(共47张PPT)
§1.5
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响.
2.掌握y＝sin
x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
明目标、知重点
用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)的图象
1.φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
y＝sin(x＋φ)
(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin
x上所有的点向
(当φ>0时)或向
(当φ<0时)平行移动
个单位长度而得到.
左
填要点·记疑点
右
|φ|
2.ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标
(当ω>1时)或
(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标
)而得到.
缩短
伸长
不变
3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标
(当A>1时)或
(当0
x的值域为
，最大值为___，最小值为
.
伸长
缩短
[－A，A]
－A
A
探要点·究所然
情境导学
数学研究生活实际，那在某次实验里面，我们测得交流电电流y随着时间x变化的图象图(1)，如果将图象局部放大，便得到图(2)，看图(2)它跟我们上节课讲得正弦曲线非常相似，那这个图象，它是一个形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，那这个函数跟正弦函数究竟有什么关系呢？这就是这节课要研究的问题.
探究点一 φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
答 列表如下：
0
π
2π
x
0
1
0
－1
0
思考3 一般地，对任意的φ
(φ≠0)，函数y＝sin(x＋φ)的图象是由函数y＝sin
x的图象经过怎样的变换而得到的？
答 y＝sin(x＋φ)的图象，可以看作是把正弦曲线y＝sin
x上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到，上述变换称为平移变换.
探究点二 ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
答
答
思考3 一般地，对任意的ω
(ω>0)，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象是由函数y＝sin(x＋φ)的图象经过怎样的变换而得到的？
答 函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把函数y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.
探究点三 A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
答
思考3 一般地，对任意的A(A>0且A≠1)，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象是由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象经过怎样的变换而得到的？
答 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把函数y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0探究点四 函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sin
x的图象关系
思考1 由函数y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到函数y＝sin(ωx＋φ)
(ω>0)的图象？
答 y＝sin
x的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径：
途径一：先相位变换，再周期变换
先将y＝sin
x的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin(ωx＋φ)的图象.
思考3 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，可以由函数y＝sin
x的图象经过怎样的变换而得到？
答 先把函数y＝sin
x的图象向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，就得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
C
反思与感悟 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：
①将两个函数解析式化简成y＝Asin
ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A、ω及名称相同的结构；
②找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为
；
③明确平移的方向.
答案 A
答案 C
反思与感悟 三角函数图象变换容易出错，尤其是既涉及平移变换又涉及伸缩变换.平移时，若x的系数不是1，需把x的系数先提出，提出后括号中的x加或减的那个数才是平移的量，即x的净增量.方向的规律是“左加右减”.伸缩时，只改变x的系数ω，其余的量不变化，伸长时系数|ω|减小，缩短时|ω|增大.
答案 B
∴f(x)＝3cos
x.
反思与感悟 (1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法.
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可.
C
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1
2
3
4
答案 A
1
2
3
4
C
1
2
3
4
1
2
3
4
y＝－cos
2x
呈重点、现规律
1.由y＝sin
x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.
2.类似地，y＝Acos(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos
x的图象变换得到.(共41张PPT)
§1.5
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.
3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.
明目标、知重点
1.简谐运动
简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，
叫做振幅，周期T＝
，频率f＝
，相位是
，初相是
.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
A
填要点·记疑点
ωx＋φ
φ
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
奇偶性
φ＝
时是奇函数；
时是偶函数；当φ≠
(k∈Z)时是
函数.?
单调性
单调增区间可由
得到，单调减区间可由
得到.
kπ
(k∈Z)
非奇非偶
探要点·究所然
情境导学
做简谐运动的单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，这种函数我们称为正弦型函数，那么怎样作正弦型函数的图象呢？正弦型函数的性质又是怎样的呢？
探究点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)的图象
思考1 物理中，简谐运动的图象就是函数y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)的图象，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？
答 A是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T＝是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f＝＝是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；φ称为初相，即x＝0时的相位.
思考2 利用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤.请完成下面的填空.
ωx＋φ
0
π
2π
x
y
0
A
0
－A
0
X
0
π
2π
x
2π
5π
y
0
2
0
－2
0
描点画图(如图所示)：
跟踪训练1 如图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：
(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
解 从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为2
cm；周期为0.8
s；频率为.
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
解 如果从O点算起，到曲线上的D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动.
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
解 设这个简谐运动的函数表达式为
y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)
那么，A＝2；由＝0.8，得ω＝；
由图象知初相φ＝0.
于是所求函数表达式是y＝2sin
x，x∈[0，＋∞).
探究点二 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求三角函数的解析式
例2 如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式.
解 方法一 以N为第一个零点，
反思与感悟 (1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过x轴上升的即为“第一零点”(x1,0).从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx2＋φ＝，ωx3＋φ＝π，ωx4＋φ＝π，ωx5＋φ＝2π.
(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：
①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出.
②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ.
(3)A的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A的方程求出.
跟踪训练2 如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式.
解 由图象知A＝5.
得T＝3π，
下面用两种方法求φ：
方法一 (单调性法)
∵点(π，0)在递减的那段曲线上，
方法二 (最值点法)
探究点三 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性
思考 探求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性.
答 ①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)是奇函数?f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于原点对称?f(0)＝0?φ＝kπ(k∈Z).
②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)是偶函数?f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于y轴对称?f(0)＝A或f(0)＝－A?φ＝kπ＋(k∈Z).
③函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数?f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象关于原点对称?f(0)＝0?φ＝kπ＋
(k∈Z).
④函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)是偶函数?f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象关于y轴对称?f(0)＝A或f(0)＝－A?φ＝kπ
(k∈Z).
思考 探求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性.
答 ①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(x0,0)中心对称当且仅当f(x0)＝0.
②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x0轴对称当且仅当f(x0)＝A或f(x0)＝－A.
上述结论若换成函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)同样成立.
探究点四 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)图象的对称性
③对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一.
反思与感悟 对于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)而言，函数图象与x轴的交点就是图象的对称中心，注意以下充要条件的应用：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于点(x0,0)中心对称?f(x0)＝0，换为函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)结论仍成立.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝a2sin
2x＋(a－2)cos
2x的图象关于直线x＝－对称，求a的值.
代入得a－2＝－a2，解得a＝1或a＝－2.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1
2
3
4
答案 A
1
2
3
4
A
1
2
3
4
3.函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
1
2
3
4
∵图象在x＝1处取得最高点，
答案 C
1
2
3
4
解 (1)列表：
x
0
π
2π
0
3
0
－3
0
1
2
3
4
描点、连线，如图所示：
呈重点、现规律
1.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值.
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点
(也叫初始点)作为突破口.以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.