五点作图法求得φ，则函数解析式可求；
（2）利用正弦函数的单调性和对称性即可求解f（x）的单调增区间，可求f（x）的最大值及取到最大值时x的集合．
解：（1）由图象可以得到函数f（x）的振幅A＝3，
设函数周期为T，则T＝＝﹣，
所以解得ω＝，
由五点作图法可得：+φ＝2kπ，k∈Z，
由于|φ|，
所以φ＝﹣，
所以f（x）＝3sin（x﹣）．
（2）令﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ （k∈Z），解得：4kπ﹣≤x≤4kπ+π，（k∈Z），
所以函数的增区间为[4kπ﹣，4kπ+π]，k∈Z．
由于函数f（x）的最大值为3，当且仅当x﹣＝+2kπ，（k∈Z），
即x＝+4kπ （k∈Z）时函数取得最大值．
所以函数的最大值为3，取得最大值时的x的集合为{x|x＝4kπ+，k∈Z}．
20．已知函数图象的任意两条对称轴间距离的最小值为．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在上的值域．
【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，利用已知求得周期，再由周期公式求解ω的值；
（2）由x的范围求得2x的范围，进一步求得函数的值域．
解：（1）
＝＝
＝．
由题意可知，f（x）的最小正周期为π，则，即ω＝1；
（2）由（1）知，f（x）＝．
当x∈（，）时，2x∈（，）．
知sin（2x﹣）∈（，1]．
故函数f（x）在在上的值域为（﹣1，2]．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点坐标分别是，记△ABC外接圆为圆M．
（1）求圆M的方程；
（2）在圆M上是否存在点P，使得|PB|2﹣|PA|2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设出△ABC外接圆M的一般式方程，代入点的坐标，求解D，E，F的最值，可得圆M的方程；
（2）设点P（x，y），由|PB|2﹣|PA|2＝12，可得P的轨迹为一条直线，再由圆M的圆心到直线的距离小于圆的半径，可得在圆M上存在两个点P，使得|PB|2﹣|PA|2＝12．
解：（1）设△ABC外接圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
将代入，
得，解得．
∴圆M的方程为x2+y2﹣6x＝0；
（2）设点P（x，y），
∵|PB|2﹣|PA|2＝12，∴（x﹣3）2+（y﹣3）2﹣x2﹣y2＝12，
化简得：x+y﹣1＝0．
化圆M：x2+y2﹣6x＝0为（x﹣3）2+y2＝9，
圆心M（3，0），半径为3．
∵圆M的圆心到直线x+y﹣1＝0的距离d＝＜3．
∴直线x+y﹣1＝0与圆M相交，
故满足条件的点P有两个．
22．已知函数g（x）＝ax2﹣2x+1+b，不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}．设．
（1）若存在x0∈[1，3]，使不等式f（x0）≥m成立，求实数m的取值范围；
（2）若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【分析】（1）由方程ax2﹣2x+1+b＝0的两个实根为﹣1，3，求得a，b，即可得f（x）．原问题等价于在x0∈[1，3]有解；
（2）方程?|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（2k﹣3）＝0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|＝t，则t2﹣（2+3k）t+（2k﹣3）＝0（t≠0），构造函数h（t）＝t2﹣（2+3k）t+（2k﹣3），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．
解：（1）∵不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}．
即方程ax2﹣2x+1+b＝0的两个实根为﹣1，3，
∴，解得，
∴g（x）＝x2﹣2x﹣3．
则＝，．
∴存在x0∈[1，3]，使不等式f（x0）≥m成立，等价于在x0∈[1，3]有解，
函数在[1，3]上单调递增，f（x）max＝f（3）＝0，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，0]；
（2）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k＝0可化为：
|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（﹣3+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，
令|2x﹣1|＝t，则方程化为：
t2﹣（2+3k）t+（﹣3+2k）＝0（t≠0），
∵方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k＝0有三个不同的实数解，
∴由t＝|2x﹣1|的图象知，
t2﹣（2+3k）t+（2k﹣3）＝0（t≠0），有两个根t1、t2，
且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1．
记h（t）＝t2﹣（2+3k）t+（﹣3+2k），
?k＞，
或?t∈?，
∴实数k的取值范围为（，+∞）．