第二十三章
旋转
课题：图形的旋转及性质
【学习目标】
1．掌握旋转的有关概念，理解旋转变换是图形的一种基本变换．
2．能结合图形指出什么是旋转中心、旋转角和对应点．
3．体会旋转的形成过程，并探究旋转的性质．
【学习重点】
旋转的有关概念和性质．
【学习难点】
探索旋转的基本性质．
一、情景导入 感受新知
运用课件欣赏日常生活中一些物体的旋转现象，观察旋转的过程，并思考下列问题：
在以前的学习中，我们已经学习了图形的平移和图形的轴对称，对于上述各图案，你能说出它们分别是由怎样的基本图形经过怎样的变换得到的吗？请同学们进入本章内容的学习．
二、自学互研 生成新知
阅读教材P59，回答下面的内容：
①把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．
②从课文中的思考实例可以看出：图形的旋转三要素是旋转中心，旋转方向，旋转角．
③如右图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕B点顺时针方向旋转到△CBP′的位置时，其旋转中心是点B，旋转角度为90°，点A，B，P的对应点分别为C，B，P′．
问题1：如图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是( C )
问题2：如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( B )
A．72° B．108° C．144° D．216°
师生活动：
①明了学情：观察学生能否抓住旋转的要素．
②差异指导：根据学情进行相应指导．
③生生互助：小组内相互交流、改正．
三、典例剖析 运用新知
典例：如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)AF的长度是多少？
(4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
解：(1)旋转中心是A点．
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，
∴B是D的对应点．
又∵∠DAB＝90°，∴旋转了90°.
(3)∵AD＝4，DE＝1，∴AE＝＝.
∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，∴AF＝AE＝.
(4)∵∠EAF＝90°(旋转角相等)且AF＝AE，∴△EAF是等腰直角三角形．
归纳：旋转的性质：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等．
师生活动：
①明了学情：看学生是否能在指导下，动手操作、实验，并归纳出相应结论．
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导．
③生生互助：小组内相互交流、协作，共同探讨、归纳．
四、课堂小结 回顾新知
(1)旋转的概念：一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度．
(2)旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角．
(3)旋转的性质．
五、检测反馈 落实新知
1．下列现象中属于旋转的有( D )
①火车行驶；②荡秋千运动；③方向盘的运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，点A，B，C，D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( C )
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))
3．正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( C )
A．(2，10)
B．(－2，0)
C．(2，10)或(－2，0)
D．(10，2)或(－2，0)
4．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
解：BE＝DC.理由：因为AB是由AD绕中心点A逆时针旋转60°得到，AE是由AC绕中心点A逆时针旋转60°得到，所以△ABE可看成是由△ADC绕中心点A逆时针旋转60°得到．根据旋转的性质得△ADC≌△ABE.所以BE＝DC.
六、课后作业 巩固新知课题：旋转作图及变换
【学习目标】
1．掌握图形旋转的基本作图，能综合运用平移、轴对称、旋转设计图案．
2．能综合运用旋转性质解决有关代数，几何类问题．
【学习重点】
用旋转的有关知识画图．
【学习难点】
综合运用旋转性质进行图案设计．
一、情景导入 感受新知
如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看作是某条线段绕O点旋转若干次所成的图形？
二、自学互研 生成新知
阅读教材P60“例”，回答下面的内容：
①因为A是旋转中心，所以A点的对应点是A．
②根据正方形的性质：AD＝AB，∠OAB＝90°，所以点D的对应点是点B．
③因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三角形全等的判定方法SAS，作出△ADE的对应图形为△ABE′．
④E点的对应点E′，还有别的方法作出来吗？
以AB为一边向正方形外部作∠BAM，在AM上截取AE′＝AE即可．(答案不唯一)
问题：你能总结出旋转作图的一般步骤吗？
归纳：旋转变换作图步骤：(1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角；(2)找出能确定图形的关键点；(3)连接图形的各关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到各关键点的对应点；(4)按原图形连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形．
①把一个基本图形进行旋转来设计图案，可以通过哪两种途径获得不同的图案效果？
a.旋转中心不变，旋转角改变，产生不同的旋转效果．
b．旋转角不变，旋转中心改变，产生不同的旋转效果．
②如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC，BD相交于点O，试分别以点O和点A为旋转中心，以90°为旋转角画出图案，并且相互交流．
师生活动：
①明了学情：看学生能否规范作图，并说明这样作图的理由．
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导．
③生生互助：小组内相互交流、研讨．
三、典例剖析 运用新知
典例：如图1，正方形ABCD的边AB，AD分别在等腰直角△AEF的腰AE，AF上，点C在△AEF内，则有DF＝BE(不必证明)．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°<α<90°)后，连接BE，DF.请在图2中用实线补全图形，这时DF＝BE还成立吗？请说明理由．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图1))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图2))
解：补全图形如图所示．
DF＝BE还成立，理由是：∵正方形ABCD和等腰△AEF，∴AD＝AB，AF＝AE，∠FAE＝∠DAB＝90°.∴∠FAD＝∠EAB.∴△ADF≌△ABE.(SAS)∴DF＝BE.
变式：下列这些美丽的图案都是在“几何画板”软件中利用旋转的知识在一个图案的基础上加工而成的，每一个图案都可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转的角度正确的为( C )
A.30° B．60° C．90° D．120°
师生活动：
①明了学情：观察学生能否正确画图．
②差异指导：根据学情进行相应指导．
③生生互助：在画图中进一步体会旋转的性质．
四、课堂小结 回顾新知
运用旋转作图应满足三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然在固定下来．因此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角会作出不同效果的图案．
五、检测反馈 落实新知
1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是( C )
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(A))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(B
))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(C))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5( D))
2．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°.以上四位同学的回答中，错误的是( B )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．如图，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.
(1)写出旋转角的度数；
(2)求证：∠A1AC＝∠C1.
解：(1)旋转角为∠ABA1＝60°；
(2)证明：由旋转的性质得∠A1BC1＝∠ABC＝120°，A1B＝AB，∠C1＝∠C，∴∠ABA1＝180°－∠A1BC1＝60°，∴△ABA1是等边三角形，∴∠A1AB＝60°.∴∠A1AB＋∠ABC＝180°，∴AA1∥BC，∴∠A1AC＝∠C，∴∠A1AC＝∠C1.
六、课后作业 巩固新知
