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第二章 §
2.1
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间
的位置关系
1.了解空间中两条直线的位置关系；
2.理解异面直线的概念、画法；
3.理解并掌握公理4及等角定理；
4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 空间两直线的位置关系
思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
答案 平行与相交.
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；
六角螺母中直线AB与CD.
答案
(1)异面直线：不同在_________平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法：
①定义法
②两直线既不平行也不相交
答案
任何一个
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
答案
_____
_____
没有公共点
有且仅有一个公共点——_____
②从是否共面的角度来分：
_____
_____
在同一平面内
不同在任何一个平面内——_____
平行
异面
平行
相交
相交
异面
知识点二 平行公理(公理4)
思考 在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，该结论在空间中是否成立？
答案 成立
1.文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
答案
知识点三 等角定理
思考 观察图，在长方体ABCD-?A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，
这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，
∠ADC＝∠A′D′C′，
∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.
答案
空间中如果两个角的两边分别对应_____，则这两个角_____或_____.
平行
相等
互补
知识点四 异面直线所成的角
思考 在长方体A1B1C1D1-?ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？
答案 相等.
答案
答案
定义
前提
两条异面直线a，b
作法
经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
结论
我们把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围
记异面直线a与b所成的角为θ，则____________.
特殊情况
当θ＝____时，a与b互相垂直，记作_____.
锐角(或直角)
0°<θ≤90°
90°
a⊥b
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 异面直线的判断
例1 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
反思与感悟
解 由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.
解析答案
反思与感悟
判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交，也不平行，就是异面直线.
跟踪训练1 (1)在四棱锥P?-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有___对.
解析 与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对).
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解 三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
还原的正方体如图所示：
解析答案
8
类型二 平行公理和等角定理的应用
例2 (1)在空间四边形ABCD中，如图所示，
则EH与FG的位置关系是________.
解析 连接BD，如图，
解析答案
平行
∴EH∥BD，
∴FG∥BD，
∴EH∥FG.
(2)在正方体ABCD-?A1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点.
求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
证明 在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，
∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，
∴A1A綊M1M.
又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，
∴四边形BB1M1M为平行四边形.∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
1.空间两条直线平行的证明：(1)定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.(2)利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
2.“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能.
跟踪训练2 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-?A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
证明 如图
，连接AC，
在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
解析答案
由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
证明
由(1)可知MN∥A1C1.
又∵ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
解析答案
类型三 两异面直线所成的角
例3 如图，已知长方体ABCD-?A1B1C1D1中，A1A＝AB，E、F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小.
解析答案
反思与感悟
解 如图，取CD1的中点G，连接EG，DG，
∵E是BD1的中点，
反思与感悟
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.
反思与感悟
求两条异面直线所成的角的一般步骤：
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角：求角度，常利用三角形.
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
返回
跟踪训练3 如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.
解析答案
解 方法一 如图所示，
连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，
取DD1的中点G，
连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
解析答案
返回
方法二 如图所示，
连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，
于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
连接HF，设AA1＝1，
取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF.
∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
1
2
3
达标检测
4
解析答案
1.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A.异面或平行
B.异面或相交
C.异面
D.相交、平行或异面
解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示.
D
1
2
3
4
解析答案
2.下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.
A.1
B.2
C.3
D.4
1
2
3
4
解析 ①④均为假命题.
①可举反例，如a、b、c三线两两垂直.
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交.
答案 B
1
2
3
4
3.分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上都有可能
解析 如图(1)所示，直线a与b互相平行；
如图(2)所示，直线a与b相交；
如图(3)所示，直线a与b异面.
D
解析答案
1
2
3
4
解析答案
4.如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，
AA′＝2.
(1)求异面直线BC和A′C′所成的角的大小.
解 因为BC∥B′C′，
所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.
在Rt△A′B′C′中，
B′C′＝2
，
所以∠B′C′A′＝45°.
所以异面直线BC与A′C′所成的角为45°.
1
2
3
4
解析答案
(2)求异面直线AA′和BC′所成的角的大小.
解 因为AA′∥BB′，
所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角.
所以BC′＝4，所以∠B′BC′＝60°.
所以异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
规律与方法
1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.
2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.
作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).
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第二章
§
2.1
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位
置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系；
2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系；
3.掌握空间中平面与平面的位置关系.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 直线和平面的位置关系
思考 如图所示，在长方体ABCD?-A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？
答案 三种位置关系：(1)直线在平面内；
(2)直线与平面相交；
(3)直线与平面平行.
答案
位置关系
直线在平面内
直线在平面外
直线与平面相交
直线与平面平行
公共点
无数个
1个
0个
符号表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
知识点二 两个平面的位置关系
思考 观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？
答案 两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行.
答案
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
______
0个
两平面相交
_________
_______________
α∥β
α∩β＝l
无数个点(共线)
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 直线与平面的位置关系
例1 下列五个命题中正确命题的个数是( )
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.
A.0
B.1
C.2
D.3
反思与感悟
解析答案
解析 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，
AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，
故命题①不正确；
AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但
AA′不平行于BC，故命题②不正确；
AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；
④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；
⑤显然不正确，故答案为B.
反思与感悟
答案
B
反思与感悟
空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题.对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断，要注意多种可能情形.
跟踪训练1 以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析答案
解析 如图所示在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
AB∥CD，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①
错误；
A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′
与B′C′相交，故②错误；
AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误；
A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.
A
类型二 平面与平面之间的位置关系
例2 α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是( )
A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β
B.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
解析 A、B都不能保证α、β无公共点，如图1所示；
C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，
如图2所示；只有D说明α、β一定无公共点.
