2.万有引力定律
【学习素养·明目标】 物理观念：1.知道太阳与行星间存在引力.2.能利用开普勒定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星之间的引力表达式.3.理解万有引力定律内容、含义及适用条件.4.认识万有引力定律的普遍性，能应用万有引力定律解决实际问题．
科学思维：1.了解物理学的研究方法，认识物理模型和数学工具在物理学发展过程中的作用.2.了解万有引力定律得出的思路和过程，了解人类认识自然规律的方法．
一、太阳与行星间的引力
1．猜想
行星围绕太阳的运动可能是太阳的引力作用造成的，太阳对行星的引力F应该与行星到太阳的距离r有关．
2．模型简化
行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．
3．太阳对行星的引力
F＝＝m·＝.
结合开普勒第三定律得：F∝.
4．行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝.
5．太阳与行星间的引力
由于F∝、F′∝，且F＝F′，则有F∝，写成等式F＝G，式中G为比例系数．
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：F＝G.
3．引力常量G：由英国物理学家卡文迪什测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公式F＝G中G是比例系数，与太阳、行星都没关系．
(√)
(2)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律．
(√)
(3)月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡．
(×)
(4)月球绕地球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的．
(√)
(5)由于太阳质量大于行星质量，故太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力．
(×)
2．行星之所以绕太阳运行，是因为( )
A．行星运动时的惯性作用
B．太阳是宇宙的控制中心，所有星体都绕太阳旋转
C．太阳对行星有约束运动的引力作用
D．行星对太阳有排斥力作用，所以不会落向太阳
C [行星之所以绕太阳运行，是因为受到太阳的吸引力．]
3．两个质量均匀的球体，相距r，它们之间的万有引力为1×10－8
N，若它们的质量、距离都增加为原来的两倍，则它们之间的万有引力为( )
A．4×10－8
N
B．1×10－8
N
C．2×10－8
N
D．8×10－8
N
B [原来的万有引力为：F＝，后来变为：F′＝＝，即：F′＝F＝1×10－8
N．故选B.]
太阳与行星间引力的理解
[观察探究]
如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动．
(1)为什么行星会围绕太阳做圆周运动？
(2)太阳对不同行星的引力与行星的质量是什么关系？
(3)行星对太阳的引力与太阳的质量是什么关系？
提示：(1)因为行星受太阳的引力，引力提供向心力．
(2)与行星的质量成正比．
(3)与太阳的质量成正比．
[探究归纳]
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动．
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上．
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力
(2)太阳与行星间的引力
3．太阳与行星间的引力的特点：太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比．太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向．
【例1】 (多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是( )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C．由F＝可知G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
BD [由F＝，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，选项B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星的质量决定，选项A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，选项C错误；通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，向心力由太阳对行星的引力提供，选项D正确．]
1．(多选)下列叙述正确的是
( )
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝m，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的
D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用以上三个公式，都是可以在实验室中得到验证的
AB [公式F＝m中，是行星做圆周运动的加速度，故这个关系式实际上是牛顿第二定律，也是向心力公式，所以能通过实验验证，故A正确；v＝是在匀速圆周运动中，周长、时间与线速度的关系式，故B正确；开普勒第三定律＝k是无法在实验室中得到验证的，是开普勒在研究天文学家第谷的行星观测记录时发现的，故C、D错误．]
万有引力定律的理解
[问题探究]
无论是太阳与行星、地球与月球以及任何物体之间都存在万有引力．
(1)公式F＝G中r的含义是什么？
(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝G计算出来吗？
提示：(1)r指的是两个质点间的距离．
(2)不能．万有引力定律的表达式F＝G只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间r不易确定．
[探究归纳]
1．F＝G的适用条件
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力．
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离．
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离．
2．万有引力的四个特性
特性
内容
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
【例2】 如图所示，一个质量均匀分布、半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为多少？
思路点拨：①由于大球体被挖去一小球体后，不能看成质点，不能直接应用万有引力定律．
②设想将挖出的小球体放回大球体中，使之成为完整的均匀球体，则可应用万有引力定律算出完整球体与质点P之间的万有引力．
③再求出挖出的球体对质点P的万有引力，将两个引力求差即可．
[解析] 设原球体质量为M，质点P的质量为m，球心与质点P之间的距离为r0，则它们之间的万有引力F＝G
被挖去的球的质量：m1＝·M＝eq
\f(\f(4π,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2))),\f(4,3)πR3)·M＝
被挖去的球原来与质点P的万有引力
F1＝G＝G＝
所以，原球体剩余部分对质点P的万有引力变为
F2＝F－F1＝F.
