(共37张PPT)
第三章
§
3.3
直线的交点坐标与距离公式
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4
两条平行直线间的距离
1.了解点到直线距离公式的推导方法；
2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题；
3.初步掌握用解析法研究几何问题.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 点到直线的距离
思考1 如图，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？
答案
思考2 根据思考1的思路，点P到直线
Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？
思考3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？
答案 仍然适用，
①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，
答案
②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，
答案
1.定义：点到直线的
的长度.
2.图示：
垂线段
3.公式：
.
知识点二 两条平行直线间的距离
思考 直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？
答案 点A、B、C到直线l2的距离分别为
规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.
答案
1.定义：夹在两平行线间的
的长.
2.图示：
3.求法：转化为点到直线的距离.
公垂线段
答案
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 点到直线的距离
例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离.
②3y＝4；
解
3y＝4可化为3y－4＝0，
解析答案
③x＝3.
解
x＝3可化为x－3＝0，
解析答案
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
解析答案
反思与感悟
解
方法一 当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝－1，恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，
故x＝－1满足题意，
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，
综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
方法二 由题意得l∥AB或l过AB的中点，
当l∥AB时，
设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，
当l过AB的中点(－1,4)时，
直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
反思与感悟
(1)应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.
跟踪训练1 (1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是__________.
解析答案
(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为_____________________________.
解析答案
解析
过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x＝3与A、B两点的距离不相等，
故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
∴所求直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.
2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0
类型二 两平行线间的距离
例2 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离
为____.
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
解析答案
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为____________.
解析
设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
解析答案
反思与感悟
得c＝1，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
2x－y＋1＝0
反思与感悟
跟踪训练2 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线
方程；
解析答案
解 方法一 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
所以C＝32，或C＝－20，
方法二 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
解得C＝32，或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
解析答案
(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2距离为5，求两直线方程.
解
依题意，两直线的斜率存在，
设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
类型三 利用距离公式求最值
例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则
的最小值为________.
解析答案
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，
即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，
∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，
(2)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
①求d的取值范围；
解 设经过A点和B点的直线分别为l1、l2，
解析答案
反思与感悟
②求当d取最大值时，两条直线的方程.
两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.
反思与感悟
解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.
跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；
解 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，
此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在直线方程为y＝x，
解析答案
∴P点坐标为(2,2).
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.
解 由题意知与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，
解析答案
即x＋2y－5＝0.
类型四 对称问题
解析答案
反思与感悟
例4 求点P(－5,13)关于直线l：2x－3y－3＝0的对称点P′的坐标.
反思与感悟
解 设P′的坐标为(x0，y0)，
即2x0－3y0－55＝0.
①
即3x0＋2y0－11＝0.
②
∴P′的坐标为(11，－11).
反思与感悟
(2)直线关于直线的对称的求法
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1、P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程.
返回
跟踪训练4 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程.
解析答案
返回
解 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
∴A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，
两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
A.1
B.－1
D
1
2
3
4
5
解析答案
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( )
解析 l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，
C
1
2
3
4
5
3.光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为( )
解析 ∵点A关于x轴的对称点A′(－3，－5)，
由光的反射理论可知，此即为光线从A到B的距离.
C
解析答案
1
2
3
4
5
解析答案
4.两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，
则a＋d＝____.
10
∴a＋d＝10.
1
2
3
4
5
解析答案
5.在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是__________.
解析 由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|为最小，
(5，－3)
∴所求点的坐标为(5，－3).
规律与方法
1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之.
2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.
3.已知两平行直线，其距离可利用公式d＝
求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离.
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平分两条件列方程组可求解对称点坐标.
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第三章
§
3.3
直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2
两点间的距离
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系；
3.掌握两点间距离公式并会应用.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 直线的交点与直线的方程组解的关系
思考1 直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？
答案 直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解.反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.
思考2 已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
答案 只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.
答案
答案
思考3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
答案 (1)若方程组无解，则l1∥l2；
(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；
(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合.
