(共30张PPT)
第二章
§
2.3
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1.理解直线与平面垂直的定义；
2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用；
3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 直线与平面垂直的定义
思考1
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？
答案 不变，90°.
答案
答案
定义
如果直线l与平面α内的_________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
______
有关概念
直线l叫做平面α的_____，平面α叫做直线l的____，它们唯一的公共点P叫做_____
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
任意一条
l⊥α
垂线
垂足
垂面
知识点二 直线和平面垂直的判定定理
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.
思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？
答案 不一定.
思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
答案 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直.
答案
答案
文字语言
一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，______＝P?l⊥α
图形语言
两条相交直线
a∩b
知识点三 直线与平面所成的角
答案
有关概念
对应图形
斜线
与平面α_____，但不和平面α_____，图中
斜足
斜线和平面的
，图中
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引
，过
和
的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为_______
相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线
垂足
斜足
直线AO
答案
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是
；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，____________
∠PAO
90°
0°
0°≤θ≤90°
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 直线和平面垂直的定义
例1 下列命题中，正确的序号是________.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
反思与感悟
解析答案
解析 当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；
当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，
④正确；
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.
故填④⑤.
答案 ④⑤
反思与感悟
反思与感悟
1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直?线线垂直，即若a⊥α，b?α，则a⊥b.
跟踪训练1 下面叙述中：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；
②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；
③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；
④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线.
其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析答案
解析 ①中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；
②由定义知正确；
③中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；
④中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确.
故选B.
答案 B
类型二 线面垂直的判定
例2 在平面α内有直角∠BCD，AB⊥平面α，求证CD⊥平面ABC.
解 如图所示.
解析答案
?CD⊥平面ABC.
反思与感悟
反思与感悟
1.使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决.
2.线面垂直的定义具有双重作用：判定和性质，证题时常用它作为性质使用，即“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线”.
跟踪训练2 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
证明 因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.
解析答案
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明
因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.
由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，
所以BD⊥平面SAC.
解析答案
类型三 直线与平面所成的角
例3 如图，在正方体ABCD?-A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
解 ∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
解析答案
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解
连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角，
解析答案
反思与感悟
∴∠A1BO＝30°.
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
反思与感悟
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
跟踪训练3 如图，在三棱锥ABC?-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.
(1)证明：A1D⊥平面A1BC.
解 取BC的中点E，连接A1E，DE，AE，
由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，
因为AB＝AC，所以AE⊥BC，故AE⊥平面A1BC，
由D，E分别是B1C1，BC的中点，
得DE∥B1B且DE＝B1B，所以DE∥A1A，
所以四边形A1AED是平行四边形，故A1D∥AE，
又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.
解析答案
返回
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
解
作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.
因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.
因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.
所以BC⊥A1F，A1F⊥平面BB1C1C.
所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角.
解析答案
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )
A.平行
B.垂直
C.相交
D.不确定
解析 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，
又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.
B
1
2
3
4
5
解析答案
2.直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.垂直
解析 若l∥m，l?α，m?α，
∴l∥α，
这与已知l⊥α矛盾.
所以直线l与m不可能平行.
A
1
2
3
4
5
3.如图①，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是( )
A.SG⊥平面EFG
B.SD⊥平面EFG
C.GF⊥平面SEF
D.GD⊥平面SEF
解析 在图①中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，
因此在图②中，SG⊥GE，SG⊥GF，
又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.
A
解析答案
1
2
3
4
5
解析答案
4.如图，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
1
2
3
4
5
解 由题意知，A是M在平面ABC内的射影，
∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB内的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△BMC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
1
2
3
4
5
解析答案
5.如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.
证明 ∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.
又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C，
PC?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AE⊥平面PBC.
规律与方法
1.线线垂直和线面垂直的相互转化
2.证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义.
(2)线面垂直的判定定理.
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
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第二章
§
2.3
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.2 平面与平面垂直的判定
1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；
3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 二面角
思考1 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门
所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用
哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？
答案 二面角.
思考2 平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
答案 二面角的平面角.
答案
1.定义：从一条直线出发的___________所组成的图形.
2.相关概念：
①这条直线叫二面角的___，②两个半平面叫二面角的___.
3.画法：
答案
两个半平面
棱
面
4.记法：二面角_________或___________或________，或P－AB－Q.
5.二面角的平面角：
若有①O___l；②OA___α，OB___β；③OA___l，OB___l，则二面角α－l－β的平面角是________.
答案
α－l－β
α－AB－β
P－l－Q
∈
?
?
⊥
⊥
∠AOB
知识点二 平面与平面垂直
思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
答案 都是垂直.
1.平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：记作：_______.
答案
直二面角
α⊥β
2.判定定理
答案
文字语言
一个平面过另一个平面的______，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，______?α⊥β
返回
垂线
l?β
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 定义法判定两平面垂直
例1 如图，在四面体ABCD中，
求证：平面ABD⊥平面BCD.
反思与感悟
解析答案
解 因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
反思与感悟
由于AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，所以AE⊥面BCD.
又AE?面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.
反思与感悟
1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：
(1)找出两相交平面的平面角；
(2)证明这个平面角是直角；
(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直.
2.此类问题在证明平面角是直角时常用勾股定理的逆定理，解答时要特别注意.
跟踪训练1 如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
解析答案
证明 取BC中点D，连接SD、AD，
由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA.
∴AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角.
∴SD2＋AD2＝SA2.
∴∠ADS＝90°，∴平面ABC⊥平面BSC.
类型二 面面垂直的判定定理判定两平面垂直
例2 如图，在四棱锥P-?ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形.
求证：平面PAC⊥平面PBD.
