(共36张PPT)
第一
章
§
1.1
空间几何体的结构
第1课时
多面体的结构特征
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；
2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；
3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念
思考 观察下面两组物体，你能说出各组物体的共同点吗？
答案
答案 几何体的表面由若干个平面多边形围成.
答案
几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成.
答案
1.空间几何体的定义及分类
(1)定义：如果只考虑物体的
和
，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的
叫做空间几何体.
(2)分类：常见的空间几何体有
与
两类.
2.多面体与旋转体
答案
类别
多面体
旋转体
定义
由若干个
围成的几何体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条
旋转所形成的封闭几何体
形状
大小
空间图形
多面体
旋转体
平面多边形
定直线
答案
图形
相关概念
面：围成多面体的各个
棱：相邻两个面的
顶点：棱与棱的公共点
轴：形成旋转体所绕的
多边形
定直线
公共边
知识点二 棱柱的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
答案
答案 (1)有两个面相互平行；
(2)其余各面都是平行四边形；
(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
棱柱的定义、分类、图示及其表示
答案
棱柱
图形及表示
定义：有两个面
，其余各面都是
，并且每相邻两个四边形的公共边都
，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
如图棱柱可记作：
棱柱
相关概念：
底面(底)：两个互相
的面
侧面：
侧棱：相邻侧面的
顶点：
的公共顶点
互相平行
四边形
互相平行
平行
其余各面
公共边
侧面与底面
ABCDEF—
A′B′C′D′E′F′
答案
分类：
①依据：底面多边形的
②类例：
(底面是三角形)、
(底面是四边形)……
如图棱柱可记作：
棱柱
边数
三棱柱
四棱柱
ABCDEF—
A′B′C′D′E′F′
知识点三 棱锥的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
答案
答案 (1)有一个面是多边形；
(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
答案
棱锥的定义、分类、图形及表示
棱锥
图形及表示
定义：有一个面是
，其余各面都是
的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
相关概念：棱锥的底面(底)：_______面
棱锥的侧面：有
的各个三角形面
棱锥的侧棱：相邻侧面的
棱锥的顶点：各侧面的
分类：①依据：底面多边形的边数
②举例：
(底面是三角形)、
(底面是四边形)……
如图棱锥可记作：
棱锥
多边形
有一个公
共顶点
多边形
公共顶点
公共边
公共顶点
三棱锥
四棱锥
S???-ABCD
答案
知识点四 棱台的结构特征
思考 观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？
答案 (1)区别：有两个面相互平行.
(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体.
棱台的定义、分类、图形及表示
答案
棱台
图形及表示
定义：用一个
的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
相关概念：上底面：原棱锥的
下底面：原棱锥的
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的
顶点：
的公共顶点
分类：①依据：由几棱锥截得
②举例：
(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……
如图棱台可记作：
棱台ABCD?A′B′C′D′
平行于棱锥底面
截面
底面
公共边
侧面与上(下)底面
三棱台
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 棱柱的结构特征
例1 试判断下列说法是否正确：
(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；
解
正确.
由棱柱的定义可知，棱柱的侧棱互相平行且相等，且各侧面都是平行四边形.
解析答案
反思与感悟
(2)棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形.
解 错误.
如长方体中相对侧面互相平行.
反思与感悟
概念辨析题常用方法：(1)利用常见几何体举反例；(2)从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断.
跟踪训练1 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体.
解 这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱.
解析答案
(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形.
解
该几何体是六棱柱.
类型二 棱锥的结构特征
例2 如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征.在立体图中画出截面.
解析答案
反思与感悟
解 (1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，
∴这个几何体不是棱柱.
(2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；
在BB1上取F点，使BF＝2；
连接C1E、EF、C1F，
则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，
其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；
截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F，
该几何体的特征为：有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
反思与感悟
反思与感悟
认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开.
跟踪训练2 试从如图正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
解析答案
解 如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一).
解析答案
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
解 如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一).
解
如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一).
(3)三棱柱.
解析答案
类型三 棱台的结构特征
例3 有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
解析 ①中的平面不一定平行于底面，故①错；
②③可用反例去检验，如图所示，故②③错.
答案 A
反思与感悟
一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何体是否为棱台的依据.
返回
跟踪训练3 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4、8的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为，求四棱台的高.
解析答案
解 如图，在截面ACC1A1中，A1A＝CC1＝，A1C1＝4
，AC＝8
，
过A1作A1E⊥AC交AC于点E.
在Rt△A1EA中，AE＝
(8
－4
)＝2
A1A＝
，
∴A1E＝＝
＝3
，
即四棱台的高为3.
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
1.下列说法中正确的是( )
A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
解析 棱柱的两底面互相平行，故A正确；
棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；
立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；
由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.
答案 A
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2.下列说法中，正确的是( )
A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由
这些面所围成的几何体是棱锥
B.棱柱的底面一定是平行四边形
C.棱锥的底面一定是三角形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
A
答案
1
2
3
4
5
3.下列说法错误的是( )
A.多面体至少有四个面
B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.
D
解析答案
1
2
3
4
5
解析答案
4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A.棱柱
B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体
D.不能确定
解析 形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义.
A
1
2
3
4
5
解析答案
5.对棱柱而言，下列说法正确的序号是________.
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等.③棱柱中至少有2个面的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫做侧棱.
解析 ①正确，根据棱柱的定义可知；
②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；
③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；
④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.
①③
规律与方法
1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.
2.各种棱柱之间的关系
(1)棱柱的分类
棱柱
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
3.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称
底面
侧面
侧棱
高
平行于底面的截面
棱柱
斜棱柱
平行且全等的两个多边形
平行四边形
平行且相等
?
