教学基本信息
课题
分数除以分数
学科
数学
学段
第二学段
年级
六年级
相关
领域
数与代数
1.指导思想与理论依据
数形结合是一种非常重要的数学思想方法，就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维结合。
2.教学背景分析
教材分析：
《分数除法》属于数与代数领域，课标解读对除法定义如下：除法是乘法的逆运算。分数除法实现了除法向乘法的转化，也就是说，由于有了分数除法的“颠倒相乘”，使得分数除法不再是一种独立的运算，而起到了从除法向乘法的转化的桥梁作用。
纵向梳理教材发现：
《分数除法》是学生在小学阶段最后一次学习除法的内容，同时也是除法运算通法“颠倒相乘”的起始课，而“颠倒相乘”的计算方法也是初中有理数、无理数及分式除法的基础，故本课是学生对除法认识的一次至关重要的梳理与提升。
对于分数除法的计算方法，教材安排了分数除以整数、整数除以分数以及分数除以分数三类，内容由易到难、由简单到复杂逐步提升。本课是分数除法单元的第三课时，学生在探索分数除法计算方法的推理过程中，结合分数的意义和直观图，实现分数除法由“除以一个分数（整数）”到“乘以这个分数（整数）的倒数”的转化。因此，在教学中，要注重引导学生通过迁移类推，充分运用原有的知识经验自主探究分数除法的计算方法。
横向对比：
横向对比人教、北师大、和景山版教材，本教材在分数除以分数课时编写上有较大差异：
人教：从速度=路程÷时间的数量关系，借助线段图直观支撑，先探究整数除以分数算理，在延伸到分数除以分数算理，从而对比、归纳总结算法。
北师大、景山版教材：从较容易的除法包含意义入手，先探究除数是几分之一的分数除法，北师大版教材借助“长方形面积”解释算理，而景山版教材通过方程解释“颠倒相乘”算理，二者都淡化了从数量关系角度理解算理，而是突出了算法的应用。
两类编排各有千秋、各有侧重，而我们本节课依托人教教材的原因是：力求突出分数除法中除数的“运作”意义，即求“一份”是多少，再求这样的几份是多少。在将情境中的逻辑关系程序化过程中，使计算的操作步骤程序化，从而理解分数除法的计算需要“颠倒相乘”求结果，实现学生将除法运算转化为乘法运算的思维转向。
学情分析：
调研对象：五年级某班，共32人。
调研题目1：
任选一题，说说你是怎么算的？为什么要这样算？
【目的】了解学生对分数除法计算方法的掌握程度。
【分析】
整数除以分数20人正确
（62.5%）分数除以分数19人正确（59.4%）分数除以分数
（易与乘法混淆）17人正确（53.1%）
【结论】半数同学能正确计算分数除法，并且知道分数除法中，除以一个数等于乘这个数的倒数，但并不理解为什么可以这样算。
调研题目2：
一辆汽车小时行驶了40千米，照这样计算，汽车每小时行驶多少千米。
【目的】了解学生解决“已知小时行驶路程，求速度”问题的思维路径。
【分析】
正确解决29人先求小时走多少千米，再求1小时走多少。
（18人）先求1分钟走多少千米，再求1小时走多少。
（6人）能利用速度=路程÷时间的梳理关系，并正确列式并计算。
（4人）倍比法解决：先求1小时是小时的倍，再求40km的倍是多少。
（1人）不会解决3人
【结论】多数同学可以用已有知识解决求速度问题，能把以“份”为单位进行计算的经验迁移至新的情境中，并正确解决问题。
教学难点：将学生以“份”计算的解决问题经验迁移到探究分数除法计算方法过程中，借助数量关系理解分数除法“颠倒相乘”的算理。
我的思考：
1、在分数除以分数算理的探索中，将学生对除数的运作意义回归到以“份”为单位进行运作上，即先求“一份”是多少，再求“整体”是多少。在将情境中的逻辑关系程序化过程中，使计算的操作步骤程序化，从而理解分数除法的计算需要“颠倒相乘”求结果，让学生思维实现从除法向乘法的转化。
2、将分数除法计算中“颠倒相乘”的算法进行迁移，通过学生不完全归纳推广到整数除法、小数除法中，总结提炼“颠倒相乘”是除法计算的通法，从而为学生后续对整个数域上除法计算的学习进行铺垫。
3.教学目标(含重、难点)
知识与技能：在具体情境中探索并掌握一个数除以分数的计算方法，并能正确计算。
