(共27张PPT)
3.1.1 倾斜角与斜率
第三章
§
3.1
直线的倾斜角与斜率
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；
2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性；
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 直线的倾斜角
思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直1线呢？
答案 不能.
答案
思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线
如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？
答案 不同.
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴
与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围为
.
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个
以及它的
.
答案
正向
0°≤α<180°
定点
倾斜角
知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系
思考1 在日常生活中，我们常用“
”
表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？
答案
前进量
升高量
答案 不同，因为≠
思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？
答案 存在，图(1)中，坡度＝tan
α，
图(2)中，坡度＝tan
β.
答案
答案
1.直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的
叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝
.
2.斜率与倾斜角的对应关系
正切值
tan
α
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
知识点三 过两点的直线的斜率公式
直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2).
返回
答案
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 直线的倾斜角
例1 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A.α＋40°
B.α－140°
C.140°－α
D.当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°
解析答案
反思与感悟
解析
根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.
通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
答案 D
反思与感悟
反思与感悟
(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
解析答案
跟踪训练1 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________.
解析
有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
60°或120°
类型二 直线的斜率
例2
直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解析答案
反思与感悟
解
设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率.
由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，
所以k1
＝
＝
，
k2
＝
＝－4
，k3＝
＝0.
由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；
由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；
由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°.
反思与感悟
应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解.
跟踪训练2 (1)若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝___.
解析答案
解析
tan
45°＝，得m＝2.
2
(2)经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是_________
(其中m≥1).
解析答案
解析
当m＝1时，直线与x轴垂直，
此时斜率不存在，倾斜角为90°.
当m>1时，直线的斜率为k＝＝
＝
因为m>1，所以k>0，
故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°.
综上可知：
直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°.
0°<α≤90°
解析答案
类型三 斜率与倾斜角的综合应用
例3
(1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2
,
5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值；
解
∵α＝45°，
∴直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
∵P1，P2，P3都在直线l上，
∴k
＝k
＝k，
∴
＝
＝1
，
解得x2＝7，y1＝0.
解析答案
(2)已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围.
解
如图所示：
当点D由B运动到C时，
直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
所以直线AD的斜率的变化范围是
.
反思与感悟
反思与感悟
(1)用斜率公式可解决三点共线问题
(2)斜率与倾斜角的关系如图：
跟踪训练3 (1)已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值.
解析答案
解
由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝
，kAD＝＝.
因为A，B，C，D四点在同一条直线上，
所以k＝2＝
＝
，
解得a＝4，b＝－3，
所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
(2)已知直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，其中M(2，－3)，N(－3，－2)，求直线l的斜率k的取值范围.
返回
解析答案
解
如图所示，直线l绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线.
当l在PN位置转到l′位置时，
当l在l′位置转到PM位置时，
倾斜角大于90°，k≤kPM＝－4.
1
2
3
达标检测
4
解析答案
1.对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①②③正确.
C
1
2
3
4
解析答案
2.m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必( )
A.在同一条直线上
B.是直角三角形的顶点
C.是等腰三角形的顶点
D.是等边三角形的顶点
解析
∴A，B，C三点共线.
A
1
2
3
4
解析答案
3.已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，则m的值为____.
解析
由题意知，kAC＝3kBC，
4
1
2
3
4
解析答案
4.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
(1)(1,1)，(2,4)；
解
所以倾斜角是锐角；
所以倾斜角是钝角；
(2)(－3,5)，(0,2)；
解
1
2
3
4
解析答案
(3)(2,3)，(2,5)；
(4)(3，－2)，(6，－2).
解
由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90°；
所以倾斜角为0°.
解
直线情况
平行于x轴
垂直于x轴
0
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
0
k>0
不存在
k<0
k的增减情况
?
k随α的增大而增大
?
k随α的增大而增大
规律与方法
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
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第三章
§
3.1
直线的倾斜角与斜率
3.1.2 两条直线平行与垂直
的判定
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；
2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；
3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 两条直线平行的判定
思考1 如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角
分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间
有什么关系？k1与k2之间有什么关系？
答案 α1与α2之间的关系为α1＝α2；
对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，
因为α1＝α2，所以tan
α1＝tan
α2，即k1＝k2.
当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在.
