(共27张PPT)
第四章
§
4.2
直线、圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系
1.理解圆与圆的位置关系的种类；
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系；
3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点 两圆位置关系的判定
思考1 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？
答案 圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含.
答案
几何方法判断圆与圆的位置关系：
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则
(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；
(2)当d＝r1＋r2
时，圆C1与圆C2外切；
(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2
时，圆C1与圆C2相交；
(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；
(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含.
思考2 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？
答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，
当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，
当Δ<0时，两圆外离或内含.
返回
答案
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 两圆位置关系的判定
例1 a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0
(1)外切；
(2)相交；
(3)外离.
解析答案
反思与感悟
解 将两圆方程写成标准方程，
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，
C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.
(2)当1
(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.
反思与感悟
反思与感悟
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径.
②计算两圆圆心的距离d.
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.
跟踪训练1 (1)圆x2＋y2－2y＝0与圆(x－4)2＋(y＋2)2＝4的位置关系是( )
A.外离
B.相交
C.外切
D.内切
解析 圆的方程x2＋y2－2y＝0化为x2＋(y－1)2＝1，
∴两圆圆心分别为(0,1)，(4，－2)
解析答案
由d＝5>r1＋r2＝1＋2，
∴两圆外离.
A
(2)已知0＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( )
A.内切
B.外切
C.内含
D.相交
解析
两圆的圆心分别为(0,0)，(1，－1)，
解析答案
∴两圆相交.
D
类型二 两圆相交的问题
例2 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
解 将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
解析答案
∴r1－r2<|C1C2|∴两圆相交.
(2)求公共弦所在的直线方程；
解 将两圆方程相减，
得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
解析答案
解
方法一 由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到
方法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
解析答案
反思与感悟
直线x－2y＋4＝0的距离
(3)求公共弦的长度.
反思与感悟
(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
跟踪训练2 (1)两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为____.
解析 由题意知：直线AB与直线x－y＋c＝0垂直，
AB的中点坐标为(3,1)，
AB的中点在直线x－y＋c＝0上.
∴3－1＋c＝0，∴c＝－2，
∴m＋c＝5－2＝3.
解析答案
3
∴kAB×1＝－1，
(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝
所截得的弦长.
解 由题意将两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.
圆C3的圆心为(1,1)，
解析答案
类型三 两圆相切问题
例3 (1)已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是__________________________________________.
解析答案
解析 设圆C的半径为r，
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.
(2)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
①m取何值时两圆外切.
解析答案
②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
解析答案
解
两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.
圆心分别为C1(1,3)，C2(5,6).
①当两圆外切时，
反思与感悟
②
反思与感悟
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论.
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
返回
跟踪训练3 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )
A.21
B.19
C.9
D.－11
解析 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
∵C1，C2两圆的圆心分别为(0,0)，(3,4)，
解析答案
C
则d＝r1＋r2，
1
2
3
达标检测
4
解析答案
1.两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
解析 圆x2＋y2－1＝0的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，
圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，
B
又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，
所以r2－r1故两圆相交.
1
2
3
4
解析答案
2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
B
1
2
3
4
3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A.±3
B.±5
C.3或5
D.±3或±5
D
当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5，
解析答案
当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.
1
2
3
4
解析答案
4.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x＋y＋3＝0
B.2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0
D.4x－3y＋7＝0
解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.
C
规律与方法
1.判断两圆的位置关系的方法：
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.
(2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系.
2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.
3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.
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第四章
§
4.2
直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离；
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系；
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
答案
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
____
____
____
代数法：
消元得到一元二次方程的判别式Δ
____
____
____
dd＝r
d>r
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
由
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 直线与圆的位置关系的判定
例1 已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆
(1)相交；
解析答案
(2)相切；
(3)相离.
反思与感悟
解 方法一 (代数法)联立
消去y，
整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0.
Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1)
＝－32k2＋4＝4(1－8k2).
(1)
(3)当直线和圆相离时，Δ<0，
(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即k＝±
.
解析答案
由条件知，圆的半径为r＝1.
方法二 (几何法)圆心(0,0)到直线y＝kx－3k的距离
(3)当直线与圆相离时，d>r，
(2)当直线与圆相切时，d＝r，
(1)当直线与圆相交时，d反思与感悟
反思与感悟
直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
跟踪训练1 (1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相交
B.相离
C.相交或相切
D.相切
解析 由直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，
而(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上，
故直线与圆至少有一个公共点，
故选C.
解析答案
C
(2)过点P(－
，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________________.
解析 当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2＋y2＝1没有公共点，
解析答案
0°≤α≤60°
∴0°≤α≤60°.
类型二 切线问题
例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求：
(1)此切线的方程；
解析答案
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4).
设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
即15x＋8y－36＝0.
解 因为圆心C的坐标为(3,1)，
设切点为B，
则△ABC为直角三角形，
解析答案
反思与感悟
(2)其切线长.
∴切线长为4.
反思与感悟
求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目.
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－
，由点斜式方程可求得切线方程.如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝b或x＝a.
(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.
跟踪训练2 (1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A.－2或12
B.2或－12
C.－2或－12
D.2或12
解析 圆方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
解析答案
D
得b＝2或12，故选D.
(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程：
∴点P在圆x2＋y2＝4上，
解析答案
②切线斜率为2.
解 设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，
由圆心到切线的距离为半径，可得：
类型三 弦长问题
例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.
