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第四章
§
4.3
空间直线坐标系
4.3.2 空间两点间的距离公式
1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；
2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点 空间两点间的距离公式
思考 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？
答案
返回
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 求空间两点间的距离
例1 如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求|MN|的长.
反思与感悟
解析答案
解 建立如图所示空间直角坐标系，过M作MF垂直BC于F，连接NF，显然MF垂直平面ABCO，所以MF⊥NF，
因为|BM|＝2|MC′|，所以|BF|＝2|FC|，
又|AN|＝2|CN|，所以NF∥AB，
反思与感悟
反思与感悟
在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用.如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用.
跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.
解析答案
解 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
类型二 求空间点的坐标
解 因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0)，
因为|PP1|＝2|PP2|，
解析答案
所以x＝±1，所以点P坐标为(1,0,0)或(－1,0,0).
反思与感悟
反思与感悟
由空间两点间距离求点的坐标的方法
(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
跟踪训练2 已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点距离相等，求A，B，C的坐标.
解 设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，
解析答案
所以x＝－3，
同理，由|BP1|＝|BP2|得y＝－1，
类型三 空间两点间距离公式的应用
例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a
解析答案
(1)求|MN|的长；
(2)当a为何值时，|MN|的长最小.
反思与感悟
解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE两两垂直.
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB.
∵|CM|＝|BN|＝a，
∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线
为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
反思与感悟
距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值.
跟踪训练3 (1)已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析答案
∵|BC|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形，|BC|2＋|AC|2≠|AB|2，
∴△ABC不是直角三角形，
故选A.
A
(2)在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P，Q两点间的最小距离.
解析答案
返回
解析答案
解 由于S－ABCD是正四棱锥，所以P点在底面上的射影R在OC上，
而侧棱长也为a，所以|SO|＝|OC|，于是|PR|＝|RC|，
又因为Q点在底面ABCD的对角线BD上，
所以可设Q点的坐标为(y，y,0)，因此P，Q两点间的距离
又因为底面边长为a，
返回
这时，点P恰好为SC的中点，点Q恰好为底面的中心.
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
A
1
2
3
4
5
解析答案
A.－3或4
B.6或2
C.3或－4
D.6或－2
解得x＝6或x＝－2.
D
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2
3
4
5
3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为
a的正方体ABCD－A′B′C′D′，A′C
的中点E与AB的中点F的距离为( )
B
解析答案
1
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解析答案
4.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________.
1
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3
4
5
解析答案
5.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，－3).在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
1
2
3
4
5
解 假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形.
设坐标原点为O，A、B都在平面xOz上，而y轴垂直于平面xOz，
所以OA⊥OM，OB⊥OM，
所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形.
规律与方法
1.空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.
2.若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解.
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第四章
§
4.3
空间直线坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
1.了解空间直角坐标系的建系方式；
2.掌握空间中任意一点的表示方法；
3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点 空间直角坐标系
思考1 在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置.在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置.为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？
答案 三个.
思考2 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？
答案 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直.
答案
1.空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：
，这样就建立了一个
.
(2)相关概念：
叫做坐标原点，
叫做坐标轴，通过
的平面叫做坐标平面，分别称为
平面、
平面、
平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向
的正方向，食指指向
的正方向，如果中指指向
的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
答案
x轴、y轴、z轴
空间直角坐标系Oxyz
x轴、y轴、z轴
两个坐标轴
每
点O
xOy
yOz
zOx
x轴
y轴
z轴
3.空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用
来表示，_________________
叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作
，其中
叫做点M的横坐标，
叫做点M的纵坐标，
叫做点M的竖坐标.
有序实数组(x，y，z)
有序实数组(x，y，z)
(x，y，z)
x
y
z
返回
答案
题型探究
重点难点
个个击破
类型一 求空间点的坐标
例1 (1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|BC|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标.
解析答案
解 如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，
以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
由题意知长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，
显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；
D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；
A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；
C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4).
