课题：二次函数与一元二次方程
【学习目标】
1．知道二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想．
【学习重点】
利用二次函数的图象与x轴交点情况确定一元二次方程的根的情况．
【学习难点】
数与形之间的相互转化．
一、情景导入 感受新知
问题：以40
m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系h＝20t－5t2.球的飞行高度能否达到15
m或20
m或20.5
m？如能，需要多少飞行时间呢？要解决这个问题，我们一起学习本节内容——二次函数与一元二次方程．(板书课题)
二、自学互研 生成新知
阅读教材P43“问题”至P44“思考”之前的内容，完成下面的范例：
①球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h＝20t－5t2.课本四个问题都是已知h求t(均选填t或h)，因此可以将函数问题转化为一元二次方程问题．
②结合课本图22.2—1，分别对四个方程的解给一个合理的解释．
方程(1)：小球在某一时间高度达到15
m，然后继续上升，达到最大高度后下落，经过一段时间，高度又回落到15
m，所以在两个时间球的高度为15
m.
方程(2)：20
m是小球的最大高度，小球只能在一个时间达到最大高度．
方程(3)：小球最大高度为20
m，不可能达到20.5
m，所以方程无实数根．
方程(4)：小球最初被打出时高度为0，经过一段时间落地后高度再次为0，中间的时间差即为飞行的时间．
③从课本中问题的解法中，可以发现：
求y＝ax2＋bx＋c的值为k时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k解决；
求y＝ax2＋bx＋c的值为0时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0解决．
归纳：一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论．
(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种情况：没有公共点(b2－4ac<0)，有一个公共点(b2－4ac＝0)，有两个公共点(b2－4ac>0)，这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根．
师生活动：
①明了学情：关注学生自主探究第③题的情况．
②差异指导：指导学生思考二次函数与一元二次方程的关系．
③生生互助：小组内相互交流、研讨．
三、典例剖析 运用新知
我们可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．
典例：用图象法求一元二次方程2x2－4x－1＝0的近似解．
解：设y＝2x2－4x－1.画出抛物线y＝2x2－4x－1的图象如图所示．
由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y＝0.即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2.
变式1：观察课本图22.2－3，分别指出x2－2x－2＜0和x2－2x－2＞0的解集．
∵x2－2x－2＝0的两根为x1≈－0.7，x2≈2.7，
∴x2－2x－2＜0的解集为－0.7＜x＜2.7，
x2－2x－2＞0的解集为x＞2.7或x＜－0.7.
变式2：如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)，请你指出何时ax2＋bx＋c＝0，何时ax2＋bx＋c＞0，何时ax2＋bx＋c＜0.
x＝x1和x＝x2时，ax2＋bx＋c＝0.
x＞x2或x＜x1时，ax2＋bx＋c＞0.
x1＜x＜x2时，ax2＋bx＋c＜0.
师生活动：
①明了学情：怎样利用函数图象，求相应方程的近似根．
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导．
③生生互助：小组内相互交流、研讨．
四、课堂小结 回顾新知
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点?方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根?b2－4ac＞0；
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点?方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根?b2－4ac＝0；
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点?方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根?b2－4ac＜0.
五、检测反馈 落实新知
1．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( B )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0
D．x1＝1，x2＝3
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－1，0)，(3，0)，则这条抛物线的对称轴是( C )
A．直线x＝－1
B．直线x＝0
C．直线x＝1
D．直线x＝3
3．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( C )
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
A.3B．3.23C．3.24D．3.254．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y<0时x的取值范围是( C )
A.x<－1
B．x>2
C．－1D．x<－1或x>2
六、课后作业 巩固新知课题：用待定系数法求二次函数的解析式
【学习目标】
1．学会用待定系数法求抛物线的解析式．
2．熟练地根据二次函数的不同性质选择适当的方法求解析式．
【学习重点】
用待定系数法求二次函数的解析式．
【学习难点】
合理选用适当方法求二次函数解析式．
一、情景导入 感受新知
问题1：一般地，函数关系式中有几个独立的系数，我们就需要相同个数的独立条件才能求出函数的关系式．例如：我们确定正比例函数y＝kx(k≠0)只需要一个独立条件；确定一次函数y＝kx＋b(k≠0)需要两个独立条件．如果要确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的关系式，需要几个条件呢？
问题2：如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
板书课题：用待定系数法求二次函数解析式．
二、自学互研 生成新知
阅读教材P39～P40，完成下面的内容：
①回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式的关键是什么？
②请仿照求一次函数的解析式的步骤，求图象经过(1，1)，(－1，4)，(0，3)三点的二次函数的解析式．
解：设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，(－1，4)，(0，3)三点．
∴解得
∴所求二次函数的解析式为y＝－x2－x＋3.
总结用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤．
归纳：求二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c，需要求出a，b，c的值．由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式．
师生活动：
①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况．
②差异指导：根据学情进行相应指导．
③生生互助：小组内同学相互交流研讨，纠错．
三、典例剖析 运用新知
范例：已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式．
解：依题意，设y＝a(x－h)2＋k.将顶点坐标(4，－1)和与y轴交点(0，3)代入，得3＝a(0－4)2－1.解得a＝.∴这条抛物线的解析式为y＝(x－4)2－1.
