高一数学人教版A版必修二课件：第二章　点、直线、平面之间的位置关系章末复习课 课件(共45张PPT)

章末复习课
第二章　点、直线、平面之间的位置关系
1.整合知识结构，梳理各知识网络，进一步巩固、深化所学知识；
2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化.
要点归纳
题型探究
达标检测
学习目标
要点归纳 　　　　主干梳理 点点落实
1.四个公理
公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2：过__________________的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____________________.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_____.
2.直线与直线的位置关系
答案
————
共面直线
异面直线：不同在_____一个平面内，没有公共点
两点
不在同一条直线上
一条过该点的公共直线
平行
平行
相交
任何
3.平行的判定与性质
(1)直线与平面平行的判定与性质
答案
?
判定
性质
定义
定理
图形
条件
_________
___________________
______
____________________
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝?
a∥b
a∩α＝?
a?α，b?α，
a∥b
a∥α
a∥α，a?β，
α∩β＝b
(2)面面平行的判定与性质
答案
?
判定
性质
定义
定理
图形
条件
_________
_____________________
___________
_____，_________，_________
α∥β，a?β
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
α∩β＝?
a?β，b?β，
a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β
β∩γ＝b
α∩γ＝a
(3)空间中的平行关系的内在联系
4.垂直的判定与性质
(1)直线与平面垂直
答案
?
图形
条件
结论
判定
a⊥b，b?α
(b为α内的______直线)
a⊥α
a⊥m，a⊥n，m、n?α，___________
a⊥α
任意
m∩n＝O
答案
判定
a∥b，______
b⊥α
性质
a⊥α，______
a⊥b
a⊥α，b⊥α
______
a⊥α
b?α
a∥b
(2)平面与平面垂直的判定与性质定理
?
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条_____，那么这两个平面互相垂直
?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
?l⊥α
α⊥β，
α∩β＝a，
l?β，
l⊥a
垂线
答案
(3)空间中的垂直关系的内在联系.
答案
5.空间角
(1)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角).
②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°.
锐角(或直角)
(2)直线和平面所成的角
①平面的一条斜线与它在______________所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角.
②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为__________.
(3)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线和由这条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角.
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作_________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
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答案
平面内的射影
90°和0°
两个半平面
垂直于棱
类型一　几何中共点、共线、共面问题
题型探究 　　　　重点难点 个个击破
例1　如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
求证：(1)E、F、G、H四点共面；
证明　∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD，
又EF∥BD，∴EF∥GH，
∴E、F、G、H四点共面.
解析答案
(2)GE与HF的交点在直线AC上.
证明　∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.
又EF∥GH，∴EG与FH不平行，
则必相交，设交点为M.
反思与感悟
?M在面ABC与面ACD的交线上，
又面ABC∩面ACD＝AC?M∈AC.
∴GE与HF的交点在直线AC上.
解析答案
反思与感悟
1.证明共面问题
证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合.
2.证明三点共线问题
证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上.
3.证明三线共点问题
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.
跟踪训练1　如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点.求证：O、M、A1三点共线.
证明　∵O∈AC，AC?平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.
∵M∈AC1，AC1?平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1.
又已知A1∈平面ACC1A1，
即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，
又O、M、A1三点都在平面A1BD上，
所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，
所以O、M、A1三点共线.
解析答案
类型二　空间中的平行关系
例2　如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，
求证：(1)GE∥平面BB1D1D；
证明　如图，取B1D1中点O，连接GO，OB，
解析答案
∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形.
∴OB∥GE.
∵OB?平面BDD1B1，GE?平面BDD1B1，
∴GE∥平面BDD1B1.
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明 由正方体性质得B1D1∥BD，
∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF.
连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.
∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，
∴HD1∥平面BDF.
∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
解析答案
反思与感悟
反思与感悟
1.判断线面平行的两种常用方法
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
(1)利用线面平行的判定定理.
(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.
2.判断面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ)；
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β).
