(共41张PPT)
§1.4
三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.
明目标、知重点
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
图象
定义域
值域
正弦函数、余弦函数的性质
[－1,1]
填要点·记疑点
[－1,1]
R
R
对称性
对称轴：
；
对称中心：
对称轴：
；
对称中心：
奇偶性
周期性
最小正周期：2π
最小正周期：
(kπ，0)(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
奇函数
偶函数
2π
单调性
在
上单调递增；在
上单调递减
在
上单调递增；在
上单调递减
最值
在x＝
时，ymax＝1；在x＝
时，ymin＝－1
在x＝
时，ymax＝1；在x＝
时，ymin＝－1
＋2kπ]
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)
2kπ
(k∈Z)
π＋2kπ
(k∈Z)
探要点·究所然
情境导学
周期性、奇偶性是正弦、余弦函数所具有的基本性质，此外，正弦、余弦函数还具有哪些基本性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究点一 正弦、余弦函数的定义域、值域
导引 正弦曲线：
余弦曲线：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R.
思考1 观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.
思考2 当自变量x分别取何值时，正弦函数y＝sin
x取得最大值1和最小值－1?
答 对于正弦函数y＝sin
x，x∈R有：
思考3 当自变量x分别取何值时，余弦函数y＝cos
x取得最大值1和最小值－1?
答 对于余弦函数y＝cos
x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
探究点二 正弦、余弦函数的单调性
思考1 观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
答 正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域.
观察图象可知：
推广到整个定义域可得：
思考2 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
答 函数y＝cos
x，x∈[－π，π]的图象如图所示：
观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos
x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos
x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得：
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos
x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos
x是减函数，函数值由1减小到－1.
探究点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A>0)的单调性
思考1 怎样确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调性？
当ω<0时，先利用诱导公式把x的系数转化为正数后，再根据复合函数确定单调区间的原则(即同则增，异则减)求解.
余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间类似可求.
例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(2)sin
196°与cos
156°；
解 sin
196°＝sin(180°＋16°)＝－sin
16°，
cos
156°＝cos(180°－24°)＝－cos
24°＝－sin
66°，
∵0°<16°<66°<90°，
∴sin
16°66°；
从而－sin
16°>－sin
66°，即sin
196°>cos
156°.
反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.
跟踪训练1 比较下列各组数的大小.
(2)cos
870°与sin
980°.
解 cos
870°＝cos(720°＋150°)＝cos
150°，sin
980°＝sin(720°＋260°)＝sin
260°＝sin(90°＋170°)＝cos
170°，
∵0°<150°<170°<180°，
∴cos
150°>cos
170°，即cos
870°>sin
980°.
反思与感悟 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx＋φ视为一个整体.若x的系数ω为负，通常利用诱导公式化为正数再求解，有时还应兼顾函数的定义域.
解 由题意得cos
2x>0且y＝cos
2x递减.
例3 求函数y＝sin2x－sin
x＋1，x∈R的值域.
解 设t＝sin
x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1.
∵－1≤t≤1，
∴当t＝－1，即sin
x＝－1时，ymax＝f(t)max＝3；
反思与感悟 形如f(x)＝asin2x＋bsin
x＋c(a≠0)的函数值域问题，可以通过换元转化为二次函数g(t)＝at2＋bt＋c在闭区间
[－1,1]上的最值问题.要注意，正弦、余弦函数值域的有界性，即当x∈R时，－1≤sin
x≤1，－1≤cos
x≤1对值域的影响.
跟踪训练3 求函数y＝cos2x＋4sin
x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合.
解 y＝cos2x＋4sin
x＝1－sin2x＋4sin
x
＝－sin2x＋4sin
x＋1＝－(sin
x－2)2＋5.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
D
2.下列不等式中成立的是( )
1
2
3
4
即sin
2>cos
1.故选D.
D
1
2
3
4
B
1
2
3
4
4.求函数y＝f(x)＝sin2x－4sin
x＋5的值域.
解 设t＝sin
x，则|t|≤1，
f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)，
∴g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2，
∴开口向上，对称轴t＝2不在研究区间(－1,1)内，
1
2
3
4
∴g(t)在(－1,1)上是单调递减的，
∴g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，
g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，
即g(t)∈[2,10].
所以y＝f(x)的值域为[2,10].
呈重点、现规律
2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
3.求三角函数值域或最值的常用求法：将y表示成以sin
x(或cos
x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.(共37张PPT)
§1.4
三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.
3.掌握函数y＝sin
x，y＝cos
x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
明目标、知重点
1.函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个
，使得当x取定义域内的
时，都有
，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的
.
