(共31张PPT)
第一章
§
1.3
空间几何体的表面积与体积
第1课时 柱体、锥体、台体
的表面积
1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法；
2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题；
3.培养空间想象能力和思维能力.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
思考1 正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？
答案
答案 相等.
思考2 棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？
答案 是.
答案
?
图形
表面积
多面体
多面体的表面积就是
的面积的和，也就是
的面积
各个面
展开图
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积
思考1 圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案 S侧＝2πrl，
S表＝2πr(r＋l).
答案
思考2 圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案
答案 底面周长是2πr，
利用扇形面积公式得：
S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l).
思考3 圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
答案
答案 如图，圆台的侧面展开图是扇环，
内弧长等于圆台上底周长，
外弧长等于圆台下底周长，
S扇环＝S大扇形－S小扇形
＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，
所以，S圆台侧＝π(r＋R)l，
S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).
答案
?
图形
表面积公式
旋转体
圆柱
底面积：S底＝
侧面积：S侧＝
表面积：S＝
圆锥
底面积：S底＝
侧面积：S侧＝
表面积：S＝
圆台
上底面面积：S上底＝
下底面面积：S下底＝
侧面积：S侧＝
表面积：S＝
2πr2
2πrl
πr2
2πr(r＋l)
πrl
πr(r＋l)
πr′2
πr2
π(r′l＋rl)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1 已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
解 如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，
O、O1分别是下、上底面正方形的中心，
则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.
连接OE、O1E1，
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，
反思与感悟
解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决.
跟踪训练1 在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？
解析答案
解析答案
解析 如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.
取B1C1、BC的中点E1、E，
则EE1的延长线必过P点(以后可以证明).
O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心.
由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，
所以PO1＝O1O＝12.
在Rt△PO1E1中，
在Rt△POE中，
PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17，
类型二 圆柱、圆锥、圆台的表面积
例2 (1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.3π
B.4π
C.2π＋4
D.3π＋4
解析答案
解析 由三视图可知：该几何体为：
故表面积为：
＝π＋2π＋4＝3π＋4.
D
解析答案
反思与感悟
解析 如图所示，设圆台的上底面周长为c，
因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，
同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1
100π(cm2).
故圆台的表面积为1
100π
cm2.
(2)圆台的上、下底面半径分别为10
cm和20
cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是___________
(结果中保留π)
1
100π
cm2
反思与感悟
解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长.
跟踪训练2
(1)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )
A.4倍
B.3倍
D.2倍
解析 设圆锥底面半径为r，
由题意知母线长l＝2r，
则S侧＝πr×2r＝2πr2，
解析答案
D
(2)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A.7
B.6
C.5
D.3
解析 设圆台较小底面半径为r，
则另一底面半径为3r，
S侧＝π(r＋3r)×3＝84π，
∴r＝7.
解析答案
A
类型三 简单组合体的表面积
例3 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是________cm2.
解析答案
反思与感悟
解析 将三视图还原为长方体与直三棱柱的组合体，再利用表面积公式求解.
该几何体如图所示，
长方体的长，宽，高分别为6
cm，4
cm
，3
cm，
直三棱柱的底面是直角三角形，
边长分别为3
cm，4
cm,5
cm，
所以表面积
反思与感悟
＝99＋39＝138(cm2).
答案
138
反思与感悟
对于此类题目：
(1)将三视图还原为几何体；
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
返回
跟踪训练3 一个几何体的三视图如图所示
(单位：m)，则该几何体的表面积为__________m2.
解析 由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与
圆锥的组合体，
其表面积为
解析答案
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
解析 设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，
由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.
S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，
A
1
2
3
4
5
解析答案
2.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，
则该几何体的表面积为( )
解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，
底面半径为1，高为
，
C
1
2
3
4
5
3.一个几何体的三视图(单位长度：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
解析 该几何体是四棱锥与正方体的组合，
A
解析答案
1
2
3
4
5
解析答案
4.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为___.
解析 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.
2
∴r＝1，即圆锥的底面直径为2.
1
2
3
4
5
解析答案
5.如图所示，直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积.
1
2
3
4
5
解析答案
解 设此直角三角形为ABC，
AC＝20，BC＝15，AC⊥BC，则AB＝25.
过C作CO⊥AB于O，
直角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体，
它的上部是圆锥(1)，它的下部是圆锥(2)，
两圆锥共同底面圆的半径是OC，
是圆锥(1)的高，
圆锥(1)的表面积S1＝π×12(12＋20)＝384π，
1
2
3
4
5
圆锥(2)中BO＝9是它的高，
圆锥(2)的表面积S2＝π×12(12＋15)＝324π.