跟踪训练2　如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.
证明　∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，
又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，
∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，
∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，
又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.
解析答案
例3　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.
证明：(1)CD⊥AE；
证明　在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
类型三　空间中的垂直关系
解析答案
(2)PD⊥平面ABE.
证明　由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
解析答案
反思与感悟
空间垂直关系的判定方法
(1)判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b).
(2)判定线面垂直的方法：
①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)；
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ).
反思与感悟
反思与感悟
(3)面面垂直的判定方法：
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).
跟踪训练3　如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
解　如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，
解析答案
解 当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：①当D在平面ABC内时，
因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，
由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.
又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，
由CD?平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
解析答案
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.
类型四　空间角问题
解析答案
例4　如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；
解　在四棱锥P—ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.
在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.
(2)证明：AE⊥平面PCD；
证明　在四棱锥P—ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，
所以CD⊥平面PAC.
又AE?平面PAC，所以AE⊥CD.
由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.
解析答案
(3)求二面角A—PD—C的正弦值.
解析答案
反思与感悟
解　过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示.
由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，
则可证得AM⊥PD.
因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角.
由已知，可得∠CAD＝30°.
设AC＝a，可得
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，
反思与感悟
1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
2.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
3.二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练4　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
解　∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，
∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.
∴OC⊥平面ABO.
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.
解析答案
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
解　如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.
解析答案
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.
解　∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，
∴OC⊥平面AOB.
又∵OC?平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
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1
2
3
达标检测 　　　　
解析答案
1.下列四个结论：
(1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行.
(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行.
(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.
(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.
其中正确的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4
解析　(1)两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能；
(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；
(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；
(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内.
答案　A
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2
3
4
解析答案
2.设有不同的直线m、n和不同的平面α、β，下列四个命题中，正确的是(　　)
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C.若α⊥β，m?α，则m⊥β
D.若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
1
2
3
4
解析　选项A中当m∥α，n∥α时，m与n可以平行、相交、异面；
选项B中满足条件的α与β可以平行，也可以相交；
选项C中，当α⊥β，m?α时，m与β可以垂直，也可以平行等.
故选项A、B、C均不正确.
D
解析答案
3.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点.
求证：(1)C1O∥面AB1D1；
证明　如图，连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，连接AO1，
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是平行四边形，
∴A1C1∥AC且A1C1＝AC，
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，
∴O1C1∥AO且O1C1＝AO，
∴四边形AOC1O1是平行四边形，
∴C1O∥AO1，AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1，
∴C1O∥面AB1D1.
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解析答案
(2)A1C⊥面AB1D1.
证明　∵CC1⊥面A1B1C1D1，
∴CC1⊥B1D1，
又∵A1C1⊥B1D1，
∴B1D1⊥面A1C1CA，
即A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，
又B1D1∩AB1＝B1，∴A1C⊥面AB1D1.
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4
解析答案
1
2
3
4
4.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.
(1)证明：△PBC是直角三角形.
解　因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，
B的一动点，
所以BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，
又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
所以BC⊥PC，
所以△PBC是直角三角形.
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4
(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
解析答案
1
2
3
4
解　如图，过A作AH⊥PC于H，连接BH，
因为BC⊥平面PAC，所以BC⊥AH，PC∩BC＝C，
所以AH⊥平面PBC，所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成角，
因为PA⊥平面ABC，所以∠PCA即是PC与平面ABC所成角，
规律与方法
一、平行关系
1.平行问题的转化关系
2.直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；
(4)a⊥α，a⊥β?α∥β.
二、垂直关系
1.空间中垂直关系的相互转化
2.判定线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理.
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.
(4)利用面面垂直的性质.
3.判定线线垂直的方法
(1)平面几何中证明线线垂直的方法.
(2)线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b.
(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b.
4.判断面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.
三、空间角的求法
1.找异面直线所成角的三种方法
(1)利用图中已有的平行线平移.
(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.
(3)补形平移.
2.线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.
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