非零常数T
填要点·记疑点
每一个值
f(x＋T)＝f(x)
最小正周期
2.正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x＋2kπ)＝
，cos(x＋2kπ)＝cos
x(k∈Z)知y＝sin
x与y＝cos
x都是
函数，2kπ
(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.
3.正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y＝sin
x与余弦函数y＝cos
x的定义域都是__，定义域关于
对称.
sin
x
周期
原点
R
(2)由sin(－x)＝
知正弦函数y＝sin
x是R上的
函数，它的图象关于
对称.
(3)由cos(－x)＝
知余弦函数y＝cos
x是R上的偶函数，它的图象关于
对称.
－sin
x
奇
原点
cos
x
y轴
探要点·究所然
情境导学
自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现其理论依据是什么？
答 诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin
x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.
思考2 设f(x)＝sin
x，则sin(x＋2kπ)＝sin
x可以怎样表示？把函数f(x)＝sin
x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？
答 f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ时，函数值重复出现.
一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.
小结 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin
x称为周期函数，2kπ为这个函数的周期
(其中k∈Z且k≠0).
思考3 正弦函数y＝sin
x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin
x的周期有哪些？
答 正弦函数y＝sin
x的周期不止一个.
±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期.
探究点二 最小正周期
导引 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，
则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
周期函数不一定都有最小正周期.如：f(x)＝C(C为常数，x∈R
)，对于非零实数T都是它的周期，
而最小正周期不存在.
思考 我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y＝sin
x的周期，那么函数y＝sin
x有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？
答 正弦函数y＝sin
x有最小正周期，且最小正周期T＝2π.
小结 如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期.
例如，正弦函数y＝sin
x和余弦函数y＝cos
x的最小正周期都是2π，它们的所有周期可以表示为2kπ(k∈Z且k≠0).
探究点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期
思考 求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期？
答 由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，
探究点四 正弦、余弦函数的奇偶性
导引 正弦曲线
余弦曲线
思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
答 正弦函数y＝sin
x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos
x的图象关于y轴对称.
思考2 上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？
答 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数.根据诱导公式得，sin(－x)＝－sin
x，cos(－x)＝cos
x均对一切x∈R恒成立.
例1 求下列三角函数的周期.
(1)y＝3cos
x，x∈R；
解 ∵3cos(x＋2π)＝3cos
x，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋2π，
函数y＝3cos
x，x∈R的值才能重复出现，
所以，函数y＝3cos
x，x∈R的周期是2π.
(2)y＝sin
2x，x∈R；
解 ∵sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝sin
2x，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π，
函数y＝sin
2x，x∈R的值才能重复出现，
所以，函数y＝sin
2x，x∈R的周期是π.
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，
跟踪训练1 求下列函数的周期：
(1)y＝cos
2x；
(3)y＝|cos
x|.
解 ∵f(x)的最小正周期是π，
∵f(x)是R上的偶函数，
反思与感悟 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.
B
∴f(x)是偶函数.
(2)f(x)＝lg(1－sin
x)－lg(1＋sin
x)；
∴f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(x)＝lg(1－sin
x)－lg(1＋sin
x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin
x)－lg(1－sin
x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.
解 ∵1＋sin
x≠0，∴sin
x≠－1，
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数.
反思与感悟 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系.
解 f(x)＝sin
2x＋x2sin
x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin
2x－x2sin
x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
B
1
2
3
4
D
1
2
3
4
3.已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝
.
解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝－f(x).
∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)
＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
－2
1
2
3
4
1
2
3
4
∴f(－x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.
呈重点、现规律
1.求函数的最小正周期的常用方法
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin
x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.
2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称.(共33张PPT)
§1.4
三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
明目标、知重点
1.正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y＝sin
x(x∈R)和余弦函数y＝cos
x(x∈R)的图象分别叫
曲线和
曲线.
正弦
填要点·记疑点
余弦
2.“五点法”画图
画正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
；
画余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
.
3.正弦、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos
x＝sin
，要得到y＝cos
x的图象，只需把y＝sin
x的图象向
平移
个单位长度即可.
左
探要点·究所然
情境导学
遇到一个新函数，它总具有许多基本性质，要直观、全面了解基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看看它有什么特殊点，并借助它的图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最值等.我们今天就学习正弦函数、余弦函数的图象.
探究点一 几何法作正弦曲线
思考1 在直角坐标系中，如何用正弦线比较精确地画出y＝sin
x，x∈[0,2π]内的图象？
答 ①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示.
②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于
2π等角的正弦线.
③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份.
④找纵坐标：将正弦线对应平移，即可得到相应点的纵坐标.
⑤连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象.
思考2 如何由y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象得到y＝sin
x，x∈R的图象？
答 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin
x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sin
x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是我们只要将函数y＝sin
x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin
x，x∈R的图象.