[答案] F
2．(多选)对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1和m2所受引力大小总是相等的
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
AC [引力常量G是由英国物理学家卡文迪什通过实验第一次测定出来的，所以选项A正确；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确，D错误；公式F＝G适用于两质点间的相互作用，当两物体相距很近时，两物体不能看成质点，所以选项B错误．]
万有引力与重力的关系
[观察探究]
假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点．
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？
提示：
(1)在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心．
(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心．
[探究归纳]
1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝G.
2．万有引力有两个分力：除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果．
3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大．
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2.
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G.
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心．
4．重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝.
(2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度的重力加速度g＝.
【例3】 设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R.同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( )
A.
B.
C.
D.
A [在赤道上：G－FN＝mR，可得FN＝G－mR；在南极：G＝F′N，联立可得：＝，故选项A正确，选项B、C、D错误．]
处理万有引力与重力关系的思路
(1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，mg＝G.
(2)若题目中需要考虑地球自转，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别，两极处：mg＝G；赤道处：mg＋F向＝G.
3．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g，则该处距地球表面的高度为( )
A．(－1)R
B．R
C.R
D．2R
A [设地球质量为M，则质量为m的物体在地球表面上重力mg＝G，在高度为h处的重力mg＝G，解以上两式得：h＝(－1)R，A正确．]
课
堂
小
结
知
识
脉
络
1.牛顿认为所有物体之间存在万有引力，太阳与行星间的引力使得行星绕太阳运动．2．自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比，这就是万有引力定律，其表达式为F＝G.3．引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，是英国物理学家卡文迪什通过实验测出的.
1．由万有引力定律可知，两个物体的质量分别为m1和m2，其间距为r时，它们之间万有引力的大小为F＝G，式中G为引力常量．在国际单位制中，G的单位是( )
A．N·m2/kg2
B．kg2/(N·m2)
C．N·m2/kg
D．N·kg2/m2
A [根据万有引力定律知F＝G，则G＝，可知G的单位为：N·m2/kg2＝N·m2·kg－2，故A正确．]
2．(多选)要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可以采用的是( )
A．使两物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增大为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减小为原来的
ABC [由万有引力定律F＝G可知，A、B、C选项中两物体间的万有引力都将减少到原来的，而D选项中两物体间的万有引力保持不变，故应选A、B、C.]
3．(多选)根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝
，其中M、m、r分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离．下列说法正确的是( )
A．由F∝和F′∝，F∶F′＝m∶M
B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力
C．F和F′大小相等，是同一个力
D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
BD [F′和F大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太阳对行星的引力是行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B、D.]
4．关于万有引力F＝G和重力，下列说法正确的是( )
A．公式中的G是一个比例常数，没有单位
B．到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为地面重力加速度的
C．m1、m2受到的万有引力是一对平衡力
D．若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，它们间的万有引力也变为原来的一半
B [G的单位是N·m2/kg2，A错误；设地球质量为M，半径为R，则地球表面的重力加速度为，到地心距离等于地球半径2倍处的重力加速度为，所以B正确；m1、m2受到的万有引力是一对作用力与反作用力，C错误；根据万有引力公式，若两物体的质量不变，它们间的距离减小到原来的一半，它们间的万有引力应变为原来的4倍，D错误．]
2(共59张PPT)
第七章 万有引力与宇宙航行
2．万有引力定律
自
主
探
新
知
预
习
匀速圆周
距离r
匀速圆周
6.67×10－11
它们的连线
正比
二次方
×
√
√
×
√
合
作
攻
重
难
探
究
太阳与行星间引力的理解
万有引力定律的理解
万有引力与重力的关系
当
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固
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[合格考达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1.(多选)如图是八大行星绕太阳运动的情境，关于太阳对行星的引力说法中正确的是
( )
A．太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
AD [太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做圆周运动的向心力，它的大小与行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比，A正确，B错误；太阳对行星的引力规律是由开普勒三定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的，C错误，D正确．]
2．将物体由赤道向两极移动( )
A．它的重力减小
B．它随地球转动的向心力增大
C．它随地球转动的向心力减小
D．向心力的方向、重力的方向都指向地球球心
C [重力加速度随纬度的增加而增大，所以把物体从赤道向两极移动，物体的重力增大，A错误；由赤道向两极移动过程中，自转半径减小，而角速度不变，根据F＝mω2r可知向心力减小，B错误，C正确；向心力的方向指向地球球心，而重力的方向竖直向下，D错误．]
3．设地球是半径为R的均匀球体，质量为M，若把质量为m的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为( )
A．零
B．无穷大
C．G
D．无法确定
A [有的同学认为：由万有引力公式F＝G，由于r→0，故F为无穷大，从而错选B.设想把物体放到地球的中心，此时F＝G已不适用，地球的各部分对物体的吸引力是对称的，故物体受到的地球的万有引力是零，故应选A.]
