(共29张PPT)
第一章
§
1.2
空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图
1.了解投影、中心投影和平行投影的概念；
2.能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 投影的概念
思考 由下图你能说出影子是怎样得到的吗？
答案 光照射到不透明物体(比如手)上，在后面的屏幕上留下影子.
答案
(1)定义：由于光的照射，在
物体后面的屏幕上可以留下这个物体的
，这种现象叫做投影.
(2)投影线：
.
(3)投影面：
.
答案
知识点二 投影的分类
投影
定义
特征
分类
中心投影
光由
向外散射形成的投影
投影线
?
平行投影
在一束
照射下形成的投影
投影线
和
不透明
影子
光线
留下物体影子的屏幕
一点
平行光线
交于一点
平行
正投影
斜投影
知识点三 三视图
思考 如梦似幻！——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象.假如你站在水立方入口处的正前方或在“水立方”的左侧看水立方，你看到的是什么？若你在“水立方”的正上方观察水立方看到什么？
根据上述三个方向观察到的平面，能否画出“水立方”的形状？
答案
答案 “水立方”的一个侧面.
“水立方”的一个表面.
可以.
三视图的分类及画法
(1)分类：正视图、侧视图、俯视图
(2)三视图的画法规则
①
视图都反映物体的长度——“长对正”；
②
视图都反映物体的高度——“高平齐”；
③
视图都反映物体的宽度——“宽相等”.
(3)三视图的排列顺序：先画正视图，侧视图在正视图的
，俯视图在正视图的
.
答案
正、俯
正、侧
俯、侧
右边
下边
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 平行投影与中心投影
例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________.(填序号)
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
解析 要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，
只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，
再顺次连接即得在该面上的投影，
并且在两个平行平面上的投影是相同的.
可得在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图①；
在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图②；
在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图③.
答案 ①②③
反思与感悟
画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.
跟踪训练1 如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的________.
解析答案
解析 四边形BFD′E在正方体ABCD－A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是③；
在面DCC′D′上的投影是②；
同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也全是②.
答案 ②③
类型二 柱、锥、台、球的三视图
例2 画出图中棱柱的三视图(不考虑尺寸).
解析答案
反思与感悟
解 此棱柱的上、下底面是全等的两个等腰梯形，各侧面均是矩形.
从正面看它的轮廓是一个矩形，有两条不可见侧棱，
从侧面看它的轮廓是一个矩形，从上向下看它的轮廓是一个梯形.
可见轮廓线用实线，不可见侧棱用虚线画出，它的三视图如图所示.
反思与感悟
在三视图中，被遮挡的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出.
确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.
跟踪训练2 (1)如图，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，与甲乙丙相对应的标号是( )
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
A.③①②
B.①②③
C.③②④
D.④②③
D
答案
(2)画出如图所示的正三棱柱和正五棱台的三视图.
解析答案
解 如图①为正三棱柱的三视图，
如图②为正五棱台的三视图.
类型三 简单组合体的三视图
例3 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图.
解析答案
解 三视图如下：
反思与感悟
反思与感悟
(1)在画三视图时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)侧(视图)宽相等.
(2)习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方.
跟踪训练3 (1)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
解析答案
解析 根据几何体的三视图知识求解.
由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.
D
(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析答案
解析 由侧视图的定义可得.
D
类型四 将三视图还原成几何体
解析答案
例4 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.
解 几何体为三棱台，结构特征如下图：
反思与感悟
通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练4 下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状.
解 物体的形状如下图所示：
返回
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是( )
解析 由正投影的定义知，
点M，N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1，DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确.
A
1
2
3
4
5
解析答案
2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
解析 将三视图还原为几何体即可.
如图，几何体为三棱柱.
B
1
2
3
4
5
3.将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
解析 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.
D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.
B
解析答案
1
2
3
4
5
解析答案
4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.
D
1
2
3
4
5
解析答案
5.如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的投影是底面正方形的中心，试画出其三视图.
解 所给四棱锥的三视图如图所示：
规律与方法
1.三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.
2.几何体的三视图的画法为：先画出的两条互相垂直的辅助坐标轴，在第二象限画出正视图；根据“正、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图；根据“正、侧两图高平齐”的原则，在第一象限画出侧视图.
3.看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线.