变式：如图，抛物线的对称轴为y轴，求图中抛物线的解析式．
解：∵抛物线上一点坐标为(0，3)，
∴可设抛物线解析式为y＝ax2＋3.
∵抛物线上一点坐标为(1，1)，
∴1＝a＋3.
解得a＝－2.
∴抛物线解析式为y＝－2x2＋3.
思考：
①图象顶点为(h，k)的二次函数的解析式是y＝a(x－h)2＋k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？
如何设解析式．
②已知抛物线顶点为(1，－4)，且又过点(2，－3)，求其解析式．
设抛物线解析式为y＝a(x－1)2－4，抛物线过点(2，－3)，则－3＝a(2－1)2－4，则a＝1.
∴抛物线解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
③总结已知顶点坐标和一点，求二次函数的解析式的一般步骤．
设解析式为y＝a(x－h)2＋k.将已知点坐标代入求a值得出解析式．
师生活动：
①明了学情：明了学生是否会设顶点式．
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导．
③生生互助：小组内相互交流、研讨、修正错误．
四、课堂小结 回顾新知
1．已知三点，设一般式求二次函数解析式——y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．已知顶点，设顶点式求二次函数解析式——y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
3．已知与x轴没交点，设交点式求二次函数解析式——y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
五、检测反馈 落实新知
1．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为A(－2，－2)，且过点B(0，2)，则y与x的函数关系式为( D )
A．y＝x2＋2 B．y＝(x－2)2＋2
C．y＝(x－2)2－2
D．y＝(x＋2)2－2
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过(1，2)和(－1，－6)两点，则a＋c＝－2．
3．已知二次函数的图象经过点(4，－3)，并且当x＝3时有最大值4，则其解析式为y＝－7(x－3)2＋4．
4．已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式：
(1)(－1，－1)，(0，－2)，(1，1).
y＝2x2＋x－2
(2)(－1，0)，(3，0)，(1，－5).
y＝(x－1)2－5.
六、课后作业 巩固新知课题：二次函数的图象与字母系数之间的关系
【学习目标】
让学生掌握二次函数的图象与字母系数之间的关系．
【学习重点】
掌握二次函数的图象与字母系数之间的关系．
【学习难点】
二次函数的图象与字母系数之间的关系是本节的难点．
一、情景导入 感受新知
完成下表格：
函数
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
a>0
a<0
开口
向上
向下
对称轴
x＝－
x＝－
顶点坐标
最值
当x＝－时，y取最小值．
当x＝－时，y取最大值．
增减性
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
问题：二次函数的图象与系数a，b，c之间还有怎样的关系呢？
二、自学互研 生成新知
典例：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有( C )
A.a>0，b>0
B.a>0，c>0
C.b>0，c>0
D.a，b，c都小于0
归纳：a的符号由抛物线的开口方向决定，图象开口向上，a>0，图象开口向下，a<0；b的符号由抛物线的对称轴位置决定，当对称轴在y轴的左侧时，a，b同号，对称轴在y轴的右侧时，a，b异号，对称轴在y轴，b＝0；c的符号由图象与y轴的交点位置决定．在y轴的正半轴时，c>0，在y轴的负半轴时，c<0，在原点时，c＝0．
师生活动：
①明了学情：了解学生能否根据图象确定a，b，c的符号．
②差异指导：根据学情适时对学生进行点拨．
③生生互助：小组合作、交流，讨论形成共识．
三、典例剖析 运用新知
典例：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的Δ的情况是( C )
A.Δ<0 B．Δ＝0
C.Δ>0
D．Δ≥0
变式1：若抛物线y＝x2＋2x＋a的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是( B )
A.a>1
B．a<1
C.a≥1
D．a≤1
变式2：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(c≠0)的图象如图所示，下列结论①b<0；②4a＋2b＋c<0；③a－b＋c>0；④(a＋b)2A.①②
B．①③
C.①③④
D．①②③④
变式3：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a＋b<0；③a－b＋c<0；④a＋c>0，其中正确结论的个数为( C )
A.4个
B．3个
C.2个
D．1个
师生活动：
①明了学情：观察学生在解题时有什么困难．
②差异指导：对于学生的疑惑之处适时个别或分类点拨．
③生生互助：小组交流、讨论、纠错，并寻找错因．
四、课堂小结 回顾新知
①抛物线与x轴有两个交点时，b2－4ac＞0；抛物线与x轴只有一个交点时，b2－4ac＝0；抛物线与x轴没有交点时，b2－4ac＜0．
②直线x＝1与抛物线y＝ax2＋bx＋c交点在x轴上，a＋b＋c＝0；交点在x轴上方，a＋b＋c＞0；交点在x轴下方，a＋b＋c＜0.根据直线x＝－1与抛物线交点的位置可以确定a－b＋c的符号．
③若抛物线的对称轴是直线x＝1，则－＝1，即b＋2a＝0；若抛物线的对称轴是直线x＝－1，则－＝－1，即b－2a＝0．也经常利用对称轴大于或者小于±1，确定2a＋b或者2a－b与0的关系．
五、检测反馈 落实新知
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(c≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )
A.a>0 B．b<0 C．c<0 D．a＋b＋c>0
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))
2．图为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a>0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c>0；④当－10.其中正确的个数为( C )
A.1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为0．
六、课后作业 巩固新知