过程与方法：在探索分数除法算法过程中，借助数形结合理解算理，完善并掌握“颠倒相乘”的除法运算方法。
情感、态度和价值观：感受知识之间的联系，培养认真思考、反思质疑的学习习惯。
教学重点：探索并概括分数除法的计算法则。
教学难点：理解分数除法“颠倒相乘”算理。
教学过程
教学内容
学生活动
关键设问
设计意图
回顾分数除以整数除法
（思维准备期）
谈话引入：继续学习分数除法
出示情境：小明小时走了2km，小红小时走了km，谁走得快？
Q1：读题，谁来分析已知什么？求什么？
Q2：要比谁走得快，实际也就是比什么？
Q3：速度怎么求？（速度=路程÷时间）
Q4：求小明的速度怎么列式？
借助速度=路程除以时间，聚焦研究分数除法如何计算。
借助直观，探究算理
（思维发展期）
（一）整数除以分数
怎样计算呢，我们回到情境中，先借助线段图来梳理数量关系，再分析解决。
先画图，表示数量关系。
学生展示汇报
生：用一条线段表示1小时走的路程，平均分成3份，取2份表示小时走的路程。
借助图，思考怎样求1小时走多少千米。（生尝试）
预设生汇报：
先用2÷2求出1份走多少，再×3求出3份（1小时）走多少千米。
板书小结：
2÷2先求小时走多少千米，
再×3求3个小时走了多少千米。
（二）分数除以
（PPT上更改线段图中的信息）小结：即使被除数也变成分数，只要是除以，就应先除求小时走多少千米，再乘求3个小时走了多少千米
（三）分数除以分数
我们再一起求小红的速度。
汇报：先用÷5求出1份走多少千米，再×12求出12份（1小时）走多少千米。
把刚才说的方法用数学方式记录：
Q：你为什么这样画？
Q：其他同学也是这样想的么？
1小时走多少千米该怎么求？和你的同桌商量商量，再试着用算式表示。
Q：小明1小时走多少千米？你是怎么想的？指着图和大家说一说。
评：他们都想到用这种方法解决，咱们把这种方法用数学的方式记录下来。
为什么÷2？
为什么×3？
Q:如果是小时行了千米，速度是多少呢？怎么列式？
Q：1小时走多少千米呢？谁能仿照刚才的样子，指着图说一说。
Q：谁能列式？
思考：借助图，思考小红1小时走多少千米该怎么求。
Q：谁能指着线段图，说说你是怎么想的？
借助直观图，将逻辑关系程序化，理解计算分数除法应该“先除”求1份，“再乘”求整体。
在将计算的操作步骤程序化过程中，理解分数除法计算时应被除数先除以分子，再乘分母。
通过除数相同2算式运作意义相同，淡化被除数的作用，突出感受除数的运作意义。
类比推广，探索分数除以分数的计算方法。
观察对比，总结算法。（思维飞跃期）
观察对比
生：转化成乘法运算
生：被除数没有变，除数变了，除数变成了乘它的倒数
（二）总结算法
生尝试总结：分数除法，除以一个数就等于乘这个数的倒数。
板书：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
（三）推广算法
尝试整数除法、小数除法并汇报
（四）字母表示
刚才我们通过分析数量关系，研究了一个数除以分数的计算方法。为了简便，我们可以把中间的过程省略，所以
Q1：观察刚才计算的几个除法算式，我们都把除法转化成什么运算？
Q2：对比转化前后，什么不变？什么变了？怎么变得？
Q：你能试着总结，分数除法应该怎样计算么？
Q：在分数除法中，我们可以用这样的方法计算，那整数除法、小数除法我们可以这样算么？
Q:你能试着用字母表示么？
观察对比，发现并总结分数除法的计算方法。
推广延伸，感受“颠倒相乘”适用于所有除法。
巩固练习
（能力形成期）
口算：书P69/“填一填，算一算”
Q：说说你是怎么算的？
Q：计算时要注意什么？
基础练习，巩固分数除法计算方法
拓展练习
（思维拓展期）
王阿姨装草莓，每千克装一盒，18kg可以装多少盒？
Q：你是怎么解决的？
Q：算式表示什么意思？
Q：这节课你学到了什么？
利用分数除法解决问题，深化除法的实际意义
6、板书设计
分数除法
7.学习效果评价设计
1、填一填
2、5个蔬菜大棚占地面积是公顷，平均每个蔬菜大棚占地多少公顷？
1公顷地可以建多少个这样的蔬菜大棚？
8.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点