证明 ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA.
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
又∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
利用面面垂直的判定定理证明两平面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.
跟踪训练2 如图，三棱柱ABC-?A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，
证明：平面BDC1⊥平面BDC.
证明 由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.
又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
解析答案
类型三 求二面角的大小
例3 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.
(1)求点C到平面A1ABB1的距离；
解析答案
解 由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，
又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值.
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
解 如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1.
又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，
所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角.
因CD⊥面A1ABB1，AB1?面A1ABB1，所以AB1⊥CD，
又已知AB1⊥A1C，A1C∩CD＝C，
所以AB1⊥面A1CD，故AB1⊥A1D，
从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，
所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.
反思与感悟
求二面角的大小应注意做题的顺序，一般情况下，是先作出二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接着是求出这个角的值，最后说明二面角为多少度.这个过程可以简记为：作(找)、证、求、答.
跟踪训练3 如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC.
(1)证明：BD⊥平面SAC；
证明 ∵SB＝BC，且E为SC的中点，
∴BE⊥SC，
又∵DE⊥SC，∴SC⊥平面BDE，
∴BD⊥SC，
∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD，
∴BD⊥平面SAC.
解析答案
返回
(2)求二面角E－BD－C的大小.
解 由(1)BD⊥平面SAC可得BD⊥DE且BD⊥AC，
∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角，
设SA＝a，则AB＝a，
解析答案
∴SC＝2a，∴∠ASC＝60°，
又∵∠EDC＝∠ASC，∴∠EDC＝60°，
∴二面角E－BD－C的大小为60°.
1
2
3
达标检测
4
解析答案
1.直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β的位置关系是( )
A.平行
B.可能重合
C.相交且垂直
D.相交不垂直
解析 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
C
1
2
3
4
解析答案
2.下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是( )
A.①③
B.②④
C.③④
D.①②
解析 ①不符合二面角定义，
③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角.故选B.
B
1
2
3
4
3.如图，已知Rt△ABC，斜边BC?α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，则二面角A－BC－O的大小为________.
解析答案
解析 如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.
∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.
又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD?平面AOD，∴AD⊥BC.
∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角.
由AO⊥α，OB?α，OC?α，知AO⊥OB，AO⊥OC.
又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，
∴设AO＝a，则AC＝
a，AB＝2a.
解析答案
1
2
3
4
∴∠ADO＝60°.
即二面角A－BC－O的大小是60°.
1
2
3
4
1
2
3
4
解析答案
4.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点.求证：面EFC⊥面BCD.
证明 ∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC.
∵BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD.
规律与方法
1.求二面角的步骤
简称为“一作二证三求”.
2.作二面角的三种常用方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角.
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.
返回
3.证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义；
(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(共23张PPT)
第二章
§
2.3
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
2.能运用性质定理解决一些简单问题；
3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 直线与平面垂直的性质
思考 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？
答案 平行.
答案
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线_____
符号语言
?a∥b
图形语言
平行
知识点二 平面与平面垂直的性质定理
思考 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
答案 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.
答案
文字语言
两个平面垂直，则___________垂直于______的直线与另一个平面_____
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，____，______?a⊥β
图形语言
返回
一个平面内
交线
垂直
a?α
a⊥l
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 直线与平面垂直的性质定理
例1
如图，在四棱锥P-?ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
解 因为AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
证明线线平行的常用方法有：
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪训练1 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a?α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明 ∵PA⊥α，l?α，∴PA⊥l.
同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a?α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
解析答案
类型二 平面与平面垂直的性质定理
例2 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证：(1)BG⊥平面PAD；
证明 由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
解析答案
(2)AD⊥PB.
证明
由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，
所以AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，
所以AD⊥PB.
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
证明 如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
解析答案
类型三 线线、线面、面面垂直的综合问题
例3 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
证明 ∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内，作AE⊥BC于点E，如图，则AE⊥平面BCD.
又CD?平面BCD，∴AE⊥CD.
又BC⊥CD，AE∩BC＝E，AE、BC?平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，
又AB?平面ABC，∴AB⊥CD.
又AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC，CD?平面ACD.
∴AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.
反思与感悟
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
跟踪训练3 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证：
(1)DE＝DA；
解析答案
证明 设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，
则CF＝DB＝a.因为CE⊥面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC，
所以DE＝DA.
(2)平面BDM⊥平面ECA；
解析答案
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
又因为EC⊥面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
所以DM⊥平面AEC，所以面BDM⊥面ECA.
(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
由(2)知DM⊥平面AEC，而DM?平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
证明 取CA的中点N，连接MN，BN，
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达标检测
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解析答案
1.已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.不确定
解析 因为l⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，
同理可证m⊥α，所以l∥m.
C
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解析答案
2.已知平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A.l∥γ
B.l?γ
C.l与γ斜交
D.l⊥γ
解析 如图，在γ面内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，
同理OF⊥l，OE∩OF＝O，
所以l⊥γ.
D
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3.已知l⊥平面α，直线m?平面β.有下面四个命题：
①α∥β?l⊥m；
②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β；
④l⊥m?α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A.①②
B.③④
C.②④
D.①③
解析 ∵l⊥α，α∥β，m?β，∴l⊥m，故①正确；
∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m?β，∴α⊥β，故③正确.
D
解析答案
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解析答案
4.如图所示，在四棱锥S-?ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.
证明 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC?平面SBC，
所以平面SCD⊥平面SBC.
规律与方法
1.垂直关系之间的相互转化
2.平行关系与垂直关系之间的相互转化
3.判定线面垂直的方法主要有以下五种
①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理；④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同
一平面，
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，
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