答案
思考2 对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？
为什么？
答案 一定有l1∥l2.因为k1＝k2?tan
α1＝tan
α2?α1＝α2?l1∥l2.
答案
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
k1＝k2
知识点二 两条直线垂直的判定
思考1 如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？
答案 α2＝90°＋α1，
因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和.
答案
思考2 已知tan(90°＋α)＝－
，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k1、k2之间的关系？
答案 因为α2＝90°＋α1，
所以tan
α2＝tan(90°＋α1)，
由于tan(90°＋α)＝－
，tan
α2＝－
，
即tan
α2tan
α1＝－1，
所以k1·k2＝－1.
答案
思考3 如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？
答案
答案 当k1·k2＝－1时，一定有l1⊥l2.
不妨设k2<0，即α2为钝角，
因为k1·k2＝－1，则有tan
α2tan
α1＝－1，
所以tan
α2＝－
＝tan(90°＋α1)，则α2＝90°＋α1，
所以l1⊥l2.当l1⊥l2时，不一定有k1·k2＝－1，
因为如果直线l1和l2分别平行于x轴、y轴，则k2不存在，
所以k1·k2＝－1不成立.
答案
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线斜率都存在)
?
l1的斜率不存在，l2的斜率为0?
k1·k2＝－1
l1⊥l2
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 两条直线平行的判定
例1 下列直线l1与直线l2平行的有________.
①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
解析答案
②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，
)，N(－2，－
)；
④l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5).
反思与感悟
∴l1不平行l2.
∴k
＝k
，∴l1∥l2.
∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.
l1，l2斜率均不存在且不重合，
∴l1∥l2.
②
③
④
答案 ①③④
反思与感悟
反思与感悟
判断两直线是否平行的方法：
跟踪训练1 已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，则m的值为________.
解析答案
解析 当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝
因为直线PQ∥直线MN，
所以kPQ＝kMN，
即
，解得m＝0或m＝1.
综上，m的值为0或1.
答案 0或1
类型二 两条直线垂直的判定
例2 (1)已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是( )
A.平行
B.垂直
C.可能重合
D.无法确定
解析 由方程3x2＋mx－3＝0知，
Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2存在，
设两根为x1，x2，
则k1k2＝x1x2＝－1，故l1⊥l2，所以选B.
解析答案
B
(2)已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，求交点C的坐标.
解
以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.
则AC⊥BC，
设C(x,0)，
解析答案
所以x＝1或2，所以交点C的坐标为(1,0)或(2,0).
反思与感悟
反思与感悟
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步.
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论.
跟踪训练2 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为________.
解析答案
解析 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，
∴l2的斜率存在.
当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意.
当k2≠0时，即a≠5，
由k1·k2＝－1，得
＝－1，
解得a＝－6.
综上可知，a的值为5或－6.
类型三 垂直与平行的综合应用
例3 已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标.
解析答案
反思与感悟
解析答案
解 ①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，
由已知AB∥DC，
AD⊥AB，而kCD＝0，
故A(1，－1).
②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)
.
反思与感悟
反思与感悟
该题目通过数形结合，排除了∠C为直角的可能性，也可通过计算kCD·kBC＝0≠－1.说明∠C不可能为直角.
跟踪训练3 已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标.
解析答案
返回
解 设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
因为AD⊥CD，AD∥BC，
所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.
所以第四个顶点D的坐标为(2,3).
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
1.已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
A.－3
B.3
C.－
D.
解析 因为直线l∥AB，
B
1
2
3
4
5
解析答案
2.若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为
的直
线垂直，则a的值为( )
A.
B.
C.10
D.－10
∴a＝－10.
D
1
2
3
4
5
3.若不同两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________.
所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
－1
解析答案
1
2
3
4
5
解析答案
4.已知点A(1,2)和点B(0,0)，点P在y轴上，若∠BAP为直角，则点P的坐标为________.
解析 设P(0，y)，
因为∠BAP为直角，
所以kAB·kAP＝－1，
1
2
3
4
5
解析答案
5.已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标.
解 设D(x，y)，
∵AB⊥CD且AD∥BC，
∴D(10，－6).
规律与方法
两直线平行或垂直的判定方法
斜率
直线
斜率均不存在
平行或重合
一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在
垂直
斜率均存在
相等
平行
积为－1
垂直
返回
