(共76张PPT)
3.1
《变化率与导数》
教学目标
了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵
教学重点：
导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵
变化率问题
问题1
气球膨胀率
问题2
高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度是
引导：
这一现象中，哪些量在改变？
变量的变化情况？
引入气球平均膨胀率的概念
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了
r(1)－r(0)=
0.62
当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了
r(２)－r(１)=
0.１６
这一现象中，哪些量在改变？
变量的变化情况？
引入气球平均膨胀率的概念
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率
设某个变量
f
随
x
的变化而变化，
从
x
经过
△x
，
量
f
的改变量为
量
f
的平均变化率为
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度——瞬时速度．
2．
瞬时速度
平均速度的概念
这段时间内汽车的平均速度为
已知物体作变速直线运动，其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移，t
表示时间)，求物体在
t0
时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0，在时刻t0
+Dt
的位置是s(t0+Dt)
＝OA1，则从
t0
到
t0
+Dt
这段时间内，物体的
位移是
在时间段(
t0+Dt)－
t0
=
Dt
内，物体的平均速度为:
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是
s
=s(t
)，那么物体在时刻t
的瞬时速度v，就是物体在t
到
t+Dt
这段时间内，当
Dt?0
时平均速度．
的极限．即
例
物体作自由落体运动，
运动方程为：
，其中位移
单位是m
，时间单位是s
，g=9.8m/s2．
求：(1)
物体在时间区间
[2，2.1]上的平均速度；
(2)
物体在时间区间[2，2.01]上的平均速度；
(3)
物体在t
=2时的瞬时速度.
(1)
将
Dt=0.1代入上式，得
(2)
将
Dt=0.01代入上式，得
平均速度
的极限为:
(
3)
当
当时间间隔Dt
逐渐变小时,平均速度
就越接近t0=2(s)
时的瞬时速度v=19.6(m/s)
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s).
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是
s
=s(t
)，那么物体在时刻t
的瞬时速度v，就是物体在t
到
t+Dt
这段时间内，当
Dt?0
时平均速度
的极限．即
瞬时速度
高台跳水
Δt
Δt
-0.1
-12.61
0.1
-13.59
-0.01
-13.051
0.01
-13.149
-0.001
-13.0951
0.001
-13.1049
-0.0001
-13.009951
0.0001
-13.10049
-0.00001
-13.099951
0.00001
-13.100049
高台跳水
导数的概念
一般地，函数
y
=f(x)
在点x=x0处的瞬时变化率是
我们称它为函数
y
=
f
(x)在点x=x0处的导数，
记为
或
，即
导数的概念
也可记作
若这个极限不存在，则称在点x0
处不可导。
设函数
y
=
f(x)
在点
x=x0
的附近有定义，当自变量
x
在
x0
处取得增量
△x
(
点
x0
+△x
仍在该定义内）时，
相应地函数
y
取得增量
△y
=
f
(x0
+△x)-
f
(x0
)，若△y与△x之比当
△x→0的极限存在，则称函数
y
=
f(x)在点
x0
处可导
，并称这个极限为函数
y
=
f(x)在点
x0
处的导数，
记为
。
即
说明：
（1）函数
在点
处可导，是指
时，
有极限．如果
不存在极限，就说函数在
处不可导，或说无导数．
点
是自变量x在
处的改变量，
，而
是函数值的改变量，可以是零．
（2）
由导数的定义可知，求函数
在
处的
导数的步骤:
（1）求函数的增量:
；
（2）求平均变化率:
；
．
（3）取极限，得导数:
例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同
产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第
时，原油的温度（单位：℃）为
计算第2
h和第6
h，原油温度的瞬时变化率，
并说明它们的意义。
例:
高台跳水运动中，
秒
时运动员相
对于水面的高度是
（单位：
），求运动员在
时的瞬时
速度，并解释此时的运动状态;在
呢?