与底面全等
直棱柱
平行且全等的两个多边形
矩形
平行、相等且垂直于底面
等于侧棱
与底面全等
正棱柱
平行且全等的两个正多边形
全等的矩形
平行、相等且垂直于底面
等于侧棱
与底面全等
棱锥
正棱锥
一个正多边形
全等的等腰三角形
有一个公共顶点且相等
过底面中心
与底面相似
其他棱锥
一个多边形
三角形
有一个公共顶点
?
与底面相似
棱台
正棱台
平行且相似的两个正多边形
全等的等腰梯形
相等且延长后交于一点
?
与底面相似
其他棱台
平行且相似的两个多边形
梯形
延长后交于一点
?
与底面相似
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第一章
§
1.1
空间几何体的结构
第2课时 旋转体与简单组合体
的结构特征
1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体；
2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 圆柱
思考 观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？
答案 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．
答案
圆柱的结构特征
答案
圆柱
图形及表示
定义：以
所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图中圆柱表示为：
相关概念：
圆柱的轴：
圆柱的底面：
的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：
的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，
的边
矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
不垂
直于轴
圆柱O′O
知识点二 圆锥
思考 仿照圆柱的定义，你能定义什么是圆锥吗？
答案 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体．
答案
答案
圆锥的结构特征
圆锥
图形及表示
定义：以直角三角形的
所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体
图中圆锥表示
为
相关概念：
圆锥的轴：
圆锥的底面：
的边旋转而成的
侧面：直角三角形的
边旋转而成的
母线：无论旋转到什么位置
，不垂直于轴的边
一条直角边
旋转轴
垂直于轴
圆面
斜
曲面
圆锥SO
知识点三 圆台
思考 下图中的物体叫做圆台，也是旋转体，它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台、圆台还可以怎样得到呢？
答案
答案 (1)圆台可以是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体．
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴，各边旋转180°形成的面所围成的几何体．
(3)类比棱台的定义圆台还可以如下得到：
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
答案
圆台的结构特征
圆台
图形及表示
定义：用
的平面去截圆锥，
之间的部分叫做圆台
旋转法定义：以直角梯形中
所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台
图中圆台表示为：
相关概念：
圆台的轴：
圆台的底面：
的边旋转一周所形成的圆面
圆台的侧面：
的边旋转一周所形成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
平行于圆锥底面
底面和截面
垂直于底边的腰
旋转轴
垂直于轴
不垂直于轴
圆台O′O
知识点四 球
思考 球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？
答案 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体．
答案
球的结构特征
球
图形及表示
定义：以
所在直线为旋转轴，
旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
图中的球表示为：
相关概念：
球心：半圆的
半径：半圆的
直径：半圆的
答案
半圆的直径
半圆面
圆心
半径
直径
球O
知识点五 简单组合体
答案
思考 下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？
答案 这两个几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体，而是由柱、锥、台、球体中的两种或三种组合而成的几何体．
返回
答案
简单组合体
(1)概念：由
组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．
(2)基本形式：一种是由简单几何体
而成，另一种是由简单几何体
或
一部分而成．
简单几何体
拼接
截去
挖去
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 旋转体的结构特征
例1 判断下列各命题是否正确：
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
解 错．
由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
解析答案
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
解 错．
直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
解析答案
(3)圆锥、圆台中经过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的旋转轴截面是等腰梯形；
反思与感悟
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
解 正确．
解 错．
应为球面．
解析答案
反思与感悟
辨析几何体的结构特征，一要准确理解空间几何体的定义，准确掌握其结构特征；二要多观察实物，提高空间想象能力．
跟踪训练1 下列叙述中正确的个数是( )
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析答案
答案
A
解析 ①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到
圆锥；
②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；
③它们的底面为圆面；
④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台．
故四种说法全不正确．
类型二 旋转体中的计算问题
例2 用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3
cm，求圆台的母线长．
解析答案
解 设圆台的母线长为l，
截得圆台的上、下底面半径分别为r
，
4r.
根据相似三角形的性质得，
解得l＝9
cm.
所以，圆台的母线长为9
cm.
反思与感悟
反思与感悟
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．
跟踪训练2 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．
解析答案
解 将圆台还原为圆锥，如图所示．
O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，
V是圆锥的顶点，
令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
则
所以
即h1∶h2＝2∶1.
类型三 组合体的结构特征
例3 描述下列几何体的结构特征．
解析答案
反思与感悟
解 图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；
图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；
图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．
反思与感悟
组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．
跟踪训练3 (1)下图中的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体割去一个四棱柱构成．
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成．
③由一个长方体挖去一个四棱台构成．
④由一个长方体与两个四棱台组合而成.
其中正确说法的序号是________.
①②
答案
返回
(2)观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．
答案 图1是由圆柱中挖去圆台形成的，
图2是由球、棱柱、棱台组合而成的.
答案
1
2
3
达标检测
4
1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )
D
答案
1
2
3
4
解析答案
2.下列说法正确的是( )
A.圆锥的母线长等于底面圆直径
B.圆柱的母线与轴垂直
C.圆台的母线与轴平行
D.球的直径必过球心
D
解析 圆锥的母线长与底面直径无联系；
圆柱的母线与轴平行；
圆台的母线与轴不平行.
1
2
3
4
3.下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A.圆台
B.球
C.圆柱
D.棱柱
解析 截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球.
B
解析答案
1
2
3
4
解析答案
4.如图所示的(1)、(2)图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
解 图(1)、图(2)旋转后的图形草图分别是如图①、②所示.
其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；
图②是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的.
规律与方法
1.本节所学几何体的类型
几何体
2.注意两点
(1)圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台.
(2)球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间.
返回
