(共17张PPT)
第二章 §
2.2
直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理；2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点 直线与平面平行的判定定理
思考1 如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
答案 平行.
答案
思考2 如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？
答案 由于直线a∥b，所以两条直线共面，
直线a与平面α不相交.
答案
表示
定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与_____________________，则该直线与此平面平行
?a∥α
a?α
b?α
a∥b
此平面内一条直线
平行
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 直线与平面平行的判定定理
例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A.相交
B.b∥α
C.b?α
D.b∥α或b?α
解析 由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b?α.
反思与感悟
D
解析答案
反思与感悟
用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a?α；
(2)直线b在平面α内，即b?α；
(3)两直线a、b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.
跟踪训练1 若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
解析 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾.
解析答案
B
类型二 直线与平面平行的判定定理的应用
例2 已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如图).求证：PQ∥平面CBE.
解析答案
反思与感悟
证明 方法一 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM綊QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，
∴PQ∥MN.
又PQ?平面CBE，MN?平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
解析答案
反思与感悟
方法二 如图所示，连接AQ并延长交BC的延长线于K，连接EK.
∵AE＝BD，AP＝DQ，
∴PE＝BQ，
又AD∥BK，
反思与感悟
∴PQ∥EK，
又PQ?平面BCE，EK?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
反思与感悟
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.
跟踪训练2 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是AB、PD的中点.
求证：AF∥平面PCE.
证明 如图，取PC的中点M，
解析答案
∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形.
∴AF∥ME，
又∵AF?平面PCE，EM?平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
返回
1
2
3
达标检测
4
解析答案
1.下列说法正确的是( )
A.直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B.若直线a在平面α外，则a∥α
C.若直线a∩b＝?，直线b?α，则a∥α
D.若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
解析 A错误，直线l可以在平面α内；
B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；
C错误，a可以与平面α相交.
D
1
2
3
4
解析答案
2.以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为____.
①若a∥b，b?α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.
解析 ①a?α也可能成立；
②a，b还有可能相交或异面；
③a?α也可能成立；
④a，b还有可能异面.
0
1
2
3
4
3.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，判断EF与平面BCD的位置关系.
解 设由相交直线BC，CD所确定的平面为α，如图，
连接BD，易见，EF不在平面α内，
由于E、F分别为AB、AD的中点，
所以EF∥BD.
又BD在平面α内，
所以EF∥α.
解析答案
1
2
3
4
解析答案
4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O，
求证：直线GO∥平面D1EF.
证明 如图，设EF∩BD＝H，
连接D1H，在△DD1H中，
又GO?平面D1EF，D1H?平面D1EF，
∴GO∥平面D1EF.
规律与方法
1.判断或证明线面平行的常用方法
(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作).
(2)判定定理法：(a?α，b?α，a∥b?a∥α).
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内.
2.证明线线平行的常用方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质.
(2)利用平行四边形的性质.
(3)利用平行线分线段成比例定理.
返回(共18张PPT)
第二章
§
2.2
直线、平面平行的判定及其性质
2.2.2
平面与平面平行的判定
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理；2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 不一定.
思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 平行.
答案
思考3 如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？
答案 无数条，不平行.
答案
表示
定理
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的_________与另一个平面平行，则这两个平面平行
?α∥β
a?β
b?β
________
a∥α
b∥α
两
相交直线
a∩b＝P
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 面面平行的判定定理
例1 下列四个命题：
(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；
(2)若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；
(3)平行于同一直线的两个平面平行；
(4)两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；
其中正确的个数是__.
反思与感悟
答案
0
反思与感悟
在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行.
跟踪训练1 设直线l,
m,平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( )
①l?α，m?α，且l∥β，m∥β；②l?α，m?α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④
l∩m＝P,
l?α，m?α，且l∥β，
m∥β.
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
解析 ①错误，因为l,
m不一定相交；
②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；
③错误，两个平面可能相交；
④正确.