同理，
运动员在 时的瞬时速度为
，
上升
下落
这说明运动员在 附近，正以大约
的速率
。
１．你能借助函数 的图象说说平均变化率
表示什么吗？请在函数
图象中画出来．
割线AB的的变化情况
２．在
的过程中，
请在函数图象中画出来．
你能描述一下吗？
3.1.1
导数的几何意义
P
x
y
0
T
P
x
y
o
T
的切线方程为
即
圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以
用在点P处的切线近似代替
。
大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”
（以简单的对象刻画复杂的对象）
1.在函数
的
图像上，(1)用图形来体现导数
，
的几何意义.
(2)请描述，比较曲线分别在
附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在
附近呢？
(2)请描述，比较曲线分别在
附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在
附近呢？
增（减):
增（减）快慢：
=切线的斜率
附近：
瞬时
变化率
（正或负）
即：瞬时变化率（导数）
（数形结合，以直代曲）
画切线
即：导数
的绝多值的大小
=切线斜率的绝对值的
大小
切线的倾斜程度
（陡峭程度）
以简单对象刻画复杂的对象
(2)
曲线在
时，切线平行于x轴，曲线在
附近比较平坦，几乎没有升降．
曲线在
处切线
的斜率
0
在
附近，曲线
，函数在
附近单调
如图，切线
的倾斜程度大于切线 的
倾斜程度，
大于
上升
递增
上升
这说明曲线在
附近比在 附近
得迅速．
递减
下降
小于
下降
2．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)
（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）
变化的函数图像，根据图像，估计
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中
药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格
的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率,
就是药物浓度
从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率.
函数f(t)在此时刻的导数,
（数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
抽象概括：
是确定的数
是 的函数
导函数 的概念：
t
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度的
瞬时变化率
小结：
１.函数
在
处的导数
的几何意义，就是函数
的图像在点
处的切线AD的斜率（数形结合）
＝切线
AD的斜率
3.导函数(简称导数)
2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学
思想方法。
以简单对象刻画复杂的对象(共24张PPT)
3.3.4《导数在研究函数中的应用
-函数的和差积商的导数
教学
目标
熟练运用导数的函数的和差积商运算法则，并能灵活运用
教学重点：熟练运用导数的四则运算法则
教学难点：商的导数的运用
由定义求导数（三步法）
步骤:
注意:
常见函数的导数公式：
公式１：
公式２：
公式３：
公式４：
还有必要建立求导法则，若两个函数的导数存在，如何求这两个函数的和，差，积，商的导数呢？
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
1.和(或差)的导数
法则1
两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数
的和(或差),即
根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则
1.和(或差)的导数
2.积的导数
法则2
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即
3.商的导数
法则3
两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即
MYKONGLONG(共20张PPT)
3.4
生活中的优化问题举例
问题1:汽油的使用效率何时最高?
我们知道,汽油的消耗量w(单位:L)与汽车的速度v(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量w是汽车的速度v的函数.根据生活经验,思考下列两个问题:
(1)是不是汽车的速度越快,汽油的消耗量越大?
(2)
“汽油的使用效率最高”的含义是什么?
汽油的使用效率G=汽油的消耗量w/汽车行使路程s,
即:G=w/s
求G的最小值问题.
问题2:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?
例2
磁盘的最大存储量问题:
问题3:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?
是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
例如:
某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
如何解决优化问题?
优化问题
优化问题的答案
用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题
问题4:无盖方盒的最大容积问题
一边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长都是x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,x
多大时,方盒的容积V最大?
作业:
P114
4、7。(共14张PPT)
3.3.1《导数在研究
函数中的应用-单调性》
教学目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
教学重点：
利用导数判断函数单调性.