4．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为( )
A．G
B．G
C．G
D．G
D [两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为G，故选D.]
5．一个物体在地球表面所受的重力为G，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为( )
A. B.
C. D.
C [在地球表面附近，物体所受的重力近似等于万有引力，即重力G地＝F万＝G；在距地面高度为地球半径的位置，F′万＝G＝，故选项C正确．]
6．地球表面重力加速度为g地、地球的半径为R地、地球的质量为M地，某飞船飞到火星上测得火星表面的重力加速度为g火、火星的半径为R火，由此可得火星的质量为( )
A.M地
B.M地
C.M地
D.M地
A [星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G＝mg得：M＝，所以：＝，所以：M火＝M地，故A正确．]
二、非选择题(14分)
7．事实证明，行星与恒星间的引力规律也适用于其他物体间，已知地球质量约为月球质量的81倍，宇宙飞船从地球飞往月球，当飞至某一位置时(如图所示)，宇宙飞船受到地球与月球引力的合力为零．问：此时飞船在空间什么位置？(已知地球与月球中心间距离是3.84×105
km)
[解析] 设地球、月球和飞船的质量分别为M地、M月和m，x表示飞船到地球球心的距离，则F月＝F地，即＝，代入数据解得x＝3.46×108
m.
[答案] 在地球与月球的连线上，距地球球心3.46×108
m
[等级考提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．(多选)如图所示，P、Q为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
AC [P、Q两点所受的地球引力都是F＝G，A正确；P、Q两点都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的，根据F＝mω2r可知P的向心力大，所以C正确，B错误；物体的重力为万有引力的一个分力，赤道处重力最小，两极处重力最大，D错误．]
2．假设某小行星的半径为16
km，若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6
400
km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为( )
A．400g
B.g
C．20g
D.g
B [由g＝，得＝＝＝＝，所以g′＝g.]
3．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为( )
A．2F
B．4F
C．8F D．16F
D [两个小铁球之间的万有引力为F＝G＝G.实心球的质量为m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量m′与小铁球的质量m之比为＝＝.故两个大铁球间的万有引力为F′＝G＝G＝16F.]
4．(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
BC [由万有引力定律知A项错误，B项正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识易知任意两颗卫星间距d＝2rcos
30°＝r，由万有引力定律知C项正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，D项错误．]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(13分)火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的.一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为50
kg.求：(取地球表面的重力加速度g＝10
m/s2)
(1)在火星上宇航员所受的重力为多少？
(2)宇航员在地球上可跳1.5
m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？
[解析] (1)由mg＝G，得g＝
在地球上有g＝，在火星上有
g′＝
所以g′＝
m/s2
那么宇航员在火星上所受的重力
mg′＝50×
N≈222.2
N.
(2)在地球上，宇航员跳起的高度为h＝
即1.5＝
在火星上，宇航员跳起的高度为h′＝
联立以上两式得h′＝3.375
m.
[答案] (1)222.2
N (2)3.375
m
6．(13分)某物体在地面上受到的重力为160
N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压的力为90
N
时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R地＝6.4×103
km，g表示重力加速度，g取10
m/s2)
[解析] 卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面的距离为h，这时受到地球的万有引力为F＝G
在地球表面G＝mg①
在上升至离地面h时，FN－G＝ma②
由①②式得＝
则h＝R地③
将m＝16
kg，FN＝90
N，a＝g＝5
m/s2，R地＝6.4×103
km，g＝10
m/s2代入③式得h＝1.92×104
km.
[答案] 1.92×104
km
2