解析答案
D
反思与感悟
判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断.
跟踪训练2 两平面α、β平行，a?α，下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点.其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；
②正确；
③中直线a与β内的无数条直线垂直；
④根据定义a与β无公共点，正确.
解析答案
B
返回
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
1.已知直线a在平面α外，则( )
A.a∥α
B.直线a与平面α至少有一个公共点
C.a∩α＝A
D.直线a与平面α至多有一个公共点
解析 因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D.
D
1
2
3
4
5
解析答案
2.下列命题中的真命题是( )
A.若点A∈α，点B?α，则直线AB与平面α相交
B.若a?α，b?α，则a与b必异面
C.若点A?α，点B?α，则直线AB∥平面α
D.若a∥α，b?α，则a∥b
解析 若a?α，b?α，则a与b平行或异面，故B错.
对直线AB上两点A，B虽然都不在α内，但直线AB与平面α可能有公共点，故直线AB与平面α也可能相交，故C不正确.
A
1
2
3
4
5
3.若平面α∥平面β，l?α，则l与β的位置关系是( )
A.l与β相交
B.l与β平行
C.l在β内
D.无法判定
解析 ∵α∥β，∴α与β无公共点.
∵l?α，∴l与β无公共点，∴l∥β.
B
解析答案
1
2
3
4
5
解析答案
4.若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )
A.平行
B.异面
C.相交
D.平行或异面
解析 两个平面平行时，这两个平面没有公共点，分别在这两个平面内的直线也没有公共点，因此它们不是平行就是异面.
D
1
2
3
4
5
解析答案
5.下列说法中正确的序号为____.
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若α∥β，a?α，则a∥β；
④若α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交.
解析 ①不符合直线与平面平行的定义；
②中直线a与b没有交点，也有可能平行；
③中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β；
④中直线a与平面β有可能平行.
③
规律与方法
1.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.
2.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.
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第二章
§
2.1
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
平
面
1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系；
2.掌握有关平面的三个公理；
3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 平面
思考 几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
答案
没有.
平行四边形.
1.平面的概念
(1)平面是一个不加定义，只需理解的原始概念.
(2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象.
答案
答案
2.平面的画法
常常把水平的平面画成一个__________，并且其锐角画成____，且横边长等于邻边长的___倍.
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用_____画出来.
3.平面的表示方法
(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.
(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
平行四边形
2
虚线
45°
知识点二 点、直线、平面之间的关系
思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？
答案 点和直线，平面的位置关系可用数字符号“∈”或“?”表示，
直线和平面的位置关系，可用数学符号
“?”或“?”表示.
答案
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言表达
图形语言表达
符号语言表达
点A在直线l上
点A在直线l外
点A在平面α内
A∈l
A?l
A∈α
答案
答案
点A在平面α外
直线l在平面α内
直线l在平面α外
平面α，β相交于l
A?α
l?α
l?α
α∩β＝l
知识点三 平面的基本性质
思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？
答案 前者不在，后者在.
答案
思考2 观察右图，你能得出什么结论？
答案 不共线的三点可以确定一个平面.
思考3 观察正方体ABCD?A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点A、B吗？
答案 不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.
公理
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
①确定直线在平面内的依据
②判定点在平面内
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
①确定平面的依据
②判定点线共面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解 在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P.
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
借助集合中的符号来表示几何中点、线、面的关系就是几何中的符号语言，符号语言的运用简洁明了地表达了几何中的各元素的关系，比文字语言更适合于几何关系的表示，因此，要逐步适应并掌握.
跟踪训练1 若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为( )
A.M∈a，a∈α
B.M∈a，a?α
C.M?a，a?α
D.M?a，a∈α
解析 点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”.
解析答案
B
类型二 平面性质的应用
例2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1、l2、l3在同一平面内.
解析答案
证明 方法一 (纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内.
解析答案
反思与感悟
方法二 (辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.
反思与感悟
反思与感悟
证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内.
跟踪训练2 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面.
证明 如图，
∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l?α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l?β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，
∴a，b，c和l共面.
解析答案
例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示.
求证：P、Q、R三点共线.
解析答案
反思与感悟
证明 方法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P、Q、R三点共线.
解析答案
反思与感悟
方法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC?平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，
又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P、Q、R三点共线.
反思与感悟
反思与感悟
证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上.也可考虑为点P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法.
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE、D1F、DA三线交于一点.
解析答案
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证明 如图，连接EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴E，F，D1，C四点共面，
∴D1F与CE相交于点P.
又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD.
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理3，可得P∈DA，
即CE、D1F、DA相交于一点.
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
1.若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )
A.C∈α
B.C?α
C.AB?α
D.AB∩α＝C
解析 因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB?α.
又因为C∈直线AB，所以C∈α.
A
1
2
3
4
5
解析答案
2.下列说法正确的是( )
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
解析 A选项中，三点若在同一直线上就不能确定一个平面；
B中，这一点在直线上不能确定一个平面；
空间四边形ABCD就不是平面图形，故C错.
D
1
2
3
4
5
3.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
答案
(1)A?α，a?α____.
(2)α∩β＝a，P?α且P?β____.
(3)a?α，a∩α＝A____.
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O___.
C
D
A
B
1
2
3
4
5
4.空间两两相交的三条直线可以确定的平面数是________.
1或3
答案
1
2
3
4
5
解析答案
5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是___________.
解析 因为P∈AB，AB?平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
P∈直线DE
规律与方法
1.三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；
公理2——判定点共面、线共面的依据；
公理3——判定点共线、线共点的依据.
2.证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上.
3.证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用.
4.证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.
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