函数的单调性与导数
情境设置
探索研究
演练反馈
总结提炼
作业布置
创新升级
o
y
x
y
o
x
1
o
y
x
1
在（－
∞
，0）和（0,
＋∞）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。
在（－
∞
，1）上是减函数，在（1,
＋∞）上是增函数。
在(－
∞,＋∞)上是增函数
概念回顾
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
单调性的概念
对于给定区间上的函数f(x):
1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1
f(x1)首页
2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数
对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
o
x
1
y
1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？
新课引入
首页
2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为
(锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？
3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？
4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。
定理：
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有
f′(x)>0，则
f（x）
是增函数。
如果恒有
f′(x)<0，则f（x）
是减函数。
如果恒有
f′(x)=0，则f（x）
是常数。
例1.确定函数
在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？
2
x
y
o
解:
(1)求函数的定义域
函数f
(x)的定义域是(－
∞,＋∞)
（2）求函数的导数
（3）令
以及
求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。
令2x－4>0,解得x>2
∴x∈(2,＋∞)时，
是增函数
令2x－4<0,解得x<2
∴x∈(-∞,2)时，
是减函数
确定函数
，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。
x
y
o
解：函数f(x)的定义域是(－
∞,＋∞)
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0
∴当x
∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数；
当x
∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
令6x2－12x<0,解得,0∴当x
∈(0,2)时，f(x)是减函数。
首页
知识点：
定理：
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有
，则
f(x)在是增函数。
如果恒有
，则
f(x)是减函数。
如果恒有
，则
f(x)是常数。
步骤：
（1）求函数的定义域
（2）求函数的导数
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。
f’(x)>0
f’(x)<0
f’(x)＝0
练习:判断下列函数的单调性
(1)f(x)=x3+3x;
(2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π);
(3)f(x)=2x3+3x2-24x+1;
(4)f(x)=ex-x;
作业布置：
书本P107
A
1.（1）（2）,2.（2）(4).
第二教材
A(共23张PPT)
3.3.3《导数在研究函数
中的应用-最大(小)值》
教学目标
(1)知识目标：能探索并应用函数的最大(小)值与导数的关系求函数最大(小)值。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的良好习惯。
教学重点：探索并应用函数最大(小)值与导数的关系求函数最大(小)值。
教学难点：利用导数信息判断函数最大(小)值的情况。
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。
极大值与极小值统称为极值.
函数极值的定义——
复习:
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的
左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0，
那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
(1)?求导函数f
`(x)；
(2)?求解方程f
`(x)=0；
(3)
列表:
检查f
`(x)在方程f
`(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
用导数法求解函数极值的步骤：
在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.
函数最值问题.
一是利用函数性质
二是利用不等式
三今天学习利用导数
求函数最值的一般方法：
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值
f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
表格法
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值)
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内
的最大值和最小值
法一
、
将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理
例1
求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值
故函数f(x)
在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2
解法二、
f
’(x)=2x-4
令f
’(x)=0，即2x-4=0，
得x=2
x
1
（1，2）
2
（2，5）
5
y，
0
y
-
+
3
11
2
练习P106、P107
6
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值
导数
导数的定义
求导公式与法则
导数的应用
导数的几何意义
多项式函数的导数
函数单调性
函数的极值
函数的最值
基本练习
1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为(
)
(A)
–5
(B)
–6
(C)
–7
(D)
–8
2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为(
)
y’=100(x99+x49+x24)
(B)
y’=100x99
(C)
y’=100x99+50x49+25x24
(D)
y’=100x99+2x49
3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为
.
4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为(
)
(A)
(-1,1)
(B)
(1,2)
(C)
(-∞,-1)
(D)
(-∞,-1)
，(1,
+∞)
5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为(
)，则a的取值范围为(
)
(A)
a>0
(B)
–1(C)
a>1
(D)
06、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是(
)
单调递增函数
(B)
单调递减函数
(C)
部份单调增，部分单调减
(D)
单调性不能确定
7、
如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于(
)
(A)
8+2Δt
(B)
4+2Δt
(C)
7+2Δt
(D)
–8+2Δt
8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为(
)
(A)
6
(B)
18
(C)
54
(D)
81
9、
已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于(
)
(A)
6
(B)
0
(C)
5
(D)
1
10、函数y=x3-3x的极大值为(
)
(A)
0
(B)
2
(C)
+3
(D)
1
例1、
若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析
原题意等价于函数y=3x2+ax与
y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+a=2-a
例2
、
已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值.