解析答案
解析
方法一 (交点法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
解析答案
解析答案
方法二 (弦长公式)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
消去y，得2x2－2x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
方法三 (几何法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2
的圆的方程为________________________.
解析 设圆的半径为r，由条件，得
所以r2＝2＋2＝4，r＝2，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
(x－2)2＋(y＋1)2＝4
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为4
，求l的方程.
解析答案
反思与感悟
解 方法一 若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
所以直线l的斜率存在，
设其方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0.
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，
|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，
在Rt△AHO中，|OA|＝5，
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
解析答案
反思与感悟
方法二 若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，且与圆相交于A(x1，y1),
B(x2，y2)两点，
得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
所以Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k>0，
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，
解得k＝
或k＝2，均符合题意.
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
由斜率公式，
得y1－y2＝k(x1－x2).
反思与感悟
求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式
|AB|＝
求解.
(2)弦长公式：
如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆
的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
(直线l的斜率k存在).
(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有
通常采用几何法较为简便.
跟踪训练3 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.
(1)证明直线l与圆相交；
证明 ∵l：kx－y＋k＋2＝0，
直线l可化为y－2＝k(x＋1)，
∴直线l经过定点(－1,2)，
∵(－1)2＋22<8，
∴(－1,2)在圆C内，
∴直线l与圆相交.
解析答案
返回
(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.
解 由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，
又x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短，
∵kOP＝－2，
解析答案
设直线l与圆交于A、B两点，
即x－2y＋5＝0.
1
2
3
达标检测
4
解析答案
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴选B.
B
1
2
3
4
解析答案
2.已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为( )
A.?
B.(1,1)
C.{(1,1)}
D.{(－1，－1)}
C
1
2
3
4
3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )
A.0或2
B.0或4
C.2
D.4
C
解得m＝2或m＝0(应舍去).
解析答案
1
2
3
4
解析答案
4.直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥2
，则k的取值范围是__________.
解得k≤0.
(－∞，0]
规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较
(1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.
(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.
2.过一点的圆的切线方程的求法
(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法
(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法.
(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.
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第四章
§
4.2
直线、圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；
2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；
3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点 坐标法解决几何问题的步骤
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示
问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过
，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
代数运算
返回
答案
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 直线与圆的方程的应用
例1 某圆拱桥的水面跨度20
m，拱高4
m.现有一船，宽10
m，水面以上高3
m，这条船能否从桥下通过？
反思与感悟
解析答案
解 建立如图所示的坐标系.
依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0).
设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3
m,3＜3.1，
所以该船可以从桥下通过.
反思与感悟
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.
反思与感悟
解决直线与圆的实际应用题的步骤：
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
跟踪训练1 如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽为________米.
解析答案
解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖
直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，
圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2，
水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，
将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝
，
∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝
米.
类型二 坐标法证明几何问题
例2 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
解析答案
反思与感悟
证明 以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，
建立平面直角坐标系，如图所示，
设|AB|＝2r，D(a,0)，
∴圆O：x2＋y2＝r2，
∴EF平分CD.
反思与感悟
反思与感悟
(1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：
①建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题
的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题.
②通过代数运算，解决代数问题.
③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论.
(2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则：
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.
②常选特殊点作为直角坐标系的原点.
③尽量使已知点位于坐标轴上.
建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.
跟踪训练2 如图，直角△ABC的斜边长为定值
2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线
BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.
证明 如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，
于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0).
设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上.
|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).
解析答案
类型三 直线与圆位置关系的应用
例3 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60
km处，受影响的范围是半径长为20
km的圆形区域(如图).已知港口位于台风中心正北30
km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解析答案
反思与感悟
解 建立如图所示的直角坐标系，取10
km为单位长度，
由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，
反思与感悟
即x＋2y－6＝0，
台风区域边界所在圆的方程为x2＋y2＝4.
由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离
所以直线x＋2y－6＝0与圆x2＋y2＝4相离，
因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响.
反思与感悟
针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题.
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跟踪训练3 设半径为3
km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？
解析答案
返回
解 由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立直角坐标系，如图，
设A、B两人的速度分别为3v
km/h，v
km/h，
设A出发a
h，在P处改变方向，又经过b
h到达相遇点Q，
则P(3av,0)，Q(0，(a＋b)v)，
则|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v.
在Rt△OPQ中，|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.
由PQ与圆x2＋y2＝9相切，
1
2
3
达标检测
4
解析答案
1.一辆卡车宽1.6
m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6
m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A.1.4
m
B.3.5
m
C.3.6
m
D.2.0
m
解析 如图，
圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，
所以|AB|＝0.8，
B
1
2
3
4
解析答案
2.据气象台预报：在A城正东方300
km的海面B处有一台风中心，正以每小时40
km的速度向西北方向移动，在距台风中心250
km以内的地区将受其影响.从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约为________h(结果精确到0.1
h).
1
2
3
4
解析 以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则台风中心的移动轨迹是y＝－x，
受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.
依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，
∴从现在起经过约2.0
h，台风将影响A城，持续时间约为6.6
h.
答案 2.0 6.6
1
2
3
4
3.设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________.
解析答案
1
2
3
4
解析答案
4.已知集合A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}.若A∩B＝?，则实数m的取值范围是________.
解析 如图，
A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}
表示直线x－y＋m＝0及其右下方区域，
B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圆x2＋y2＝1及其内部，
要使A∩B＝?，则直线x－y＋m＝0在圆x2＋y2＝1的下方，
规律与方法
1.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识.
2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.
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