旋转体的表面积应为两个圆锥表面积之和减去圆O面积的2倍，
即S＝S1＋S2－2×π×122＝384π＋324π－288π＝420π.
规律与方法
1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.
2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.
3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).
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第一章 §
1.3
空间几何体的表面积与体积
第2课时
柱体、锥体、台体、球
的体积与球的表面积
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积；
2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积；
3.会求简单组合体的体积及表面积.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式
1.柱体的体积公式
(S为底面面积，h为高)；
2.锥体的体积公式
(S为底面面积，h为高)；
3.台体的体积公式
(S′、S为上、下底面面积，h为高)；
答案
V＝Sh
4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
答案
知识点二 球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S＝
(R为球的半径)；
2.球的体积公式
.
4πR2
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 柱体、锥体、台体的体积
例1 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为____m3.
解析 由所给三视图可知，
该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，
底面半径为1
m，圆锥的高为1
m，圆柱的高为2
m，
因此该几何体的体积
解析答案
(2)在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为AE的中点，设E—ABCD的体积为V，那么三棱锥M—EBC的体积为多少？
反思与感悟
解析答案
解 设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2.
连接MD.
因为M是AE的中点，
反思与感悟
而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC，
因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，
反思与感悟
三棱锥的任一侧面都可以作为底面来求其体积；在已知三棱锥的体积时，可用等体积法求点到平面的距离.
跟踪训练1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
解析答案
解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，
圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，
C
类型二 球的表面积与体积
例2 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是____.
解析答案
解析 设圆锥的底面半径为R，
(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.
解析 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，
且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母
线长等于5，
所以该几何体的表面积为
S＝2π×32＋π×3×5＝33π.
解析答案
反思与感悟
33π
反思与感悟
对于(1)中关键要记住球的表面积公式和体积公式，对于关于球的三视图，要特别注意，球的三种视图都是直径相同的圆.
跟踪训练2 (1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于( )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析答案
解析 由正视图与俯视图想象出直观图，然后进行运算求解.
如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，
球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，
又S＝16＋20π，
∴(5π＋4)r2＝16＋20π，
∴r2＝4，r＝2，故选B.
答案
B
(2)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.
解析答案
反思与感悟
解析 设球的半径为R，
则V柱＝πR2·2R＝2πR3，
3∶1∶2
类型三 组合体的表面积与体积
例3 (1)一球与棱长为2的正方体各个面相切，则该球的体积为_____.
解析 由题意可知球是正方体的内切球，
因此球的半径为1，
解析答案
反思与感悟
(2)正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________.
解析答案
解析 正方体内接于球，
则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合.
可见，正方体的对角线是球的直径.设球的半径是r，
则正方体的对角线长是2r.
反思与感悟
解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决.
跟踪训练3
(1)球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为( )
A.6∶13
B.5∶14
C.3∶4
D.7∶15
解析答案
解析 如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，
球的大圆O内切于梯形ABCD.
设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，
由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1＋r2.
∵∠AOB＝90°，OE⊥AB(E为切点)，
∴R2＝OE2＝AE·BE＝r1·r2.
由已知S球∶S圆台侧＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4.
返回
(2)长方体的一个顶点处的三条棱长分别为2，
它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为________.
解析答案
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为( )
D
1
2
3
4
5
解析答案
2.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为
，那么它的体积为( )
解析 依题意得正六棱锥的高为
B
1
2
3
4
5
3.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( )
A.2π
B.4π
C.8π
D.16π
解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，
所以表面积为S＝4π×12＝4π.
B
解析答案
1
2
3
4
5
解析答案
4.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为____.
解析 由三视图可知，该几何体是一个半球，
∴其表面积为2π×12＋π＝3π.
3π
1
2
3
4
5
解析答案
5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________.
1
2
3
4
5
解析答案
解析 方法一 如图，过球心O作轴截面ABCD，
作DE⊥BC，垂足为E.设球的半径为r1，
则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.
1
2
3
4
5
方法二 如图，过球心O作轴截面ABCD，
设球的半径为r1，AB与圆O相切于点F，
连接OA，OB，OF，
则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高.
由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，
故球的表面积为S球＝4πRr.
规律与方法
1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
S′＝0
2.在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，
这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求.
3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.
4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.
5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.
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