分析
由条件知：
y=ax2+bx+c在点Q(2，-1)处的导数为1，于是
4a+b=1
又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c上，从而
a+b+c=1且4a+2b+c=-1
例3
已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离
分析
点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a=
-1.
例4
设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.
思考、
已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2，6]内单调递增，求m的取值范围。
(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为(
)
(2,8)
(B)
(-2,-8)
(C)
(-1,-1)或(1,1)
(D)
(-1/2,-1/8)
(2)若曲线y=x5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程为(
)
5x+5y-4=0
(B)
5x-5y-4=0
(C)
5x-5y+4=0
(D)以上皆非
(3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为 .(共18张PPT)
3.1.2《导数的几何意义》
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+
Δx)-
f(x0).如果当Δx?0
时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作
即:
瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.
是函数f(x)在以x0与x0+Δx
为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0
处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数
f(x)在点x0处不可导.
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择
哪种形式,
Δy也必须选择与之相对应的形式.
下面来看导数的几何意义:
β
y=f(x)
P
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
β
P
y=f(x)
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.
斜率!
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤:先利用切线斜率
的定义求出切线的斜率,然后
利用点斜式求切线方程.
练习:如图已知曲线
,求:
(1)点P处的切线的斜率;
(2)点P处的切线方程.
y
x
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
3
4
O
P
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0)
是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
如何求函数y=f(x)的导数?
看一个例子:
下面把前面知识小结:
a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数
学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物
理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全
过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。
b.要切实掌握求导数的三个步骤：
（1）求函数的增
量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数。
（3）函数f(x)在点x0处的导数
就是导函数
在x=x0处的函数值，即
。这也是
求函数在点x0处的导数的方法之一。
小结:
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,
就是函数f(x)的导函数
。
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个
常数，不是变数。
c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”
之间的区别与联系。
（1）求出函数在点x0处的变化率
，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
d.求切线方程的步骤：
小结:
无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求
函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导
数概念。
作业:
P87
A组
4,5,6.(其中6题作在书上)
第二教材
P72
4,5,6(共24张PPT)
3.2.1《导数的计算
-几种常见函数的导数》
教学目标
1．掌握四个公式，理解公式的证明过程．
2．学会利用公式，求一些函数的导数．
3．理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题．
【教学重点】用定义推导常见函数的导数公式．
【教学难点】公式的推导．
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与
求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速
度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同
的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和
公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
2.求函数的导数的方法是:
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的
导数.
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的
导数.
3.函数f(x)在点x0处的导数
就是导函数
在x=
x0处的函数值,即
.这也是求函数在点x0
处的导数的方法之一。
4.函数
y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=
f(x)在点P(x0
,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的变化率
，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.
公式1:
.
1)
函数y=f(x)=c的导数.
请同学们求下列函数的导数:
表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1
这又说明什么?
公式2:
.
请注意公式中的条件是
,但根据我们所掌握的知识,只能就
的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
看几个例子:
例1.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。
看几个例子:
四、小结与作业
2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.
3.作业:第二教材A、B.
1.会求常用函数
的导数.其中:
公式1:
.
练习、作业:
练习.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围城的三角形的面积。
作业:第二教材A、B.(共26张PPT)
3.2.2《导数运算法则》
教学目标
熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活运用
教学重点：熟练运用导数的四则运算法则
教学难点：商的导数的运用
基本初等函数的导数
公式
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即:
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数
,即:
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数
,再除以第二个函数的平方.即:
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习:
P92
1、2
例4:求下列函数的导数:
答案:
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=
-4t3+16t2.
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在
始点.