答案
1.两直线的交点
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l1
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
点A在直线l1上
直线l1与l2的交点是A
A1a＋B1b＋C1＝0
答案
2.两直线的位置关系
方程组
的解
一组
无数组
直线l1与l2的公共点的个数
一个
零个
直线l1与l2的位置关系
重合
无解
无数个
相交
平行
知识点二 两点间的距离
已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
思考1 当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？
答案 |P1P2|＝|x2－x1|.
思考2 当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？
答案 |P1P2|＝|y2－y1|.
答案
返回
思考3 当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？请简单说明理由.
答案 如图，
在Rt
△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
答案
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 两条直线的交点问题
例1
(1)直线l1：2x－6y＝0与直线l2：
交点的个数为___.
②×6－①，得3＝0矛盾，
故方程组无解，
∴两直线无交点.
0
解析答案
(2)若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则
k＝________.
解析 在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，
解得k＝±6.
±6
解析答案
(3)直线l过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为_______________.
反思与感悟
∴两直线交点为(－1，－2)，
2x－y＝0
解析答案
反思与感悟
两条直线相交的判定方法
方法一
联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交
方法二
两直线斜率都存在且斜率不等
方法三
两直线的斜率一个存在，另一个不存在
跟踪训练1 (1)直线l1：2x－6y＋3＝0与l2：
的位置关系是______.
解析答案
②×6，整理得2x－6y＋3＝0，
所以①、②可以化成同一方程，
即①和②表示同一条直线，
∴l1与l2重合.
重合
(2)求经过两条直线2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0的交点，且与x＋3y－1＝0平行的直线l的方程.
设所求的直线方程为x＋3y＋c＝0，
即5x＋15y＋24＝0.
解析答案
类型二 两点间的距离公式及其应用
例2 如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
(1)判断△ABC的形状；
解析答案
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
解析答案
反思与感悟
(2)求△ABC的面积.
∴△ABC的面积为26.
反思与感悟
(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.
(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.
跟踪训练2 已知点A(－1,2)，B(2，
)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值.
解析答案
∵|PA|＝|PB|，
得x＝1，∴P(1,0)，
类型三 运用坐标法解决平面几何问题
例3 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2
＝2(|AD|2＋|DC|2).
解析答案
反思与感悟
证明 设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，
如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0).
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).
反思与感悟
利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.
跟踪训练3 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示，建立直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)
解析答案
故|AC|＝|BD|.
解析答案
类型四 直线恒过定点问题
例4 不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是____________.
解析答案
解析 方法一 取m＝1，得直线y＝－4.
取m＝
，得直线x＝9.
故两直线的交点为(9，－4)，
下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4).
将x＝9，y＝－4代入方程，
左边＝(m－1)·9－4·(2m－1)＝m－5＝右边，
故直线恒过点(9，－4).
反思与感悟
方法二 直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，
∵对任意m该方程恒成立，
故直线恒过定点(9，－4).
答案 (9，－4)
反思与感悟
反思与感悟
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组
解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).
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解析答案
跟踪训练4 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.
解析答案
解 方法一 对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，
令m＝0，得x－3y－11＝0；
令m＝1，得x＋4y＋10＝0.
得两条直线的交点坐标为(2，－3).
将点(2，－3)代入方程组左边，
得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.
这表明不论m取什么实数，
所给直线均经过定点(2，－3).
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方法二 将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0
整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，
所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).
1
2
3
达标检测
4
解析答案
1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
B
1
2
3
4
解析答案
2.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A.2x＋y－8＝0
B.2x－y－8＝0
C.2x＋y＋8＝0
D.2x－y＋8＝0
解析 首先解得交点坐标为(1,6)，
再根据垂直关系得斜率为－2，
可得方程y－6＝－2(x－1)，
即2x＋y－8＝0.
A
1
2
3
4
3.已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则
的值为( )
解析 由两点间的距离公式，
D
解析答案
1
2
3
4
解析答案
4.当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为__________.
解析 直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，
则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即
(－1，－2).
(－1，－2)
规律与方法
1.方程组
有惟一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).
2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.
3.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝
与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.
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