(共33张PPT)
§2.2
平面向量的线性运算
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
明目标、知重点
1.平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个
的向量，叫做把向量正交分解.
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个
i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝
，则
叫做向量a的坐标，
叫做向量a的坐标表示.
互相垂直
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝
，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝
，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝
，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
(x1－x2，y1－y2)
(λx，λy)
探要点·究所然
情境导学
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标来表示？
探究点一 平面向量的坐标表示
思考1 如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，
叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂
直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，
以向量i、j为基底，向量a如何表示？
小结 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.显然有，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
思考3 在平面直角坐标系中，作向量
＝a，若
＝(x，y)，此时点A的坐标是什么？根据右图写出向量
a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边
长是1.
答 A(x，y)；
a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，
d＝(3，－3).
探究点二 平面向量的坐标运算
思考1 设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.
思考2 根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？用数学语言描述上述向量的坐标运算.
答 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);
a－b＝(x1－x2，y1－y2);
λa＝(λx1，λy1).
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考3 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量
的坐标是什么？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？
答
＝(x2－x1，y2－y1).
任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号.
(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同.
(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).
例1 已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐标.
解 a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，
a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5,
－3)，
3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)
＝(－6,19).
反思与感悟 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算.
跟踪训练1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；
解 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b；
解 a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
例2 已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.
解 设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)
＝(－2x＋3y,3x＋y)，
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
反思与感悟 待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法.
跟踪训练2 已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用b，c表示a.
解 设a＝λb＋μc
(λ，μ∈R).
则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)
＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ).
解 由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得
＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).
∴点M的坐标为(－11，－15).
反思与感悟 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题.
跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标.
解 不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四个顶点为D(x，y).则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形.
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3).
(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15).
综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15).
1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于( )
A.(－2,1)
B.(2，－1)
C.(2,0)
D.(4,3)
解析 b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
B
1
2
3
4
A
1
2
3
4
1
2
3
4
答案 A
1
2
3
4
4.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________.
7
呈重点、现规律
1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示.
2.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.
3.向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误.(共37张PPT)
§2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
明目标、知重点
1.平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个
向量，那么对于这一平面内的
向量a，
实数λ1，λ2，使a＝
.
(2)基底：把
的向量e1，e2叫做表示这一平面内
向量的一组基底.
不共线
填要点·记疑点
任意
有且只有一对
λ1e1＋λ2e2
不共线
所有
2.两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个
向量a和b，如图，作
则
＝θ
(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
①范围：向量a与b的夹角的范围是
.
②当θ＝0°时，a与b
.
③当θ＝180°时，a与b
.
(2)垂直：如果a与b的夹角是
，则称a与b垂直，记作
.
非零
∠AOB
[0°，180°]
同向
反向
90°
a⊥b
探要点·究所然
情境导学
在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？
探究点一 平面向量基本定理的提出
答 通过观察，可得：
思考2 根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？
答 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a
，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考3 上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？平面向量的基底唯一吗？
答 同一平面内可以作基底的向量有无数组，不同基底对应向量a的表示式不相同.
平面向量的基底不唯一.只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底.
探究点二 平面向量基本定理的证明
思考1 证明定理中λ1，λ2的存在性.
如图，e1，e2是平面内两个不共线的向量，a是这
一平面内任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形
式，请通过作图探究a与e1、e2之间的关系.
过点C分别作平行于OB，OA的直线，交直线OA于点M，交直线OB于点N，
思考2 证明定理中λ1，λ2的唯一性.
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，证明λ1，λ2是唯一确定的.(提示：利用反证法)
答 假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使
a＝λ′1e1＋λ′2e2成立，则λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2.
∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0.
∵e1、e2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，
∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.
∴使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对λ1，λ2是唯一的.
探究点三 向量的夹角
思考1 已知a、b是两个非零向量，过点O如何作出
它们的夹角θ？两个非零向量夹角的范围是怎样规定
的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？
∠AOB＝θ，就是a与b的夹角.
两个非零向量夹角的范围是0°≤θ≤180°，确定两个向量夹角时要注意先使向量的始点相同，再确定大小.
思考2 在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角？
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，
b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
解 ∵a，b不共线，
∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
解得x＝1，y＝－2，∴c＝a－2b.
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
例3 已知|a|＝|b|，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°.
反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中，
与的夹角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；
④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)
解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2
＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
①②④
1
2
3
4
1
2
3
4
解 连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，
1
2
3
4
呈重点、现规律
1.对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.
2.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.(共32张PPT)
§2.2
平面向量的线性运算
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
3.掌握三点共线的判断方法.
明目标、知重点
1.两向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(1)当a∥b时，有
.
(2)当a∥b且x2y2≠0时，有
即两向量的相应坐标成比例.
x1y2－x2y1＝0
填要点·记疑点
2.若
则P与P1、P2三点共线.
当λ∈
时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；
当λ∈
时，P位于线段P1P2的延长线上；
当λ∈
时，P位于线段P1P2的反向延长线上.
(0，＋∞)
(－∞，－1)
(－1,0)
探要点·究所然
情境导学
前面，我们学面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算.这就为解决问题提供了方便.我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b＝λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示.
探究点一 平面向量共线的坐标表示
思考1 a与非零向量b为共线向量的等价条件是有且只有一个实数λ使得a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？
答 向量a，b共线(其中b≠0)?x1y2－x2y1＝0
思考2 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0，请写出证明过程.
答 ∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.
∴x2，y2不全为0，不妨假设x2≠0.
∵a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb，
即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，
思考3 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？
答 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向.例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等.
例1 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，
例2 已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
∵直线AB、AC有公共点A，
∴A、B、C三点共线.
反思与感悟 利用共线向量是判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的，而利用共线向量更加简捷.
跟踪训练2 已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，试求m的值.
即(1,2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ).
即m＝6时，A，B，C三点共线.
思考1 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段P1P2的中点P的坐标.
答 如图所示，∵P为P1P2的中点，
探究点二 共线向量与中点坐标公式
思考2 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2).点P是线段P1P2的一个三等分点，求P点的坐标.
答 点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：
思考3 已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).求△ABC的重心G的坐标.
答 延长AG交BC于点D，
∵G为△ABC的重心，
∴D为BC的中点，
则(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
∴P点坐标为(－5,8).
反思与感悟 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.
∴x2＋y2＝52.∴4λ2＋9λ2＝52，λ＝2
(λ>0).
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.下列各组的两个向量共线的是( )
A.a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)
B.a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)
C.a3＝(2,3)，b3＝(3,2)
D.a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)
D
1
2
3
4
2.已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( )
A.1
B.－1
C.4
D.－4
解析 ∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.
D
1
2
3
4
D
1
2
3
4
4.给定两个向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若a＋2b与2a－2b共线，求λ的值.
解 ∵a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，
2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，
又a＋2b与2a－2b共线，
∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝.
呈重点、现规律
1.两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例.
2.向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面.
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
