高一数学人教版A版必修二课件：第四章　圆与方程章末复习课 课件(共36张PPT)

章末复习课
第四章　圆与方程
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识；
2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，渗透数形结合的数学思想.
要点归纳
题型探究
达标检测
学习目标
要点归纳 　　　　主干梳理 点点落实
1.圆的方程
(1)圆的标准方程：___________________.
(2)圆的一般方程：____________________________________.
2.点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?点P_______.
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点P_______.
答案
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
在圆外
在圆内
在圆上
3.直线与圆的位置关系
设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d__r→相离；d__r→相切；d__r→相交.
4.圆与圆的位置关系
设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则
答案
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
>
＝
<
5.求圆的方程时常用的四个几何性质
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.
6.与圆有关的最值问题的常见类型
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类型一　求圆的方程
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
例1　根据条件求下列圆的方程：
(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；
解　由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，
解析答案
∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
解析答案
反思与感悟
解析答案
解　方法一　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴(a－b)2＝4，
又∵b＝2a，∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
反思与感悟
解析答案
解　方法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，
∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a.
由圆被直线x－y＝0截得的弦长为
将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，
得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.
设直线y＝x交圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16.
反思与感悟
反思与感悟
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
反思与感悟
求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，
利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为
第一步：选择圆的方程的某一形式；
第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；
第四步：代入圆的方程.
注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，
例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等.
跟踪训练1　求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程.
解析答案
解　方法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
解得a＝1，b＝－4，r＝ ，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
方法二　过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，
与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4).
于是所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
类型二　直线与圆、圆与圆的位置关系
例2　已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为 ，求l的方程.
解析答案
反思与感悟
解　如图所示，|AB|＝ ，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，
即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又∵直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
反思与感悟
反思与感悟
直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长.
解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线.
解　设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
解析答案
跟踪训练2　已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋ y＝0相切于点Q(3，－ )，求圆C的方程.
例3　设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
类型三　与圆有关的轨迹问题
解析答案
反思与感悟
解　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，
由于平行四边形的对角线互相平分，
又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
反思与感悟
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
反思与感悟
跟踪训练3　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
解　设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
解析答案
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解　设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
解析答案
类型四　分类讨论在直线与圆中的应用
解析答案
例4　已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程.
解　圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5，
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.
即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0，
综上所述，满足题设的直线l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线方程时，根据题意不确定斜率是否存在，要分斜率存在与斜率不存在这两种情况进行分类讨论.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练4　过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程.
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解　∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
∴点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在，
设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
②若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
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达标检测 　　　　
解析答案
1.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则
(1)圆C的标准方程为_____________________.
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(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.
解析　令x＝0得：B(0， ＋1).
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解析答案
解析答案
2.已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，则直线l的方程为________________________.
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解析　 (1)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.
作示意图如图，MC⊥AB于C.
故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，
综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.
解析答案
3.圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为________.
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解析答案
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解　设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6上的任意一点P(x，y).
由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值.
规律与方法
初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.
圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，经常使用的几何性质有
(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.
(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.
(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.
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