(共39张PPT)
§2.2
平面向量的线性运算
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.
明目标、知重点
1.向量数乘运算：实数λ与向量a的积是一个
，这种运算叫做向量的
，记作
，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝
.
向量
填要点·记疑点
(2)λa(a≠0)的方向
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝
或λ0＝
.
数乘
λa
|λ||a|
λ>0
λ<0
0
0
2.向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝
.
(2)(λ＋μ)a＝
.
(3)λ(a＋b)＝
.
特别地，有(－λ)a＝
＝
；
λ(a－b)＝
.
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
－(λa)
λ(－a)
λa－λb
3.共线向量定理：向量a
(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使
.
4.向量的线性运算：向量的
、
、
运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝
.
b＝λa
加
减
数乘
λμ1a±λμ2b
探要点·究所然
情境导学
引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现.如力与加速度的关系F＝ma，位移与速度的关系s＝vt.这些公式都是实数与向量间的关系.
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
生：
a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反.
师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题.
探究点一 向量数乘运算的物理背景
思考1 一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？
答
∴3v与v的方向相同，|3v|＝3|v|.
思考2 已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？
答
＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
思考3 一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？
答 λa仍然是一个向量.
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)λ>0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ＝0时，λa
＝0.方向任意.
探究点二 向量数乘的运算律
思考1 根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？
答 设λ，μ∈R，则有
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考2 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同.你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？
答 ①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R).
如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立；
如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有
|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，
|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，
故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.
如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向.
因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.
例1 计算：
(1)(－3)×4a；
(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).
解 (1)原式＝(－3×4)a＝－12a；
(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；
(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.
反思与感悟 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
跟踪训练1 计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
解 原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).
解 原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.
思考1 请观察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何关系？
答 因为b＝－2a，所以a、b是平行向量.
思考2 若a、b是平行向量(a≠0)能否得出b＝λa？为什么？
答 可以.因为a、b平行，它们的方向相同或相反.
探究点三 共线向量定理及应用
小结 由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.对此定理的证明，是两层来说明的：
其一，若存在实数λ，使b＝λa，则由实数与向量乘积定义可知b与λa平行，即b与a平行.
其二，若b与a平行，且不妨令a≠0，设＝μ(这是实数概念).接下来看a、b方向如何：①a、b同向，则b＝μa，②若a、b反向，则记b＝－μa，总而言之，存在实数λ(λ＝μ或λ＝－μ)使b＝λa.
例2 已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
解 若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，
所以λ不存在，
所以a与b不共线.
反思与感悟 (1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.
(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.
跟踪训练2 已知非零向量e1，e2不共线.
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.
解 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，
探究点四 三点共线的判定
令1－λ＝α，λ＝β，则
观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.
反思与感悟 本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a＝λb，先证向量共线，再证三点共线.
＝10e1＋15e2.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.化简：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；
解 原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
4.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
解 ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
1
2
3
4
故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线.
呈重点、现规律
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的.
2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量表示与向量a同向的单位向量.
3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题.
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§2.2
平面向量的线性运算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减运算.
明目标、知重点
1.我们把与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作
，并且有a＋(－a)＝
.
2.向量减法的定义：若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的
，记为
，求两个向量差的运算，叫做
.
－a
填要点·记疑点
0
差
a－b
向量的减法
平行四边形ABCD
b
a
探要点·究所然
情境导学
上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢？本节课将解决这一问题.
探究点一 向量的减法
思考1 a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？
答 与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作－a，并且有a＋(－a)＝0，
－a的相反向量是a即－(－a)＝a.
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
思考2 我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？
答 向量的减法也有类似法则，定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
思考3 向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b,
c，若a＋c＝b，则c等于什么？
答 a＋c＝b?c＝b－a.
(4)a＋(－a)＝0；(5)若a与b互为相反向量，则有：a＝－b，
b＝－a，a＋b＝0.
探究点二 向量减法的法则
思考1 由于a－b＝a＋(－b).因此要作出a与b的差
向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量.已知向量a，b如图所示，你能利用平行四边形法则作出差向量a－b吗？
答 利用平行四边形法则.
思考2 向量减法的三角形法则是什么？
答 当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：
①连接两个向量(a与b)的终点；
②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”.
思考3 请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量a－b？若a＋b＝c＋d，则a－c＝d－b成立吗？
答 利用三角形法则.
等式成立.移项法则对向量等式适用.
例1 如图所示，已知向量a、b、c、d，求作
向量a－b，c－d.
反思与感悟 根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量.
解 延长AC到Q.使CQ＝AC，则m－p＋n－q－r
例2 化简下列式子：
反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.
探究点三 |a－b|与|a|、|b|之间的关系
思考1 若a与b共线，怎样作出a－b?
答 ①当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：
②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：
③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：
思考2 通过作图，探究|a－b|与|a|、|b|之间的大小关系？
答 当a与b不共线时，有：||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；
当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|；
当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.
同样，由向量的减法，知
反思与感悟 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义.
(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：
①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.
跟踪训练3 如图所示，O是平行四边形ABCD的对
角线AC、BD的交点，设
试用a，b，c表示向量
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
A
1
2
3
4
2.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
C
1
2
3
4
0
1
2
3
4
13
呈重点、现规律
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，
就可以把减法转化为加法.即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).
2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.(共33张PPT)
§2.2
平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.
明目标、知重点
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取
一点A，作
则向量
叫做a与b
的和(或和向量)，记作
，即a＋b＝
＝
.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则.
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝
＋
＝
.
1.向量的加法法则
(1)三角形法则
a＋b
填要点·记疑点
0
a
a
(2)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作
则O、A、B三点不共线，以
，
为邻边作
，则以O为起点的对角线上的向量
＝
a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形
法则.
2.向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝
.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝
.
OA
OB
平行四
边形
b＋a
a＋(b＋c)
探要点·究所然
情境导学
两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.
探究点一 向量加法的三角形法则
导引 两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北.
通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：
思考1 使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？
答 先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量.
思考2 当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？
答 (1)当a与b同向时：
(2)当a与b反向时：
思考3 |a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？
答 当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
探究点二 向量加法的平行四边形法则
思考1 向量加法还可以用平行四边形法则，其具体做法是什么？
答 先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和.
对于零向量与任一向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.
思考2 实数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也满足交换律、结合律吗？如何检验？
答
向量的加法满足交换律，
根据下图中的平行四边形ABCD验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.
∴a＋b＝b＋a.
向量的加法也满足结合律，根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
思考3 向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？
答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
例1 如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
反思与感悟 已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据平行四边形法则作图.
跟踪训练1 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.
0
探究点三 向量加法的多边形法则
向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量.
这是一个极其简单却非常有用的结论(如图).
利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时
非常有效.例如，在正六边形ABCDEF中，
0
例2 化简：
反思与感悟 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是( )
1
2
3
4
故选D.
答案 D
1
2
3
4
2.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：
0
1
2
3
4
3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则
等于( )
D
1
2
3
4
呈重点、现规律
1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则.
2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