由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，
∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，
∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，
∴B1(3,5,4).
(2)在棱长为a的正四棱锥P－ABCD中，建立适当的空间直角坐标系.
①写出四棱锥P－ABCD各个顶点的坐标；
解析答案
②写出棱PA的中点M的坐标.
反思与感悟
解 连接AC，BD交于点O，连接PO，
以O为坐标原点，
OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
①正四棱锥P－ABCD各顶点坐标分别为
②
因为M为棱PA的中点，
反思与感悟
反思与感悟
(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则：
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z).
反思与感悟
(3)坐标平面上的点的坐标特征：
xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0).
yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z).
xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z).
(4)坐标轴上的点的坐标特征：
x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0).
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0).
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z).
跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝
|CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标.
解析答案
解 建立如图所示的空间直角坐标系.
点E在z轴上，它的横坐标x、纵坐标y均为0，
而E为DD1的中点，
过F作FM⊥AD、FN⊥DC，
点G在y轴上，其横坐标x、竖坐标z为0，
过H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故K为CG的中点，
类型二 已知点的坐标确定点的位置
例2 在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6).
解 方法一 第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，
第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，
第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.
解析答案
方法二 以O为顶点构造长方体，
使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，
且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.
反思与感悟
反思与感悟
已知点P的坐标确定其位置方法：
(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.
(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置.
(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.
跟踪训练2 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(－2,0,3)位于( )
A.xOz平面内
B.yOz平面内
C.y轴上
D.z轴上
解析 因为点P的纵坐标y＝0，且x，z均不为0，故点P位于xOz平面内.
解析答案
A
类型三 空间中点的对称问题
例3 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.
解析答案
反思与感悟
解 过A作AM⊥平面xOy于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，
则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1).
过A作AN⊥x轴交x轴于N，并延长到点B，
使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，
∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)，
关于x轴对称的点为B(1，－2,1).
反思与感悟
以下几条对称规律要在理解的基础上熟记：
(1)A(x，y，z)关于x轴的对称点为A1(x，－y，－z)，
关于y轴的对称点为A2(－x，y，－z)，
关于z轴的对称点为A3(－x，－y，z).
(2)A(x，y，z)关于原点的对称点为A4(－x，－y，－z).
(3)A(x，y，z)关于xOy平面的对称点为A5(x，y，－z)，
关于xOz平面的对称点为A6(x，－y，z)，
关于yOz平面的对称点为A7(－x，y，z).
关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标的变化规律为“关于谁对称谁不变，其余的相反”.
跟踪训练3 已知点P(2,3，－1)，求：
(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；
解 设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′，
则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同，
而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数.
所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2,3,1).
同理，点P关于yOz，xOz坐标平面的对称点的坐标分别为
(－2,3，－1)，(2，－3，－1).
解析答案
返回
(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标；
解 设点P关于x轴的对称点为Q，
则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，
而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数.
所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3,1).
同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为
(－2,3,1)，(－2，－3，－1).
解析答案
(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标.
解 点P(2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1).
1
2
3
达标检测
4
5
解析答案
1.点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )
A.
B.|a|
C.|b|
D.|c|
解析 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.
D
1
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3
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5
解析答案
2.点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是( )
A.(4,2,2)
B.(2，－1,2)
C.(2,1,1)
D.(4，－1,2)
解析 设点P与Q的中点坐标为(x，y，z)，
C
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5
3.在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是__________.
(0,2，－3)
解析 由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，
点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3).
解析答案
1
2
3
4
5
解析答案
4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为____________；点P1关于z轴的对称点P2的坐标为________________.
解析 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，
点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，－1).
(1,1，－1)
(－1，－1，－1)
1
2
3
4
5
解析答案
5.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直
棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.
试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标.
解 以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1
为x轴、y轴、z轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题设，
B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4).
规律与方法
1.空间中确定点M坐标的三种方法：
(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标.
(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标.
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标.
2.求空间对称点的规律方法
(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
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