(共36张PPT)
§1.3
三角函数的诱导公式(二)
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.
3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.
明目标、知重点
1.诱导公式五～六
cos
α
填要点·记疑点
以－α替代公式五中的α，可得公式六.
sin
α
cos
α
－sin
α
2.诱导公式五～六的记忆
－α，＋α的三角函数值，等于α的
三角函数值，前面加上一个把α看成
，记忆口诀
为“
”.
异名
锐角时原函数值的符号
函数名改变，符号看象限
探要点·究所然
情境导学
对形如π－α、－α、π＋α的角的三角函数可以转化为α角的三角函数，对形如－α，
＋α的角的三角函数与α角的三角函数，是否也存在着某种关系，需要我们作进一步的探究.
探究点一 诱导公式五
思考1 如图，在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有
根据上述结论，你有什么猜想？
思考2 若α为任意角，那么－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？设角α与单位圆交于点P(x，y)，则角－α终边与单位圆交于点P′，写出点P′的坐标.
答 如图，角α的终边与－α的终边关于直线y＝x对称，P′(y，x).
思考3 根据任意角三角函数的定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
答 sin
α＝y，cos
α＝x；
从而得诱导公式五
探究点二 诱导公式六
思考1 根据＋α＝－(－α)，利用诱导公式三和诱导公式五你能得到什么结论？
＝－sin
α，
思考3 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？
探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.
公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.
反思与感悟 三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan
.
∴左边＝右边，故原等式成立.
＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
反思与感悟 解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分别化简，再利用sin
θ±cos
θ与sin
θcos
θ之间的关系求值.解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式.
解 ∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
又B，C为△ABC的内角，∴C＝B.
∴△ABC为等腰三角形.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
D
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2
3
4
2.已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m表示为( )
解析 sin(α－180°)－sin(270°－α)
＝－sin(180°－α)－sin[180°＋(90°－α)]
＝－sin
α＋sin(90°－α)＝cos
α－sin
α＝m，
1
2
3
4
sin(180°＋α)sin(270°＋α)
＝－sin
α·(－cos
α)＝sin
αcos
α
答案 C
1
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4
3.代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是
.
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.
1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
呈重点、现规律
1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.
3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.(共42张PPT)
§1.3
三角函数的诱导公式(一)
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
明目标、知重点
相关角
终边之间的对称关系
π＋α与α
关于
对称
－α与α
关于
对称
π－α与α
关于
对称
1.设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系如表
原点
填要点·记疑点
x轴
y轴
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝
，cos(α＋2kπ)＝
，
tan(α＋2kπ)＝
，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝
，cos(π＋α)＝
，
tan(π＋α)＝
.
(3)公式三：sin(－α)＝
，cos(－α)＝
，
tan(－α)＝
.
(4)公式四：sin(π－α)＝
，cos(π－α)＝
，
tan(π－α)＝
.
sin
α
cos
α
tan
α
－sin
α
－cos
α
tan
α
－sin
α
cos
α
－tan
α
sin
α
－cos
α
－tan
α
探要点·究所然
情境导学
在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？这就是本节学习的内容.
探究点一 诱导公式二
思考1 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？
角π＋α的终边与单位
圆的交点P2的坐标如何？
答
角π＋α与角α的终边关于原点O对称；
P2(－x，－y)
思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α)
、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin
α，cos
α，tan
α的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
答
sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，
诱导公式二
sin(π＋α)＝－sin
α，
cos(π＋α)＝－cos
α，
tan(π＋α)＝tan
α.
思考3 公式二有何作用？
答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：
探究点二 诱导公式三
思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位
圆的交点P2坐标如何？
答 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称；
角－α的终边与单位圆的交点为P2(x，－y).
思考2 根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
答 sin
α＝y，cos
α＝x，
tan
α＝；
sin(－α)＝－y＝－sin
α；
cos(－α)＝x＝cos
α，
tan(－α)＝－＝－tan
α.
即诱导公式三
sin(－α)＝－sin
α，
cos(－α)＝cos
α，
tan(－α)＝－tan
α.
思考3 诱导公式三有何作用？
答
将负角的三角函数转化为正角的三角函数.
思考1 利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？
答
由诱导公式二和诱导公式三可得：
sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin
α，
cos(π－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－cos
α.
tan(π－α)＝tan[π＋(－α)]＝tan(－α)＝－tan
α.
探究点三 诱导公式四
即sin(π－α)＝sin
α，cos(π－α)＝－cos
α，
tan(π－α)＝－tan
α.
即诱导公式四
sin(π－α)＝sin
α，
cos(π－α)＝－cos
α，
tan(π－α)＝－tan
α.
思考2 诱导公式四有何作用？
答 将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.
思考3 公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？
答 2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
简记为“函数名不变，符号看象限”！
例1 利用公式求下列三角函数的值：
(1)cos
225°；
解 (1)cos
225°＝cos(180°＋45°)
(4)cos(－2
040°).
解 cos(－2
040°)＝cos
2
040°
＝cos(6×360°－120°)
＝cos
120°＝cos(180°－60°)
＝－cos
60°＝－.
反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再转化到
范围内的角的三角函数值.
跟踪训练1 求下列三角函数值.
(3)tan(－855°).
解 tan(－855°)＝－tan
855°
＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan
135°＝－tan(180°－45°)＝tan
45°＝1.
解 sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]
＝－sin(180°＋α)＝－(－sin
α)＝sin
α，
cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]
＝cos(180°＋α)＝－cos
α，
反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.
反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.
跟踪训练3 已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值.
解 ∵cos(π＋α)＝－cos
α＝－
，∴cos
α＝
，
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos
α)
＝－sin
α－cos
α＝－(sin
α＋cos
α)
当堂测·查疑缺
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1.求下列三角函数的值.
(1)sin
690°；
解 sin
690°＝sin(360°＋330°)＝sin
330°
＝sin(180°＋150°)＝－sin
150°＝－sin(180°－30°)
＝－sin
30°＝－.
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(3)tan(－1
845°).
解 tan(－1
845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)
＝－tan
45°＝－1.
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解 当k＝2n(n∈Z)时，
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当k＝2n＋1(n∈Z)时，
综上，原式＝－1.
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证明 当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，
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右边＝(－1)2kcos
α＝cos
α，
∴左边＝右边.
当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，
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右边＝(－1)2k－1cos
α＝－cos
α，
∴左边＝右边.
呈重点、现规律
1.明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～之间的角求值
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