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第一章
§
1.2
空间几何体的三视图和直观图
1.2.3 空间几何体的直观图
1.掌握斜二测画法的作图规则；
2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点 斜二测画法
思考1 边长2
cm的正方形ABCD
水平放置的直观图如下，在直
观图中，A′B′与C′D′有
何关系？A′D′与B′C′呢？
在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？
答案 A′B′∥C′D′，
A′D′∥B′C′，
A′B′＝AB，
答案
思考2 正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？
答案
答案
没有都画成正方形.
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则
答案
保持原长度不变
一半
45°
135°
y′轴的线段
x′轴或
水平面
2.立体图形直观图的画法规则
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度
，其他同平面图形的画法.
答案
不变
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 水平放置的平面图形的画法
例1 用斜二测画法画边长为4
cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
解 (1)如图①所示，
以BC边所在的直线为x轴，
以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
连接A′B′，A′C′，
则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
反思与感悟
此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图.要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便.
跟踪训练1 将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？
解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为y轴，
以BC边上的高AO所在的直线为x轴.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′A′＝OA，
在y′轴上截取O′B′＝O′C′＝
OC＝1
cm，
连接A′B′，A′C′，
则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
显然与例1中的既不全等也不相似.
解析答案
类型二 简单几何体的直观图
例2 已知某几何体的三视图如图，请画出它的直观图(单位：cm).
解析答案
反思与感悟
解析答案
解 画法：(1)如图1，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)以O为原点，
在x轴上取线段OB＝8
cm，
在y轴上取线段OA′＝2
cm，
以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.
反思与感悟
反思与感悟
(3)在z轴上取线段OC＝4
cm，
过C分别作x轴、y轴的平行线，
并在平行线上分别截取CD＝4
cm，CC′＝2
cm.
以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.
(4)成图.
连接A′C′，BD，B′D′，
并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，
就得到几何体的直观图(如图2).
反思与感悟
直观图中应遵循的基本原则：
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；
(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.
跟踪训练2 已知几何体的三视图如下图所示，用斜二测法画出它的直观图.
解析答案
解 如图，(1)画轴.
画x轴、y轴、z轴，三轴交于O点，
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.
以O点为中心点，
在x轴上取线段MN，使它等于俯视图的长，
在y轴上取线段PQ等于俯视图宽的一半，
分别过M，N作y轴的平行线，过P，Q作x轴的平行线，
设它们的交点分别为：A，B，C，D，
则四边形ABCD是长方体的下底面.
解析答案
(3)画侧棱.
过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，
并在平行线上分别截取AA1，BB1，CC1，
DD1等于正视图中相应棱柱的高OO1，
顺次连接A1，B1，C1，D1得长方体的上底面.
(4)以长方体的上底面和z轴的交点O1为坐标原点，
作x轴的平行线x1轴，交A1D1于M1，交B1C1于N1，
选择椭圆模板中适当的椭圆过M1，N1两点使它为圆柱的下底面.
解析答案
(5)在z轴上截取点O1，
使O1O2等于正视图中圆柱的高，
过点O2作平行于x轴的轴x′，
类似步骤(4)作出圆柱的上底面.
(6)成图.
连线并去掉辅助线，将被遮住部分改为虚线，
就得到由三视图反映的简单几何体的直观图，如图所示.
类型三 直观图的还原和计算问题
例3 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1
试画出原四边形的形状，并求原图形的面积.
解析答案
反思与感悟
解 如图，建立直角坐标系xOy，
在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
反思与感悟
反思与感悟
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.
由此可得：直观图面积是原图形面
返回
跟踪训练3 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为( )
解析答案
返回
解析 画△ABC直观图如图(1)所示：
画△ABC的实际图形，如图(2)所示，
答案 C
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
1.利用斜二测画法画出边长为3
cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )
解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
C
1
2
3
4
5
解析答案
2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )
A.16
B.64
C.16或64
D.无法确定
解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.
C
1
2
3
4
5
3.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2
cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3
cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A.2
cm
B.3
cm
C.2.5
cm
D.5
cm
解析
圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5
cm.故选D.
D
解析答案
1
2
3
4
5
解析答案
4.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC是______三角形.
解析 ∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，
∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，
故△ABC为直角三角形.
直角
1
2
3
4
5
解析答案
5.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.
1
2
3
4
5
解 (1)在已知图形中画坐标系x′O′y′，
使∠x′O′y′＝45°，
使C′A′在x′轴上，C′与O′重合，如图(1)；
(2)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，
即CA＝C′A′；
(3)在图(1)中过B′作B′D′∥y′轴，
交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，
过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；
(4)连接AB、BC，则△ABC即为原图形，如图(2)所示.
规律与方法
1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.
2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.
返回