即t3-12t2+32t=0,
解得:t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均
相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于
则与S1相切于P点的切线方程为y-x12
=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
对于
与S2相切于Q点的切线方程为y+
(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
因为两切线重合,
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
作业:
作业:
P93
2、3、4、5(共25张PPT)
3.3.2《导数在研究函数
中的应用-极值》
教学目标
(1)知识目标：能探索并应用函数的极值与导数的关系求函数极值，能由导数信息判断函数极值的情况。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的良好习惯。
教学重点：探索并应用函数极值与导数的关系求函数极值。
教学难点：利用导数信息判断函数极值的情况。
教学方法：发现式、启发式
设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法
（2）导数法
y`>0
增函数
y`<0
减函数
用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
(1)
求函数的定义域
（2）求出函数的导函数
（3）求解不等式f
`(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间
求解不等式f``(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
注、单调区间不
以“并集”出现。
练习2、
确定y=2x3-6x2+7的单调区间
练习1、讨论f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。
极大值与极小值统称为极值.
函数极值的定义——
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
导数的应用二、求函数的极值
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的
左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0，
那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
(1)???
求导函数f
`(x)；
(2)???
求解方程f
`(x)=0；
(3)???
检查f
`(x)在方程f
`(x)=0的根的左右
的符号，并根据符号确定极大值与极小值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
用导数法求解函数极值的步骤：
例1
、求函数y=x3/3-4x+4极值.
练:(1)y=x2-7x+6
(2)y=-2x2+5x
(3)y=x3-27x
(4)y=3x2-x3
表格法
注、极值点是导数值为0的点
导数的应用之三、求函数最值.
在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
表格法
一是利用函数性质
二是利用不等式
三是利用导数
注：
求函数最值的一般方法：
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内
的最大值和最小值
法一
、
将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内
的极值与最值
故函数f(x)
在区间[1，5]内的极小值为3，
最大值为11，最小值为2
法二、
解、
f
’(x)=2x-4
令f
’(x)=0，即2x-4=0，
得x=2
x
1
（1，2）
2
（2，5）
5
0
y
-
+
3
11
2
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值
导数
导数的定义
求导公式与法则
导数的应用
导数的几何意义
多项式函数的导数
函数单调性
函数的极值
函数的最值
基本练习
1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为(
)
(A)
–5
(B)
–6
(C)
–7
(D)
–8
2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为(
)
y’=100(x99+x49+x24)
(B)
y’=100x99
(C)
y’=100x99+50x49+25x24
(D)
y’=100x99+2x49
3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为
.
4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为(
)
(A)
(-1,1)
(B)
(1,2)
(C)
(-∞,-1)
(D)
(-∞,-1)
，(1,
+∞)
5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为(
)，则a的取值范围为(
)
(A)
a>0
(B)
–1(C)
a>1
(D)
06、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是(
)
单调递增函数
(B)
单调递减函数
(C)
部份单调增，部分单调减
(D)
单调性不能确定
7、
如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于(
)
(A)
8+2Δt
(B)
4+2Δt
(C)
7+2Δt
(D)
–8+2Δt
8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为(
)
(A)
6
(B)
18
(C)
54
(D)
81
9、
已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于(
)
(A)
6
(B)
0
(C)
5
(D)
1
10、函数y=x3-3x的极大值为(
)
(A)
0
(B)
2
(C)
+3
(D)
1
例1、
若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析
原题意等价于函数y=3x2+ax与
y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+a=2-a
例2
、
已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值.
分析
由条件知：
y=ax2+bx+c在点Q(2，-1)处的导数为1，于是
4a+b=1
又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c上，从而
a+b+c=1且4a+2b+c=-1
例3
已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离
分析
点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a=
-1.
例4
设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.
思考、
已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2，6]内单调递增，求m的取值范围。
(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为(
)
(2,8)
(B)
(-2,-8)
(C)
(-1,-1)或(1,1)
(D)
(-1/2,-1/8)
(2)若曲线y=x5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程为(
)
5x+5y-4=0
(B)
5x-5y-4=0
(C)
5x-5y+4=0
(D)以上皆非
(3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为 .