把握除法运作本质，理解颠倒相乘算法。
在分数除以分数算理的探索中，通过直观模型让学生对除数的运作意义深入理解，将其回归到以“份”为单位进行运作上，即先求“一份”是多少，再求“整体”是多少。在将情境中的逻辑关系程序化过程中，使计算的操作步骤程序化，从而理解分数除法的计算需要“颠倒相乘”求结果，让学生思维实现从除法向乘法的转化。
2、推广算法延伸，实现乘除转化。
将分数除法计算中“颠倒相乘”的算法进行迁移，通过学生不完全归纳推广到整数除法、小数除法中，总结提炼“颠倒相乘”是除法计算的通法，从而为学生后续对整个数域上除法计算的学习进行铺垫。
7一个数除以分数教学设计
【教学目标】
学生自主探究如何计算一个数除以分数，渗透转化的数学思想。
借助线段图探索一个数除以分数的计算算理和方法，渗透数形结合思想。
在多种方法求一个数除以分数的对比中，感受知识之间的内在联系，渗透择优意识。
由整数除以分数到分数除以分数的阶梯式教学中，培养学生迁移类推和归纳概括的能力。
【教学重点】
掌握一个数除以分数的计算方法，抽象概括分数除法的计算法则。
【教学难点】
理解一个数除以分数的计算算理
落点：理解一个数除以分数的计算算理
【教学过程】
回应前参，导入新课
师：有请小老师带领大家分享预习单
学生带领《温故知新》：生：大家请看温故知新，直接写出得数中都是分数除以整数，在做时我都是乘它们的倒数，比如9/10除以3=9/10
1/3=3/10。后边直接公布答案，计算方法是分数除以整数等于乘整数的倒数
师：温故才能知新，新课先知谁来？
生：我来分享新课先知，已经鳟鱼小时大约能游2千米，求鳟鱼平均每小时能游多少千米？（1）画图理解，请看图（手指着）这是2千米，对应的是小时（2）我同意列式是2÷（板书2÷），2千米是路程，小时是时间，求速度，速度等于路程除以时间，所以用2÷列式是对的。（3）先估计一下，计算结果比2千米多。（4）用你学过的知识求一求2÷，我是把转化成了0.4，2÷就变成了2÷0.4=5千米
二、聚焦问题，深入探究
（一）整数除以分数
1、多种方法辨析
师点评：感谢小老师，讲的很清晰，他想到了把转化成了小数可以，谁还有不同想法？
预设2：2÷=÷=10÷2=5（千米）
师：他还想到了可以先转化成同分母分数，看里有几个
预设3:2+2+1=5千米和2
2.5
预设4：商不变的性质
2÷=（2×）÷（×）=2×÷1=5（千米）
师：他为什么选择了同时乘以？
预设：这样除数就变成了1，转化成了2×
师：真善于观察，对比原算式，你发现了什么？（看来这样转化后还和我们的原式建立了联系呢）
师：刚才大家很厉害，把我们没学过的整数除以分数转化成了我们学过的知识（板书：转化）
2、聚焦画图，深入探究算法
预设5：2÷2×5
师：还有的同学是这样做的，2÷2×5我们快来请他讲讲他的道理。
生：小时是2千米，小时就是2÷2=1千米，1小时就是再乘5=5千米
师：有同学还不太理解，不着急，请看，我这有一个长纸条，表示1小时，谁知道小时怎么表示？
预设：把这张纸条平均分成5份取其中的2份（师翻转已经画好的纸条）
（请小助手来讲）像这样我们把它平均分成5份（撕开）谁能找到小时？（师拿出其中一张）这一张是多少？（贴上，并板书小时）这一张呢？这个？（连续贴完）一共是1小时（板书1小时），这是小时，（板书小时）刚才同学找的是对的，1小时平均分成5份，小时是取了1份（师手闪烁一下，强调这是其中的1份），为了后面描述简洁，我们就说是这样的1份，小时是这样的2份，2份对应的是多少千米？（板书2千米）而1份对应的是几千米？那1小时行了多少千米呢？你怎么想的？
预设：2份对应的是2千米，1份对应的是1千米,用2÷2=1千米，1小时有这样的5份，所以是1×5=5千米。
3、追溯本源，明确为什么要建立联系
师：2÷也就是在求1小时行了多少千米，也就是用2÷2×5。2÷2×5=2××5=你认为相等吗？=2××5=2×还等吗？对比原来的算式（原算式描红），你觉得写成这样（新算式描红）好吗？
预设：我觉得好，因为把2÷变成了2×
师：他发现了他们之间的联系，这里边谁变了？谁没变？
生：除号变成了乘号，变成了
师：正如你们所说，他们之间建立了某种联系，÷变成了×它的倒数