解析答案
A
类型二 平面与平面的判定定理的应用
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1
的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，
求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
证明 如图，连接SD，SB，
∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，
同理，EG∥平面BDD1B1.
又∵EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
判定两个平面平行，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解析答案
返回
解 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
连接PQ，易证四边形PQBA是平行四边形，
∴QB∥PA.
又∵AP?平面APO，QB?平面APO.∴QB∥平面APO.
∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.
同理可得D1B∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
返回
1
2
3
达标检测
4
解析答案
1.平面α与平面β平行的条件可以是( )
A.α内的一条直线与β平行
B.α内的两条直线与β平行
C.α内的无数条直线与β平行
D.α内的两条相交直线分别与β平行
解析 若两个平面α、β相交，设交线是l，则有α内的直线m与l平行，得到m与平面β平行，从而可得A是不正确的，
而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定α与β平行，
C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定α与β平行.
由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的.
D
1
2
3
4
解析答案
①分别在两个平面内的两直线平行；
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
其中正确的命题是( )
A.①②
B.②④
C.①③
D.②③
2.下面四个命题：
解析 ①中的两条直线有可能平行，相交或异面，故①不正确；
②正确；
③中一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行，故③不正确，
④正确.
答案 B
1
2
3
4
1
2
3
4
3.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，
PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是_____.
解析 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，
因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.
又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.
平行
解析答案
1
2
3
4
解析答案
4.如图，在正方体ABCD-?A1B1C1D1中，P为DD1中点.能否同时D1，B两点作平面α，使面α∥面PAC？证明你的结论.
1
2
3
4
解 能作出满足条件的平面α，其作法如下：
如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，
则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.
证明如下：
连接BD交AC于O，连接PO，
则PO∥D1B，故D1B∥平面PAC.
又因为M为AA1中点，故D1M∥PA，
从而D1M∥平面PAC.
又因为D1M∩D1B＝D1，D1M?α，D1B?α，
所以α∥面PAC.
规律与方法
证明面面平行的方法：
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.
返回(共23张PPT)
第二章
§
2.2
直线、平面平行的判定及其性质
2.2.4 平面与平面平行的性质
1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题；
2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点 平面与平面平行的性质
观察长方体ABCD-?A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.
答案
思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？
答案 是的.
思考2 若m?平面ABCD，n?平面A1B1C1D1，则m∥n吗？
答案 不一定，也可能异面.
思考3 过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1
与BC是什么关系？
答案 平行.
答案
文字语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线______
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?_________
图形语言
平行
a∥b
返回
类型一 平面与平面平行的性质定理的应用
例1 平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS.
解析答案
题型探究
重点难点
个个击破
反思与感悟
解 有两种情况：S位于α、β之间，和S位于α、β的同侧.
(1)当S位于α、β之间时，如图，
连接AC，BD，AB∩CD＝S.
设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.
因为α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD，
解析答案
当S位于α，β之间时，如上解答.
反思与感悟
(2)当S位于α，β同侧时，如图，AB∩CD＝S，设AB，CD共面γ，
因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD.
所以△SAC∽△SBD，
所以SC＝272.
综上所述，SC＝16或272.
反思与感悟
反思与感悟
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
跟踪训练1 如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________.
解析答案
解析 AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线AB，A′B′，
所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，
类型二 平行关系的相互转化
例2 已知，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β，EF∥α.
解析答案
反思与感悟
证明 ①当AB，CD在同一平面内时，如图，
由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
∴AC∥BD，
∵AE∶EB＝CF∶FD，
∴EF∥BD，
又EF?β，BD?β，∴EF∥β.
解析答案
反思与感悟
②当AB与CD异面时，如图，
设平面ACD∩β＝l，在l上取一点H，使DH＝AC.
∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，
∴四边形ACDH是平行四边形.
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，
又∵AE∶EB＝CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，∴平面EFG∥平面β.
∵EF?平面EFG，∴EF∥β.
综上①②知，EF∥β.