探究点二 五点法作正弦曲线
思考1 同学们观察，
在y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的点有几个？
思考2 如何用描点法画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象？
小结 描点法画正弦函数y＝sin
x图象的关键：
(1)列表时，自变量x的数值要适当选取
①在函数定义域内取值；②由小到大的顺序取值；③取的个数应分布均匀；④应注意图形中的特殊点(如：端点，交点，顶点)；⑤尽量取特殊角.
(2)描点连线时应注意：①两坐标轴上的单位长度尽可能一致，以免改变图象的真实形状；②变量x，y数值相差悬殊时，也允许采用不同长度单位；③连线时一定要用光滑的曲线连接，防止画成折线.
探究点三 余弦曲线
思考 如何快速做出余弦函数图象？
例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin
x(0≤x≤2π)的简图.
解 (1)取值列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1－sin
x
1
0
1
2
1
(2)描点连线，如图所示.
反思与感悟 作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin
x或y＝cos
x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.
跟踪训练1 利用“五点法”作出函数y＝－1－cos
x(0≤x≤2π)的简图.
解 (1)取值列表如下：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
－1－cos
x
－2
－1
0
－1
－2
(2)描点连线，如图所示.
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.
例3 在同一坐标系中，作函数y＝sin
x和y＝lg
x的图象，根据图象判断出方程sin
x＝lg
x的解的个数.
解 建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin
x的图象.
由图象可知方程sin
x＝lg
x的解有3个.
反思与感悟 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.
跟踪训练3 方程x2－cos
x＝0的实数解的个数是
.
解析 作函数y＝cos
x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解.
2
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.方程2x＝sin
x的解的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.无穷多
D
1
2
3
4
2.函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有
个.
解析 如图所示.
2
1
2
3
4
3.(1)已知f(x)的定义域为[0,1)，求f(cos
x)的定义域；
且x≠2kπ(k∈Z).
1
2
3
4
(2)求函数y＝lg
sin(cos
x)的定义域.
解 由sin(cos
x)>0?2kπx<2kπ＋π(k∈Z).
又∵－1≤cos
x≤1，
∴0x≤1.
1
2
3
4
1
2
3
4
∴函数的定义域为
呈重点、现规律
1.正弦、余弦曲线在研究正弦、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础.
2.五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.(共35张PPT)
§1.4
三角函数的图象与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.
2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
明目标、知重点
?
y＝tan
x
图象
定义域
函数y＝tan
x的性质与图象
填要点·记疑点
值域
周期
最小正周期为
奇偶性
单调性
在开区间
内递增
对称性
对称中心
，无对称轴
奇函数
R
π
探要点·究所然
情境导学
三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦、余弦函数的图象和性质，
因此，
进一步研究正切函数的图象与性质就成为学习的必然.你能否根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象及性质？
探究点一 正切函数的性质
思考1 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？一般地，函数y＝tan(ωx＋φ)
(ω>0)的周期是多少？
答 由诱导公式tan(x＋π)＝tan
x，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π.
∵y＝Atan(ωx＋φ)＝Atan(ωx＋φ＋π)
思考2 根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正切函数图象有何对称性？
答 从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x)＝－tan
x.故正切函数是奇函数.
正切函数图象是中心对称图形，对称中心有无数多个，它们的坐标为
思考3 观察下图中的正切线，当角x在
内增加时，正切函数值发生什么变化？
答 正切函数值随着增加，反映了函数的单调性.
所以y＝tan
x可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为R.
思考4 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？
答 正切函数在每一个开区间
(k∈Z)
上都是增函数.正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间
(k∈Z)
上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数.
反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
跟踪训练1 求下列函数的定义域：
探究点二 正切函数的图象
思考1 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间
的图象，具体应如何操作？
(1)建立平面直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆.
(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线.
(4)把角x的正切线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合.
(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y＝tan
x，x∈
的图象，如图所示.
思考2 结合正切函数的周期性，
如何画出正切函数在整个定义域内的图象？
一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期.
例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小.
(2)tan
2与tan
9.
∴tan
229.
跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小.
(1)tan(－1
280°)与tan
1
680°；
解 (1)∵tan(－1
280°)＝tan(－4×360°＋160°)
＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)，
tan
1
680°＝tan(4×360°＋240°)
＝tan(180°＋60°)＝tan
60°，
∴tan(－20°)60°，
即tan(－1
280°)1
680°.
(2)tan
1，tan
2，tan
3.
解 ∵tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π)，
∴tan(2－π)1，
即tan
231.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
C
1
2
3
4
C
1
2
3
4
C
1
2
3
4
B
呈重点、现规律
1.正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.