回顾总结，感悟方法
师：你能用
刚才的发现快速计算出吗？
预设：能，
师：观察2个算式，÷变成了×，变成了，你发现了什么？
预设：我发现除以一个分数，就等于乘以它的倒数
师（准确打包总结）除以一个分数，就等于乘以它的倒数
师：我们一起来回顾一下，刚才在解决这道题时我们用了多种方法，了不起，你最喜欢哪种？（说出理由即可）
（二）分数除以分数
1.迁移类推，尝试计算
师：在解决这道题时，每个人都有自己喜欢的方法，我们再来一起挑战另一道题吧，有一种变温动物陆龟，谁来读一读？谁会列式？为什么这么列式？观察这个分数除以分数的算式，小时是什么意思？
预设：把1小时平均分成6份取其中的5份
师：请看屏幕，这是1小时，把它平均分成6份，这是小时，也就是1份，小时是这样的5份。小时我们已经很清楚了，下面结合线段图2人一组分工合作探究一下陆龟1小时行多少千米
2.直观验证，理解算理
汇报：生1说图，生2结合图说算式
师：如果没有师引领，
如果有，追问为什么这样写？（建立联系）
观察分析，总结算法
师：今后做题可以直接这样写，那你知道分数除以分数怎样计算了吗？
预设：除以一个分数等于乘以分数的倒数
课中分享，精彩展示
师：真善于总结，其实你们今天的了不起的发现，和我们的先辈们的发现有着异曲同工之处，请听今天的精彩展示
精彩展示：介绍九章算术和欧洲人的计算方法
师：感谢XX让我们了解了先辈们的好方法，我们今天借助线段图和转化成我们已经学过的旧知识也找到了计算方法，让我们把掌声送给我们自己和我们的先辈们！
三、巩固练习，总结提升
1、基本练习
师：下面我们就用我们的发现去解决问题吧！书9页试一试
试一试：先用上面发现的规律计算，再用乘法验证。
教师：小组同学互相交流一下，分数除法可以怎样计算。
师：第一个是分数除以整数，计算方法是？第二个是整数除以分数，计算方法是？最好分数除以分数，计算方法是？那么被除数我们可以都看成是甲数，除数都看成是乙数，那么甲数除以乙数等于？不断完善，使这个结论更加完善和严谨
学生：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
拓展提升
你能用今天学过的知识解释一下为什么被除数÷除数=吗？
四、回顾反思，总结全课
师：本节课你有什么新的收获？你最欣赏谁的发言？
一个数除以分数教学反思
计算数学是数学教学的重点内容，在新课程改革理念下，我们的计算教学不再是简单的计算方法的概括与总结，更重要的是让学生结合解决问题经历算理、算法的探索过程，把“授之以渔”的精神实质贯穿于教育教学活动中，使学生在获取知识技能的同时获得良好的数学教育。《一个数除以分数》是在一个数除以整数的基础上，让学生从一个数除以整数的计算方法迁移到一个数除以分数，很多同学已经通过各种渠道感知或了解到计算方法是什么，但是并不理解为什么这样做？要让学生明白其中的算理非常困难，因此在课程设计中着重分析了线段图，借助图来理解其中的奥秘。而整节课设计中我着重想突出两点：转化和联系。
转化：拿到一个新的知识，学生能够借助已有的知识进行转化，这种意识对学生而言太重要了。因此预习单中我设计让学生用学过的知识求一求2？学生用了很多方法。学生既有独立思考的空间，自主探究的问题，又能从中感悟了知识之间的密切联系。渗透转化思想。
联系：在借助直观图形理解算理中，学生最大的难点是不知道为什么要2÷2×5=2××5=2×。因此在课程设计中反复推敲后，设计了问题串，2÷2×5=2××5=你认为相等吗？=2××5=2×还等吗？对比原来的算式（原算式描红），你觉得写成这样（新算式描红）好吗？对比中学生感悟出其中的联系，只有明白其中的联系，学生才能理解为什么这样一步一步写，因为要找其中的联系，进一步总结出方法。其实在课上学生出现的几种不同方法中也都存在着联系。尤其是商不变的性质和画图两种算式之间的联系。
本节课在实施过程中也出现了很多问题。在分数除以分数时，我再巡视时很多学生并没有按整数除以分数时的思路去屑，因为害怕学生回答错误影响课堂教学效果，我变自己带着学生分析了，其实很多学生还是理解了，能够结合图形独立分析讲解了，但是是我没给他们机会，也成为我在课堂实施中的一大遗憾