∵α∥β，EF∥β且EF?α，∴EF∥α.
反思与感悟
反思与感悟
线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如下图所示：
解题时，往往通过构造辅助平面将面面平行、线面平行转化为线线平行.
跟踪训练2 如图，在四棱柱ABCD-?A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.
解析答案
返回
证明 因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，
因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以四边形AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，
又FC?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1，
所以FC∥平面ADD1A1，
因为CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，
又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.
返回
1
2
3
达标检测
4
解析答案
1.已知平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，下面四种情形：
①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交.其中可能出现的情形有( )
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
解析 因为平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，
所以直线a与直线b无公共点.
当直线a与直线b共面时，a∥b；
当直线a与直线b异面时，
a与b所成的角大小可以是90°.
综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形.
C
1
2
3
4
解析答案
2.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为___________.
解析 由面面平行的性质定理可得.
平行四边形
1
2
3
4
3.过正方体ABCD—A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________.
解析 因平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面ABCD∩平面A1C1B＝l，
平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，
所以l∥A1C1(面面平行的性质定理).
平行
解析答案
1
2
3
4
解析答案
4.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
1
2
3
4
证明 过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
∴FG∥B1C1∥BC，
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD，
又∵EF?平面EFG，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
规律与方法
1.常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
2.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
返回(共15张PPT)
第二章
§
2.2
直线、平面平行的判定及其性质
2.2.3 直线与平面平行的性质
1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行；
2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点 直线与平面平行的性质
思考1 如图，直线l∥平面α，直线a?平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
答案 不一定，因为还可能是异面直线.
思考2 如图，直线a∥平面α，直线a?平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？
直线a，b有什么位置关系？
答案 无数个，a∥b.
答案
答案
文字语言
一条直线与一个平面_____，则过这条直线的任一平面与此平面的_____与该直线______
符号语言
a∥α，_____________?a∥b
图形语言
平行
交线
平行
a?β，α∩β＝b
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 线面平行的性质及应用
例1 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，
CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
证明 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，
且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面四边形MNPQ是平行四边形.
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
利用线面平行的性质定理解题的步骤
(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.
(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面.
(3)确定交线.
(4)由性质定理得出结论.
跟踪训练1 如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，
EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，
若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值.
解 如图，连接BD交AC于点O1，连接OM，
因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，
解析答案
在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，
故PM∶MA＝1∶3.
类型二 线面平行的性质与判定的综合应用
例2 已知，a∥α，且a∥β，α∩β＝l，求证：a∥l.
证明 如图，过a作平面γ交α于b.
因为a∥α，所以a∥b.
过a作平面ε交平面β于c.
因为a∥β，所以a∥c，所以b∥c.
又b?β且c?β，所以b∥β.
又平面α过b交β于l，所以b∥l.
因为a∥b，所以a∥l.
解析答案
反思与感悟
判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行
线面平行
线线平行.
在平面内作
或找一直线
经过直线作或找
平面与平面的交线
跟踪训练2 如图所示，四面体ABCD被一平面所截，
截面EFGH是一个矩形.求证：CD∥平面EFGH.
证明 ∵截面EFGH是矩形，∴EF∥GH.
又GH?平面BCD，EF?平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
而EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，
∴EF∥CD.
又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
解析答案
返回
1
2
3
达标检测
4
解析答案
1.已知直线l∥平面α，l?平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.相交或异面
解析 由直线与平面平行的性质定理知l∥m.
B
1
2
3
4
解析答案
2.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A.0条
B.1条
C.0条或1条
D.无数条
解析 过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，
若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，
若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.
C
1
2
3
4
3.如图所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面
α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，
若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝____.
解析 由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.
因为a∥平面α，a?平面β，所以EF∥a.
解析答案
1
2
3
4
解析答案
4.如图，AB是圆O的直径
，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.
解析 直线l∥平面PAC，
证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.
而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l?平面PAC，EF?平面PAC，所以l∥平面PAC.
规律与方法
1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.
2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.
返回
